Discreteness of flux groups

Abstract

Let (M, ω) be a closed symplectic 2n-dimensional manifold. Donaldsom[Do] showed that there exist 2m-dimensional symplectic submanifolds(V^2m,ω) of (M, ω), 1≤ m ≤ n-1, with (m - 1)-equivalent inclusions. Based on this fact we obtain relations between the flux group of M and the flux group of submanifold V^4. When (M, ω) is 4-dimensional, as in [LMP1], the flux group is discrete if π_1(M) acts trivially on π_2(M). We show that the result is also true for any dimensional closed symplectic manifold using the relations between the flux groups. And we show that the flux group of a compact symplectically aspherical manifold is trivial if its boundary is empty or its fundamental group has trivial center.;주어진 다양체 (M, ω)는 심플렉틱(symplectic) 구조 w를 지닌 2n차원 컴팩트 다양체라 하고, 여기서 n≥ 2라 하자. 도넬슨(Donaldson)의 정리에 의하면 임의의 짝수 2m(1≤ m ≤ n)에 대하여 2m 차원 심플렉틱 부분다양체 (V^2m,ω)가 존재해 포함(inclusion) 사상이 (m ㅡ 1) 동치(equivalent)가 된다. 이렇게 구해진 부분다양체 중 4차원 부분다양체(V^4,ω)의 경우, (V^4,ω)의 유동군(flux group)이 분산(discrete)이면 주어진 다양체 (M,ω)의 유동군도 분산임을 증명하였다. 그리고, 이러한 유동군 사이의 관계를 이용해(M,ω)가 닫힌(closed) 2n차원 심플렉틱 다양체일 때, M의 기본군 π_1(M)이 2번째 호모토피군 π_2(M)에 자명(trivial)하게 작용(action)하면 M의 유동군이 분산이라는 사실을 얻었다. 주어진 심플렉틱 다양체 (M, ω)가 심플렉틱 비구적(aspherical)이면 아이렌버그-맥크레인(Eilenberg-MacLane)공간 K = K(π_1(M),1)와 M에서 K로 가는 사상 f:M →K가 존재해서 ω의 코호몰로지(cohomology)류(class)는 f^*:H^2(K;R)→ H^2(M;R)의 상(image)내에 있다. 이 사실과 함께 아일렌버그-맥크레인 공간 K의 비구적 성질을 이용하여 주어진 컴팩트 심플렉틱 다양체 (M, ω)가 심플렉틱 비구적일 때, M의 경계(boundary)가 공집합이거나 기본군의 중심군(center)이 0이면 M의 유동군이 0임을 증명하였다.