두 일차함수의 곱을 이용한 이차함수 그래프 지도

Abstract

함수는 현대 사회의 경제 현상 및 기술 공학적인 문제 등을 수학적인 언어인 표, 그래프, 식을 사용하여 의사소통할 수 있게 해 준다(교육과학기술부, 2008) 그러나 현대수학의 형식화, 대수화의 경향은 수학의 시각적 토대를 비본질적인 것으로 경시하는 상황을 초래하였으며(우정호, 1998), 이러한 상황은 연립방정식의 해를 구하는 문제에서 방정식과 함수의 동일한 수학적 상황이 주어진 경우에 방정식의 풀이를 택하는 결과로 학생들에게 나타났다(박정미, 2008). 이와 같은 문제인식에서 출발하여 본 논문은 중학교 3학년 학생들이 이차함수 그래프 학습에서 대수적인 문제로 그래프를 그리기에 실패하는 것을 보완할 수 있는 방법을 연구하고자 한다. 본 연구를 위해 먼저 이차함수 그래프 학습 후 학생들이 겪는 오류를 살펴보고, 그 중 대수적인 풀이의 어려움을 보완하고 이차함수 그래프를 효율적으로 교수·학습할 수 있는 방법을 찾고자 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 이차함수 학습 후, 학생들이 겪는 이차함수 그래프에 관한 오류는 무엇인가? 2. 이차함수 그래프를 두 일차함수의 곱으로 학습했을 때, 이차함수 그래프에 대한 이해와 그래프 그리기 면에서 어떤 효과가 있는가? 본 연구문제 1을 위해 먼저 고양시에 위치한 고등학교 1학년 여학생들 37명을 대상으로 이차함수 그래프에 대해 겪는 오류를 검사지를 이용하여 분석하였는데, 검사지는 이차함수 그래프에 관한 과제를 중심으로 9문항을 구성하였고, 그 중 세 문항은 이차함수 그래프에 관한 앞의 여섯 문항을 풀 때의 어려움과 이차함수의 대칭성 이해, 일차함수와 이차함수의 관련성에 대해 자신의 생각을 쓰도록 하는 문항으로 구성하였다. 그 결과로는, 첫째, x축, y축으로의 평행이동에 관한 내용과 그래프 그리기에서는 비교적 잘 기억하고 있었으나, 표준형으로 주어진 의 그래프에서는 그래프 그리기에서 오류를 많이 겪고 있었고, 그래프의 구조를 파악하여 그리기 보다는 단순히 꼭짓점에 의존하여 그리고 있었다. 둘째, 일반형으로 주어진 이차함수 그래프에 관한 검사에서 표준형으로 변환하는 대수적 방법을 기억하지 못함으로 인해 그래프를 완성하지 못하는 현상을 볼 수 있었다. 셋째, 필수적인 용어인 절편, 축의 방정식, 꼭짓점을 기억하지 못하여, 전체적으로 함수를 어려워하는 원인으로 용어 이해의 부족이 큰 원인이 됨을 알 수 있었다. 넷째, 이차함수 그래프의 대칭성은 그래프 모양을 통해 개략적으로 설명하였고 따라서 이차함수 그래프의 대칭성을 인식하고 있었다. 연구문제 2의 연구를 위해 먼저 이차함수 그래프 단원을 학습하지 않은 학생 6명을 수준별로 각각 상 수준 3명, 중 수준 2명, 하 수준 1명을 선택하여 기존의 학교 교육과정에서 교수·학습하는 이차함수 그래프의 기본 내용을 4차시 분량으로 먼저 교수·학습하고, 이후 학교 교육과정에서 이차함수의 활용단원을 기존 교육과정과 달리 일차함수의 그래프에 기초하여 이차함수 그래프를 그리는 교수·학습방법으로 3차시 분량의 수업을 진행하였다. 모두 2단원, 7차시 분량의 수업을 실시하고, 연구문제 1에서 사용한 검사지를 일부 수정 한 후 사용함으로써 일차함수 그래프에 기초한 이차함수 그래프의 학습 결과를 알아보고자 하였다. 그 결과로는, 첫째, 기존의 학교 교육과정에 의한 학습 방법에 비해 그래프를 구조적으로 잘 그렸다. 즉, 일차함수의 곱에 기초하여 이차함수를 학습하는 과정에서 학생들은 이전의 이차함수 그래프의 표준형을 학습한 후 그래프를 그릴 때 보다, 절편, 절편을 사용하여 좀 더 정확하게 그래프를 그리고자 하였다. 둘째, 표준형이 아닌 일반형에서 두 일차함수의 절편들의 중점을 이용하여 꼭짓점의 좌표를 구하는 방법으로, 꼭짓점의 좌표를 쉽게 구했다. 셋째, 두 일차함수의 곱으로 이차함수를 설명하고, 이차함수 그래프를 일차함수와 관련하여 설명하는 경향이 많아졌다. 넷째, 이차함수 그래프의 대칭성을 잘 이해하게 되었고, 그래프를 그리는 관점 면에서 점별 접근을 주로 하는 대수적인 시각과 더불어 전체적인 구조와 개형을 살피는 기하적인 시각을 가지고 그리게 되었다. 본 연구의 결과, 긍정적인 면과 더불어 두 일차함수의 곱으로 인수분해 되지 않는 경우에는 y축으로의 평행이동을 이용할 때 혼란을 겪기도 하여, 인수분해가 불가능한 이차함수의 경우 이를 지도하는 방법을 보완할 필요가 있고, 기존의 연구에서 공학에 의존함으로 실제적 수학 경험을 못했던 점은 보완되었으나 대칭성 증명의 복잡함으로 인해 학교 수업에서 실제 사용하기에는 다소 어려운 점이 있어 적절한 교수·학습 자료 개발이 요구된다. 기존의 학교 교육과정에서 이차함수 그래프 그리기를 배우는 과정에 두 일차함수의 곱을 이용하여 이차함수를 지도하는 방법을 수준별로 적절히 선택하여 교수한다면 학생들이 이차함수 그래프를 좀 더 효율적으로 학습할 수 있게 될 것으로 기대된다.;Function enables the communication between engineering problem and mathematical language with the tools of diagram, graph and equations(Ministry of Education, Science and Technology All rights Reserved, 2008). But the formalization and arithmetic trend of modern mathematics caused the negligence of visual foundation as non-essentials(Woo, Jeong Ho, 1998), this made the students bias to the equation rather than graphs in solving simultaneous equations. (Park, Jeong Mi, 2008). Under the recognition of this bias, this thesis study the compensation methods for students who fails descriptions by algebraic error in the quadratic function graph chapter. After observing primary error that occur in quadratic function graphing, following study themes are suggested in order to compensate algebraic solving problem complicacy and to find the effective teaching and learning method of quadratic graphs, 1. What are the errors that frequently occur after students make in solving quadratic function graph? 