택시 기하를 활용한 수학 영재 교수 학습 자료의 개발 및 적용

Abstract

As people have more interest in the education for gifted students as a supplement policy of standardized education, there are more efforts to expand and develop students' creative thinking abilities and mathematic perceptions recently. By reflecting such a trend, there are more concerns focusing on education programs for gifted students, and grasping the characteristics of gifted students has been one of the most important assignments. The characteristics of gifted students can be observed and measured in many different aspects, which can be used to develop a variety of programs. In this context, this study attempted to develop a taxicab geometry-based teaching-learning program and to apply it to gifted students, while finding out the cognitive and emotional characteristics of gifted students through case study. First of all, by synthesizing previous researches, a teaching-learning model proper for a taxicab geometry-based teaching-learning program was designed, based on which a teaching-learning program was developed about taxicab geometry. In addition, by considering the characteristics of mathematically-gifted students, this study established an analytic frame with 9 kinds of cognitive characteristics and 2 kinds of emotional characteristics. Besides, by aiming at gifted students in the second grade in middle school, a teaching-learning experiment was conducted seven times, and a qualitative analysis was conducted by focusing on the copy of the entire class and the interview results pre-and-post the experiment. As a result of analyzing the data, gifted students were found to have the following characteristics in both the cognitive and emotional aspects. Firstly, gifted students displayed higher persistence and concentration on problem-solving during the process of students' initiative than the process of teachers' guidance. Secondly, when compared with their learning attitudes in general studies, they were found to participate in class more actively in a learning situation related to gifted students. In addition, while sharing with each other about procedures and methods for problem-solving through communication in small groups, gifted students were found to build challenging attitudes and confidence about problem-solving. Thirdly, when overcoming their stereotypes about distance conception, they were found to build insight as well. Fourthly, gifted students showed a characteristic of generalizing problems or topics newly brought up, but their characteristic of formalization was low in frequency, while showing a characteristic of collecting and classifying data for the work of generalization. Fifthly, after solving problems, they were observed to carefully consider whether or not errors exist in the results and the causes of errors as well as their own problem-solving methods through reflective thinking. The following is about gifted students' responses after the guidance of taxicab geometry and implications of taxicab geometry for the education of gifted students. Firstly, taxicab geometry can be an object to inspire gifted students' thinking, remaining in a level of intuition, into a level of logic. Secondly, their experiencing a new geometry may cause their inner curiosity by stimulating gifted students' intellectual curiosity and implanting in them that mathematics is created and developed. Thirdly, they are given a chance to experience to overcome their fixed thinking about euclidean geometry. Fourthly, since taxicab geometry has a merit that students can understand it with basic knowledge about euclidean geometry well enough, students can create ideas needed to establish problems for themselves without great difficulties. In other words, through the differences between taxicab geometry and euclidean geometry, gifted students will be given a chance to establish problems for themselves during the process of solving their own problems and to manifest their geniuses during the process of solving new problems. The analytic results of this study will not only help understand about gifted students, but become a case of developing teaching-learning models and materials for gifted students so that they may play a role as practical data to develop a proper teaching-learning program.;평준화 교육의 보안책으로 영재 교육에 대한 관심이 높아지고 있으며, 최근 들어 학생들의 창의적인 사고력과, 수학적 개념의 확장 및 발전을 꾀하려는 노력이 점점 더해지고 있다. 이러한 경향을 반영하여 영재 교육 프로그램에 대한 관심이 집중되고, 영재 학생의 특성 파악은 중요한 과제로 떠오르고 있다. 영재 학생의 특성은 다방면에서 관찰 및 측정될 수 있으며, 이는 다양한 프로그램의 개발로 발현시킬 수 있는 사안이다. 이러한 맥락에서 본 연구자는 택시기하 교수·학습 프로그램을 개발하여 영재학생들에게 적용하고, 사례 연구를 통해 영재 학생들의 인지적, 정의적 특성을 알아내고자 하였다. 먼저 선행 연구를 종합하여 택시 기하 교수·학습 프로그램에 적절한 영재 교수·학습 모형을 설계하고, 이를 바탕으로 택시 기하에 대한 교수·학습 프로그램을 개발하였다. 또한 수학 영재 학생의 특성을 고려하여, 인지적 특성 9가지, 정의적 특성 2가지로 분석틀의 범주를 구성하였다. 그리고 중학교 2학년 영재학생들을 대상으로 7차시의 교수 실험을 실시하고, 전체 수업의 전사본과 사전·사후의 면담 결과를 중심으로 질적 분석하였다. 자료 분석 결과, 정의적인 측면과 인지적인 측면에서의 영재 학생들의 특징은 다음과 같이 나타났다. 첫째, 영재 학생들은 교사 안내 과정에 비해 학생 주도의 과정에서 문제 해결에 대한 집착력과 집중력이 더욱 높이 발휘되었다. 둘째, 일반 학습에서의 학습태도와 비교하였을 때, 영재 관련 학습 상황에서 더욱 적극적으로 수업에 참여하였다. 또한 영재 학생들은 소집단의 의사소통을 통해 문제 해결의 절차, 방법 등을 서로 공유하면서 문제 해결에 대한 도전적인 자세와 자신감을 얻는 것을 알 수 있었다. 셋째, 영재 학생들이 거리개념에 대한 고정관념을 극복하였을 때 통찰이 일어났다. 넷째, 영재학생들은 새롭게 제기된 문제 또는 설정된 주제에 대하여, 일반화 하는 특징을 보였으나 형식화하는 특성은 그 빈도가 낮았으며, 일반화 작업을 위하여 정보를 수집하고, 분류하는 특성을 보였다. 다섯째, 문제를 해결하고 난 후에도 반성적 사고를 통해 자신의 문제 해결 방법과 결과에 대한 오류의 유무와 오류의 원인을 주의 깊게 고려하는 특징이 관찰되었다. 택시기하의 지도 후 영재 학생들의 반응과 택시기하의 지도가 영재 교육에 주는 시사점은 다음과 같다. 첫째, 택시기하는 직관 수준에 머물러 있던 사고를 논리적인 수준으로 고무시킬 수 있는 대상이 된다. 둘째, 새로운 기하를 경험은 학생들의 지적 호기심을 자극하여 수학은 계속 만들어지고, 성장해 나가는 것이라는 인식을 심어주어 내적 호기심을 유발할 수 있다. 셋째, 유클리드 기하의 고착된 사고를 극복할 수 있는 경험을 만들어준다. 넷째, 택시 기하는 유클리드 기하에 대한 기본적인 지식만으로도 충분히 이해할 수 있다는 장점이 있어 영재학생들이 스스로 문제 설정을 하는데 필요한 아이디어를 큰 어려움 없이 고안해낼 수 있다. 즉 영재 학생들은 택시기하와 유클리드 기하의 차이를 통해 자신의 문제 해결 과정에서 학습자 스스로 문제를 설정하고, 새로운 문제를 해결해나가는 과정에서 영재성을 발현하는 기회를 갖게 될 것이다. 이러한 본 연구의 분석 결과는 영재 학생들에 대한 이해에 도움을 주고, 영재교수·학습 모형과 소재 개발의 한 사례가 되어 적절한 교수·학습 프로그램을 개발하는데 실질적인 자료로서의 역할을 할 것이다.