Seiberg-witten invariants and product formulas on quotient manifolds

Abstract

닫혀진, 유향의, 매끄러운 사차원 다양체 overlineX 상에 모드 2로 c₁(overlineL`_overlineX ) = ω₂(T overlineX ) 를 만족하는 복소 선다발 overlineL`_overlineX 을 생각하자. overlineX 상에 순한군 Z_p ≡Z/pZ(p는 소수)가 방향을 유지하는 등장사상으로 작용하며 이 작용이 overlineX 안의 곡면 overlineC 을 고정점 집합으로 가지며 overlineL`_overlineX 위에서 사영 overlineL`_overlineX → overlineX 이 Z_p -사상으로 작용하도록 하자. 본 논문에서는 overlineX 상의 Z_p -불변의 사이버그-위튼 불변량과 overlineX 의 상다양체 X 상에 꼬여있는 사이버그-위튼 불변량을 연구하여 이들 사이의 관계를 연구했다. 특별히 overlineX 상의 Z_p =〈h〉-불변의 모듀라이 공간의 성분인 h-불변의 모듀라이 공간과 상다발 L_X →X 위에서 α만큼 꼬인 모듀라이 공간은 미분동형이다. 여기서 α는 h에 의해 정해지는 홀로노미 변수다. 이러한 미분동형의 결과로부터 상다양체 X 상의 α만큼 꼬인 모듀라이 공간의 차원을 계산하여 다양체 overlineX 상의 h-불변의 모듀라이 공간의 차원을 계산했다. 여기서 h는 Z_p 의 생성원소다. 위의 결과로부터 상다양체 X의 성질을 유도할 수 있다. 닫혀진, 유향의, 매끄러운 사차원 다양체 overlineY 상에 모드 2로 c₁(overlineL`_overlineY ) = ω₂(T overlineY ) 를 만족하는 복소 선다발을 overlineL`_overlineY 라 하자. overlineC 를 닫혀진, 유향의, 리만 곡면이라 하고 overlineC 가 각각 overlineX 와 overlineY 상에서 모드 2로 c₁(overlineL`_overlineX ) = ω₂(T overlineX ) 와 c₁(overlineL`_overlineY ) = ω₂(T overlineY ) 를 만족하며 overlineX 와 overlineY 속으로 매끄럽게 매장된다고 하자. 또한 overlineX 와 overlineY 안에서 overlineC 의 자기교차를 0이라 하며 c₁(overlineL`_overlineX )[`overlineC ] = c₁(overlineL`_overlineY )[`overlineC ] =2-2g 를 만족한다고 가정하자. overlineX 와 같이 z_p 가 overlineY 상에서 방향을 유지하는 등장사상으로 작용하며 2차원의 고정점 집합 overlineC 를 가지며 overlineL`_overlineY 위에서 사영 overlineL`_overlineY → overlineY 이 Z_p -사상으로 작용한다 하자. 그러면 상다양체 X와 Y 위에서 α 만큼 꼬인 사이버그-위튼 불변량들 사이에 곱공식을 가진다. 이 곱공식과 위의 미분동형의 결과로부터 overlineX 와 overlineY 상에서 h-불변의 사이버그-위튼 불변량들에 대한 곱공식을 가진다. ; Let overlineL`_overlineX be a complex line bundle over a closed, oriented, smooth 4-manifold overlineX with c₁(overlineL`_overlineX ) =ω₂(T overlineX ) mod 2. Let a finite group Z_p(p is a prime) act on overlineX with the two-dimensional fixed point set overlineC as orientation preserving isometries and on overlineL`_overlineX such that the projection overlineL`_overlineX → overlineX is a Z_p-map. We investigate the Z_p-invariant Seiberg-Witten invariants and twisted Seiberg-Witten invariants over the manifold overlineX and its quotient manifold. Specially we relate the h-invariant moduli space which is a component of Z_p=〈h〉-invariant moduli space over the bundle overlineL`_overlineX → overlineX and the α-twisted moduli space over the quotient bundle L_X →X where α is determined by h and h is a generator of Z_p. From this relation we induce a diffeomorphism between these moduli spaces and have the dimension of the h-invariant moduli space and we investigate the structure of the quotient manifold overlineX /Z_p. Let overlineL`_overlineY be a complex line bundle over a closed, oriented, smooth 4-manifold overlineY with c₁(overlineL`_overlineY ) ≡ω₂(T overlineY ) mod 2. Let overlineC be a closed, oriented, Riemann surface with g(overlineC ) > 1. Suppose that we have smooth embeddings overlineC → overlineX and overlineC → overlineY and that c₁(overlineL`_overlineX )[`overlineC ] = c₁(overlineL`_overlineY )[`overlineC ] =2-2g. Suppose in addition that the self-intersection of overlineC is zero in both overlineX and overlineY . As on X, let a finite group Z_p(p is a prime) act on overlineY with the fixed point set overlineC as orientation preserving isometries such that the projection overlineL`_overlineY → overlineY is a Z_p-map. We have new Product Formulas for the twisted Seiberg-Witten invariants on the quotient manifold overlineX /Z_p and overlineY /Z_p . From these Product Formulas we induce Product Formulas for the h-invariant Seiberg-Witten invariants on the manifolds overlineX and overlineY .