2. Is there some effect in understanding quadratic function graph and graph description when quadratic function graph is studied as the product of linear functions? For the research problem 1, The observation was made with 37 female first-grade high school students in Goyang. They learned quadratic function and were tested after short period. The test paper was analyzed to find the frequent error and the results show that, First, it is well memorized about the parallel motion along the x-axis or y-axis and graph description. But the graph description of standardized form ofcaused error and students were depending on vertex rather than graph structure. Second, students often failed in graph description because they could not transform the general representationto standard representation by algebraical methods. Third, they had difficulty in understanding the description of general terms like x intercept, y intercept, equation of axis, vertex and this made them feel uncomfortable with the function itself. Fourth, quadratic function graph symmetry was well understood from the graph form and general explanation. To study the second research problem, 6 students who did not learn the quadratic graph chapter were chosen and grouped to three high level group, two mid-level group and one low-level group. They learned the basic content of quadratic function graph as four session and then three session of quadratic graph description utilizing the product of linear function graph which is different from the present school curriculum. After studying total 2 chapters of 7 sessions, they took the modified test that was used in the first research problem. The analysis results showed that, First, they showed better performance than who learned present school curriculum. That is to say, students who learned the product of linear functions described more precisely using x intercept and y-intercept than who did only with standard representation. Second, they could easily find the coordinates of vertex using the middle point of two x-intercepts of linear functions. Third, they were able to explain the quadratic function as the product of two linear functions and understand the connections between them. Fourth, the symmetry of quadratic function was well understood and geometric observation of graph along with algebraic approach was enabled for them. This study results have side effects of students' confusion when dealing with quadratic function that is not resoluted into factors and this requires the advanced teaching methods. Also, present study relied on mechanical engineering and the compensation of practical mathematical experience is limited. It is essential to find the advanced teaching and learning tool to apply this in school teaching. As a conclusion, the present school curriculum will be more effective if the method that use the product of linear functions in solving quadratic function.