극한개념의 이해와 미분개념 획득과정의 연결에 관한 사례 연구

Abstract

본 연구의 목적은 극한개념의 이해 단계를 조사한 후, 각 단계별로 나타나는 특징과 극한개념 이해 단계 발달의 특징에 대하여 알아보고자 함이다. 그리고 변화율과 관련하여 미분개념의 획득 과정에 대하여 극한개념의 이해 단계에 따른 사례별로 조사하는 것이다. 마지막으로 극한개념의 이해 단계와 미분개념 획득과정 간의 연결 관계와 그 특징들에 대하여 알아보고자 함이다. 본 연구에서는 극한개념의 이해 단계의 특징 조사를 위하여 극한개념의 역사적 발달 단계와 Ely(2007)가 분류한 네 가지 인식론적 배열 단계를 바탕으로, 단계적 동적 - 연속적 동적 - 직관적 정적 - 형식적 정적이라고 하는 극한개념 이해 단계를 설정하였다. 그리고 극한개념과 관련한 질문지를 구성하고 이를 바탕으로 고등학교 3학년 학생 50명을 대상으로 설문을 실시하였다 그리고 이들의 극한 개념을 단계적 동적과 연속적 동적의 0, 1단계와, 직관적 정적과 형식적 정적의 2, 3단계로 분류하였고, 그 중 단계별로 질적 사례 연구에 참여할 대상을 6명 선정하였다. 그리고 이들을 대상으로 극한개념 이해단계와 미분개념 획득 과정 및 개념 간 연결 관계에 대한 질적 사례 연구 방법을 실시하였다. 특히 미분개념 획득 과정 및 개념 간 연결 관계에 대하여서는 APOS 이론을 바탕으로 미분개념 획득 단계를 ‘행동’, ‘과정’, ‘대상’, ‘스키마’로 구분하였으며, Hahkioniemi(2006)의 미분개념과 극한개념의 네 가지 연결 관계를 C-1, C-2, C-3, C-4로 구별하여 이를 바탕으로 면담 내용을 질적 분석하였다. 본 연구의 분석결과를 요약하면 다음과 같다. 먼저, 연구참여자 6명을 대상으로 한 질적 면담 실시 결과, 우선 극한개념 이해의 각 단계별 특징과 극한개념의 이해 단계의 선형적인 발달관계를 확인 할 수 있었다. 그 단계별 특징을 살펴보면, 우선 0단계에서 무한히 많은 불연속적인 운동으로 극한을 인식하고 있고, 극한은 절대로 완전하지 않은 것으로 생각하고 있었다. 1단계에서는 연속적 운동으로 극한을 여기고 있는데, 특히 연속적인 그래프를 따라 움직인다는 것과 극한의 존재를 받아들이기는 하지만 운동의 결과로서 생기는 위치나 상태로 극한을 인식하고 있는 것으로 나타났다. 그러나 2단계에서는 이 극한이 움직이지 않고 정적인 것으로, 구간을 설정하여 그 구간 안에 무한히 많은 것이 존재함을 인식하고 있었다. 또한 이 구간을 잡기 위하여 임의의 근사를 거치며, 무한소를 0으로 생각하는 엄밀화되지 않은 직관을 가지고 있었다. 3단계에서는 구간을 잡을 때 제한된 값에 대하여 인식하면서 형식적 정의의 극한을 인식하는 특징을 갖고 있다. 이들 각 단계 사이에 공통점들이 존재하는 데, 먼저, 무한히 많은 것이 존재함으로 인하여 끊임이 없다고 극한을 인식하면서, 도달할 수 없는 움직임으로 여기는 특징들은 0단계와 1단계에서 공통적으로 나타난 특징이고, 1단계와 2단계 사이에서는 극한의 존재를 받아들인다는 것과 무한히 많은 것이 존재함을 인식한다는 공통되는 부분을 살펴 볼 수 있었다. 그리고 2단계와 3단계에서는 극한을 정적인 것으로 인식하고, 구간 내에 무수히 많은 것이 존재함을 인식하는 것, 그리고 무한소의 범위를 가지고 있다고 인식하는 것이 공통적이었다. 따라서 극한개념의 이해 단계가 선형적인 관계에 놓여 있음을 확인 할 수 있었다. 반면에, 각 극한개념 이해 단계의 사례별로 미분개념 획득 과정에 대하여 조사하였는데, 이들을 통하여 극한개념의 이해 단계가 높은 단계에 있을수록 미분개념의 획득 과정도 반드시 빠른 것은 아니라는 사실과 개념 간의 연결방법이 유의미한 연결 관계인 결합적 연결이나 반영적 연결 관계를 맺을수록 미분개념 획득 단계에서 보다 쉽게 미분개념의 스키마를 구성할 수 있다는 점을 얻어 낼 수 있었다. C-3과 C-4의 연결 관계를 가지고 있는 경우, 미분개념 획득 단계에서 스키마까지 구성하고 있음을 조사할 수 있는 반면, C-1과 C-2 즉, 개념을 전혀 이용하지 않거나 이용하더라도 의미가 없는 연결 관계를 짓고 있는 사례에서는 APOS를 바탕으로 한 모든 단계에 도달하는 것이 힘들다는 것을 알 수 있었다. 특히 극한개념을 전혀 미분에 명시적으로 이용하지 않는 C-1의 연결 관계에서는 무의미한 ‘행동’ 단계에서만 머무르게 된다는 것을 관찰할 수 있었다. 그리하여, 극한개념 이해 단계의 특징 조사 결과를 통하여 우선 질적 사례 연구가 개념 이해 조사에서 그 연구 방법의 필요성이 증대되었다는 점과 극한개념 이해 단계가 선형적인 발달 특징을 갖는다는 것과 관련하여 점차적으로 그 이해 단계가 상승될 수 있도록 각 단계에 맞는 극한 개념 교수.학습 방법을 고려해야 한다는 점을 논의해 볼 수 있을 것이다. 반면에, 극한개념 이해 단계의 사례별 미분개념 획득 과정과 개념간의 연결 관계 조사를 바탕으로 극한개념 이해 단계를 고려한 미분개념 교수.학습의 도입 방법을 고려하여야 함을 논의할 수 있고 그에 따라 교수실험을 할 것을 제언할 수 있다. 그러나 극한개념 이해 단계가 가장 높은 3단계에 해당하는 개념 자체가 고등학교 교육과정에서는 다루어지고 있지 않으므로, 이 경우에 해당하는 학생들에 대한 연구에는 한계가 있을 것으로 예상된다. 또한 본 연구에서의 이루어진 극한 개념 이해 단계별 그 사례수가 너무 작아서 일반화하기에는 어려움이 있어, 보다 많은 사례 수에 대한 극한개념 이해 단계별 미분개념 이해 연구가 후속으로 이루어져야 할 것이다. 