수학 교과서에 사용된 비문자적 표상의 적절성에 관한 연구

Abstract

비문자적 표상(Non-textual elements)은 문자나 숫자 또는 수학적 상징으로만 구성되지 않은 시각적 표상을 지칭하는 용어로 사진이나 그림 등과 같은 회화적 표상과 그래프, 수학적 도형 등과 같은 수학적 표상을 모두 포함하는 용어이다(김래영, 2009). 일반적으로 학교 수학은 선형적이고 알고리즘적이기 때문에 언어적, 문자적인 방법이 가장 능률적인 방법이라고 인식되고 있으나(Chevallard, 1985), 실제 학생들의 사고과정에 영향을 미치는 것은 언어적 정의가 아닌 이미지이다(Vinner, 1983). 이러한 이미지는 단순히 언어적 정의에 의해 결정되는 것이 아니라, 학습자가 접하는 모든 종류의 경험을 통해 결정되므로 문자적 표상뿐만 아니라 비문자적 표상에 대한 연구도 이루어져야 한다. 특히 부적절한 비문자적 표상의 사용은 오 개념이나 오류를 야기할 위험이 있으므로 비문자적 표상의 적절성에 대한 연구가 필요하다. 본 연구에서는 ‘수열의 극한’ 단원을 중심으로 학교에서 가장 많이 사용하는 교수-학습 자료인 교과서에 사용된 비문자적 표상을 분석하였으며, 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 2007 개정 교육과정에 따른 고등학교 수학Ⅰ 교과서의 ‘수열의 극한’ 단원에 사용된 비문자적 표상의 유형별(사진, 그림, 만화, 좌표평면, 도형, 수직선), 교과서 별, 단원 별 평균 사용 빈도와 그 특징은 무엇인가? 2. 2007 개정 교육과정에 따른 고등학교 수학Ⅰ 교과서의 ‘수열의 극한’ 단원에 사용된 비문자적 표상은 교과서 별, 단원 별, 유형별로 적절성(정확성, 연결성, 상황 성)을 가지고 있는가? 연구 문제 1은 유형별 분류를 위한 분석 준거를 설정하고 이를 기준으로 2007 개정 교육과정에 따른 수학 Ⅰ 교과서 ‘수열의 극한’ 단원에 사용된 비문자적 표상을 유형별, 교과서 별, 단원 별(도입, 무한수열의 극한, 무한급수)로 평균 사용 빈도를 계산하여 그 특징을 살펴보았다. 연구 문제 2는 적절성을 정확성(수학적 표현에서의 정확성, 상황적 표현에서의 정확성), 연결성, 상황 성 3가지 항목으로 구분하고 각각을 2점, 1점, 0점으로 평가하여 교과서 별, 단원 별, 유형별로 적절성을 분석하였다. 또한 적절성 분석 결과, 적절성이 부족(1점)하거나 결여(0점)된 표상의 예를 찾아보고, 수열의 극한의 정의, 아킬레스와 거북, 프랙탈, 계산기 관련 표상이 교과서에 따라 다양하게 표현되는 예를 찾고 그들의 적절성을 비교해보았다. 본 연구의 연구 결과는 다음과 같다. 연구 문제 1의 결과, 교과서에서는 비문자적 표상이 충분히 사용되지 않고 있으며, 사진이나 만화를 전혀 사용하지 않은 교과서도 있었다. 특히, 교육과정 상에는 테크놀로지 활용을 강조하고 있지만 실제 테크놀로지를 활용하는 표상은 매우 빈약했다. 또한 주로 좌표평면 모델을 이용하여 직관적 정의에 따른 수열의 극한 개념을 지도하였다. 연구 문제 2의 결과, 모든 교과서에서 수학적 표현에서의 정확성이 가장 높았다. 반면, 상황적 표현에서의 정확성은 수학적 표현에서의 정확성에 비해 점수가 낮고 교과서에 따라 편차도 크게 나타났으며, 상황성은 모든 교과서에서 가장 낮게 나타났다. 또한 회화적 표상이 많이 사용된 도입 부분은 무한수열의 극한과 무한급수 부분에 비해 연결성이 낮은 반면, 상황성은 높게 나타났다. 회화적 표상 중에는 그림이 사진에 비해 연결성과 상황 성이 높게 나타났으며, 6개 유형 중 고루 높은 적절성을 보인 것은 만화이다. 본 연구의 결과를 토대로 다음과 같은 결론 및 시사점을 얻을 수 있었다. 먼저 비문자적 표상의 중요성을 인식하고 이를 적극적으로 활용하기 위해 교육 현장에 있는 사람들의 인식의 전환이 필요하며, 인식의 전환을 바탕으로 정확성, 연결성, 상황 성이 높은 비문자적 표상을 사용하기 위한 교과서 저자와 출판사의 노력이 있어야 한다. 특히 상황성과 관련된 적절성이 낮은 점수를 받았으므로 이에 대한 전반적인 재고가 필요하다. 그리고 테크놀로지를 활용하는 표상을 강화하고 그에 대한 설명을 제시함으로써 교수-학습 과정에서 테크놀로지가 효과적으로 사용될 수 있도록 해야 한다. 뿐만 아니라 동일한 내용도 교과서에 따라 다양하게 표현될 수 있으므로 여러 교과서에 대한 연구를 통해 보다 적절성이 높은 비문자적 표상을 학생들에게 제공하기 위해 교사들이 노력해야 한다. 마지막으로 여러 학교 급 교과서의 다양한 단원에서 사용된 비문자적 표상에 대한 연구와 부적절한 비문자적 표상이 학생들의 개념 이미지 형성에 미치는 영향에 대한 후속 연구가 이루어질 필요가 있다.;Non-textual elements mean visual representations which are not either only of texts, figures or mathematical symbols. They include both graphic representations, such as photos and pictures, and mathematical representations, such as graphs and mathematical figures. It is generally considered that languages or texts are the most efficient vehicles to teach mathematics. However, we cannot ignore that visual images also influence students thinking process. Because students perceive an object in both linguistic and visual forms. Therefore non-textual elements as well as textual elements should be investigated. In particular, the use of inappropriate non-textual elements may result in misconception or errors. Thus it is necessary to examine the appropriateness used in mathematics textbooks. Focusing on the unit of "the limit of sequences" in "Mathematics Ⅰ" this study analyzed the frequency and appropriateness of non-textual elements employed in the textbook. The following are the research questions for this study. 