중학생들의 증명 과정에 대한 연구

Abstract

이 연구는 수학적 증명의 과정을 구성하는 요소들을 나누고 중학생들이 이 과정의 어느 부분에서 어려움을 겪는가를 알아보는 것이다. 이를 위해 연구의 목적을 다음과 같이 나누었다. 1. 수학적 증명 과정은 어떻게 구성되는가? 2. 중학생들의 증명 과정에서 주로 나타나는 오류 유형은 무엇인가? 우선 선행 연구를 통해 증명의 과정을 수학적 증명의 의미, 수학적 개념의 이해, 수학적 기호화를 하는 능력, 추론 능력, 증명 전략 등의 부분으로 나누었다. 여기서 수학적 개념에 대한 이해는 개념 정의, 개념이미지, 개념사용의 부분으로 다시 나누고, 증명 전략 또한 기지-미지 조건 확인 전략, 그림을 그리고 적절한 기호를 도입하는 전략, 식 만들기 전략, 보조요소의 도입 전략, 시행착오 전략 등으로 나누어 구분하였다. 위의 분류를 토대로 각 과정에 대한 지필 검사 문항을 제작하였으며, 지필 검사의 결과는 다음과 같다. 첫째, 수학적 증명의 의미에 대한 부분에서 학생들이 어려움을 느낀다. 경험적인 증명과 반례를 통한 증명 사이의 차이를 잘 알지 못하고, 수학적 증명은 일단 증명되고 나면 예외 없이 성립한다는 사실을 잘 모른다. 둘째, 수학적 개념을 알고 있어도 이를 문제해결에 적용을 하지 못한다. 셋째, 수학적 기호화를 잘 하지 못한다. 개념을 알고 이를 일반 문장으로 표현할 수 있는 학생도 기호를 통해 나타내는 것은 잘 하지 못한다. 넷째, 증명전략이 제한적이다. 익숙하고 자주 사용하는 전략이 아닌 것은 잘 알지 못한다. 학생들이 실제 증명 수행을 어떻게 하는가를 살펴보기 위하여 면담을 실시하였는데, 면담 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 증명 전략이 부족하다. 학생들은 증명 쓰기를 하는 과정에서 조건을 해석하여 그림으로 나타내는 전략까지는 어려움 없이 사용하지만, 증명의 과정으로 나아가기 위한 기술, 즉 전략이 부족하여 식을 세우거나 보조요소를 도입하려는 시도를 하지 못하였으며 시행착오전략도 사용하지 않았다. 둘째, 학생들의 수학적 개념과 이들 개념의 기호화 사이에 연결이 잘 이루어지지 않는다. 학생들은 도형에 대한 개념이나 이 도형의 성질을 일반문장으로 기술하는 데는 어려움이 없지만, 이들을 수학적 기호를 이용하여 나타내는 능력은 부족하다. 따라서 증명을 할 때 이러한 개념을 사용할 수 없게 된다. 셋째, 증명에 필요한 정리들을 알지 못한다. 학생들이 증명을 하기 위해 필요한 정리들을 알지 못하고 있는 것이 증명의 과정을 진행하는데 방해가 된다. 또한 정리는 증명 없이 사용할 수 있다는 것을 학생들이 잘 알지 못하여, 이를 문제해결에 적용시키는데 어려움이 있다. 넷째, 면담에서는 증명을 하나의 문제해결 과정으로 보고, 이 과정을 문제이해, 계획 수립, 실행, 반성 단계로 나누어 학생들이 증명을 어떻게 해 나가는 가를 보았었다. 학생들은 주어진 문제의 조건을 이해하고, 문제에 나타난 용어나 기호를 이해하는 데까지는 별 어려움이 없지만 이를 이용해 직접 문제해결에 대한 계획을 세우거나 직접 실행하는 것은 잘 하지 못한다. 학생들에게 증명 쓰기 문제가 주어지면 학생들은 이를 어떻게 시작해야 하는지를 모른다. 또 시작은 하지만 처음 계획했던 대로 문제를 해결해나가지 못하는 경우가 많다. 이런 상황에서 학생들에게 다음 단계에 대한 직접적인 힌트를 주는 것보다는, 증명 과정의 다음 단계로 나가기 위한 적절한 발문을 던져 학생들에게 증명 쓰기를 수행하게 할 수 있다. 이 연구를 통하여 몇 가지 제언을 하려고 한다. 첫째, 학생들에게 수학적 개념을 가르치는데서 나아가 이들 개념을 문제해결에 자유롭게 적용시킬 수 있게 하고, 또한 수학적 기호로 나타낼 수 있게 하는 것이 필요하다. 둘째, 증명도 일종의 문제해결 과정이므로 여러 가지 전략들을 가르치는 것이 중요하다. 학생들의 문제해결 전략이 제한적이면 그만큼 해결할 수 있는 문제도 제한적이 된다. 따라서 다양한 증명 전략을 학습하게 하는 것이 필요하다. ; This study has tow subject as follows. One is to search the facts that construct a process of mathematical proof. The other is to investigate some types of error that middle school students make on their process of mathematical proof. First by preceding study review, the process of mathematical proof is classified meaning of mathematical proof, understanding mathematical concepts, ability of mathematical symbolization, reasoning ability, proof strategies and so forth. Then the understanding mathematical concepts and proof strategies are subdivided ; this into confirmation of unknown prerequisite, marking some symbols, making drawing, building an algebraic expression, introduction of subsidiary fact and the method of trial and error, that into concept definition, concept image and use of concepts. Second, by those of facts classified above, mathematical test items were made and three classes of middle school students were tested. The results of test are as follows. 1. Most of students had hard time to understand the meaning of mathematical proof. They didn t distinguish between empirical proof and using a count example. And they didn t recognize once a mathematical statement(or proposition) was proved, that exist without exception. 2. Though they had useful mathematical concepts, they couldn t utilize in their process of problem solving 3. They were poor at mathematical symbolization, some of them who even could represent what they had an apt mathematical concepts couldn t do appropriate symbolization. 4. Their strategies of mathematical proof were very limited; they only used several strategies which were familiar with them and were frequently used. Third, after grading the test items, some students were selected and interviewed. The results of interview are as follows. 1. They were short of proof strategies. When they were asked for writing down their process of some mathematical proofs, they successfully interpreted perquisites and represented drawings but for the lack of skills which lead to intact process of mathematical proof that is the strategies, they failed in building an algebraic expression and in introduction of subsidiary fact and they didn t use the method of trial and error 2. They couldn t connect between their mathematical concepts and symbolizations. They had no trouble in describing properties and concepts of diagrams but they were poor at representing with mathematical symbols. Hence they couldn t use their mathematical concepts. 3. They didn t know theorems which concerned with proof items, therefore that interfered with leading to process of proof. And because they didn t know the fact that they never use any theorem without proof, there were some troubles in their problem solving and application. 4. In this interview any of their proof was considered as a process of problem solving, so those processes divided according to Polya s problem solving process; problem understanding a scheme, acting, and reflection. The students began to have some troubles in second step, when they were asked to prove an item, they didn t know what should they do first. And tough they began, they couldn t lead the process of proof as their scheme. In this case, to make them write down their proof, asking some hints to students. Conclusions and recommendations of this study are like as those. First, mathematical teaching needs to make students can apply mathematical concepts proficiently and can represent them as mathematical symbols. Second, mathematical proof is a kind of problem solving hence it is important to teach students diverse strategies. If students don t have diverse strategies, problems which they can solve are limited. Therefore it is need to make them learn deverse proof strategies.