그리고 미분의 기초개념에는 극한개념뿐만 아니라 연속, 실선, 함수 등의 또 다른 선수학습 개념들이 존재하므로, 각 기초개념들과의 연결성을 조사해보거나, 나아가서 기초 개념간의 통합된 연결 관계와 미분개념 획득 과정 간의 연결성을 살펴본다면 연결성 연구에 있어 더 큰 의의가 있을 것으로 보인다.;The purpose of this study was to examine the understanding steps of limit concept and then to learn the characteristics in each step and the characteristics of the development of the understanding steps of limit concept. And this study was to focus on the acquisition process of differential concept with related-rate for the understanding step of limit concept on a case-by-case basis. Finally, it was to investigate the connections between the understanding step of limit concept and the acquisition process of differential concept and the characteristics of them. In this study, in order to examine the characteristics of the understanding steps of limit concept, the steps were created according to historical development of limit concept. Moreover, the four steps of epitemological arrangement classified by Ely(2007) which include dynamic stepwise, dynamic continuous, static intuitive, and static formal were established. Then 50 high school students in third-grade answered a questionnaire related to limit concept. Their limit concept was divided into 0 or 1 step of dynamic stepwise or dynamic continuous and 2 or 3 step of static intuitive or static formal. Six cases of them were chosen as participants for qualitative case study. Qualitative case study was carried out on the understanding steps of limit concept, the acquisition process of differential concept and connections within those concepts. Above all, the acquisition process of differential concept was classified to action - process - object - schema according to APOS theory. Based on the four connections between differential concept and limit concept mentioned by Hahkioniemi(2006), the contents of face-to-face talk with the participants was analyzed qualitatively. The findings were as follows: Firstly, it was possible to check the characteristics of each step and the linear developmental relationship between the understanding steps of limit concept through qualitative face-to-face talk. Secondly, it didn't mean that the higher understanding steps of limit concept are, the faster acquisition process of differential concept becomes. And the more meaningful connections like incorporative or reflective was done, the easier it becomes to acquire the constitution of schema for differential concept. Therefore through the results of this study, we can suggest as follows: Firstly, the necessity of qualitative case study in the research on the understanding concepts is increased. Secondly it can be discussed that the teaching and learning method of limit concept should be suitable for each step. Thirdly, the introduction in teaching and learning of differential concept should be under consideration according to the understanding steps of limit concept, and then the experimentation with teaching method can be carried out. Furthermore, it was noticeable that the number of cases in this study is so small to be generalized that the more cases should be examined. In addition, there are many other foundational concepts of differential concept, such as continuity, real line and function. Therefore, it will be a good following research to study the qualitative case study on the connections between these foundational concepts and differential concept.