1. What is the average usage frequency and features of non-textual elements employed in "The Limit of Sequences" the unit of high school textbook "Mathematics I" published in line with the 2007 revised curriculum, depending on the type (photos, pictures, cartoons, a coordinate plane, figures, vertical lines), textbook and unit? 2. Are non-textual elements employed in "The Limit of the Sequences" the unit of high school textbook "Mathematics I" published in line with the 2007 revised curriculum, appropriate (in terms of accuracy, connectivity and contextuality) depending on the textbook, unit and type? In order to find out the answer for the question 1 above, the study set up analysis standards for classification by type and then calculated the average usage frequency of non-textual elements employed in "The Limit of Sequences" the unit of high school textbook "Mathematics I" published in line with the 2007 revised curriculum, depending on the type, textbook, and unit (introduction, the limit of the infinite sequence and infinite series), and examined their features. As for the question 2, the study classified the appropriateness into three constructs - accuracy (accuracy for mathematical representations, accuracy for contextual representations), connectivity, and contextuality and then assessed each of them by grading them the score 0, 1, or 2 and analyzed their appropriateness depending on the textbook, unit and type. Furthermore, after the analysis of the appropriateness, the study found representations having less or no appropriateness and looked for representations whose themes, though same, were expressed differently depending on the textbook, and then compared their appropriateness. The results of the study are as follows. For the question 1, the results show that non-textual elements were not sufficiently used in textbooks. Even some textbooks had no photos or cartoons. In addition, though the use of technology was emphasized in curriculum, only a few representations used technology. Furthermore, the concept of the limit of the sequence was intuitively introduced using a coordinate plane. For the question 2, the degree of accuracy for mathematical representations was highest in all of the textbooks. In the meantime, the degree of accuracy for contextual representations was scored lower than the degree of accuracy for mathematical representations and demonstrated a high deviation from textbook to textbook. The degree of contextuality was the lowest in all of the textbooks. Moreover, the degree of connectivity was lower and the degree of contextuality was higher in the part of introduction, where lots of graphic representations were employed, than in the parts, the limit of infinite sequence and infinite series. When it comes to graphic representations, pictures showed higher degree of connectivity and contextuality than photos, and of six types, the cartoon showed the highest degree of appropriateness. From the results of the study, the following conclusions and suggestions were made. To begin with, in order to recognize the importance of non-textual elements and to use them aggressively, people on the education field should be educated about the importance of non-textual elements, and the authors and publishing companies should put more efforts to employ more non-textual elements in textbooks. In particular, the effort to improve context-related appropriateness, which was scored lower in the study, should be made. In addition, representations using technology should be enhanced and explanations about them should be presented in order to ensure the efficient use of technology in the process of teaching-learning. Furthermore, as the same content can be expressed in various ways, teachers should make efforts to provide students with more appropriate non-textual elements through researching various textbooks. Finally, aggressive research should be conducted on non-textual elements used in the units of various textbooks adopted by schools, and research involving experiments should be performed regarding the effect of inappropriate non-textual elements on the forming of concept images among students.