Efficient computation for optimal pairings over elliptic curves

Abstract

Vercauteren[35] introduces the concept of optimal pairing, which by definition can be computed by using at most (log2 r)/φ(k) + log2 k basic Miller iterations, where r is the order of the groups involved and k is the embedding degree. Freeman et al.[12] summarize and propose all of the new constructions of pairing-friendly elliptic curves that currently exist. Firstly, we give an optimal pairing for each family of pairing-friendly curves in [12] by taking the Ate or R-Ate pairing approach. Many efficient pairings such as Tate, Ate, Atei, R-ate and optimal-ate pairings have been proposed using πqexpansion, where πq is the q-th power Frobenius endomorphism. Secondly, we improve the efficiency of the Ate pairing computation using the μ- expansion, where μ is an arbitrary integer, and GLV decomposition over the pairing friendly curves with embedding degree 4. The μ-pairing improve the effective representation of the Ate pairing. This method provides more examples of the pairing friendly curves. We illustrate the time comparison on the Ate pairing and our modified pairing over those curves, which supports that our result is at least 20% faster than the Ate pairing.;본 학위 논문에서는 Vercauteren 이 소개한 겹선형 함수의 최적화 개념을 기반으로, 겹선형 함수를 계산 할 때 필요한 Miller 알고리즘 계산을 줄이는 방법에 관해 연구한다. 즉, Miller 알고리즘이 최소 범위 (log2r)/φ(k)+log2k 임을 이용하여 알고리즘 계산의 효율성에 대해 연구한다. 이때, r은 군의 위수이고, k는 임베딩 차수이다. 이 학위 논문에서는 Freeman 등이 제안한 다항식 형태의 변수를 가지는 친겹선형 곡선군의 형태를 연구하고, 각 곡선군의 최적화된 겹선형 함수가 무엇이 되는지 분류한다. 이 곡선군은 곡선의 변수에 따라 임베딩 차수에 관계없이 Tate, Ate, Atei, R-ate 겹선형 함수로 최적화된 겹선형 함수로 분류한다. 추가적으로, 정해진 임베딩 차수가 있는 경우의 최적화된 겹선형 함수도 함께 계산한다. 또한, 일반적으로 겹선형 함수의 계산에서 쓰이는 Frobenius 함수의 사용이 아닌, 계산이 효율적인 endomorphism을 이용한 겹선형 함수의 계산을 연구한다. 임베딩 차수가 4인 경우에는 Frobenius 확장으로 기존의 겹선형 함수로는 최적화된 겹선형 함수 계산을 할 수 없기 때문에, μ 확장이라는 새로운 개념의 겹선형 함수를 소개한다. 우리의 연구 결과는 기존 연구결과보다 더 많은 타원 곡선을 찾을 수 있는 장점과 Ate 겹선형 함수의 계산을 개선하는 연구이다.