분포 개념의 연계성에 따른 중학교 2학년 확률 단원 분석

Title
분포 개념의 연계성에 따른 중학교 2학년 확률 단원 분석
Other Titles
An analysis of the context of the middle-school second-graders’ textbook from the perspective of the concept of distribution and its correlation with the context of the seventh national mathematics curriculum
Authors
Issue Date
2010
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Abstract
This study’s premise is that since we use probability and statistics in many different ways in probability and statistics education is extremely important. Schools, however, need to develop the current probability and statistics curriculum further, particularly in regard to Lee and Nam’s(2005) emphasis on the concept of statistics and the significance of indeterminism in probability and statistics education. This study’s focus has arisen from my curiosity about the applicability of these concepts within the context of the middle-school second-graders’ textbook in the seventh national mathematics curriculum. Specifically, this study will examine these through an analysis of the chapter on probability in that textbook. It sets the meaning of probability, probability measurement, and likelihood principle as its variables. Research Question and Findings The research question is whether step 8, the chapter on probability in the seventh national curriculum, presents an appropriate formulation and contents from the perspective of the concept of distribution. This study’s findings in regard to that question comes from an extensive analysis of 16 kinds of textbooks addressing the topic. Despite their different arrangement sequences, they all presented the number of cases, the meaning of probability, its characteristics, and an explanation of the calculation of probability. All of them also adopted the number of cases as an introductory section in order to lead the readers to the next concept, which is mathematical probability. The content analysis revealed that the introduction chapter about probability is based on the number of cases. This causes a problem in regard to the contents’ connection with the next higher level of study because it weakens the connections between steps 7 and 9 because they are based on the concept of distribution. The sub-section explains the meaning of probability as a synonym for statistical probability, but most of the textbooks introduce the use of number of cases as a way to calculate probability. As a consequence, they are highly likely to confuse learners that the meaning of possibility is statistical probability and the use of the number of cases is the only way to calculate probability. This study therefore suggests fixing this problem by omitting the number of cases for mathematical probability, adopting statistical probability as the only definition of probability, and teaching the calculation of probability as statistical probability. If the curriculum is developed based on concept of distribution, it seems appropriate to adopt relative frequency, which was introduced in the section about frequency distribution and histogram in step 7, in step 8. Rearranging the content in this way will put the definition of probability in step 8 and help learners to approach the correlations and correlograms in step 9 more easily. This study therefore argues that it will be more efficient to omit mathematical probability from this step and teach it in Math 1 in conjunction with permutations and combinations, as this would both enhance the understandability of the concept of distribution and minimize the overlap between the steps. This study then analyzed how the textbooks present the meaning of probability, its calculation, the numerical values of probability, measure comparisons, and the likelihood principle, finding that 15 of the 16 textbooks introduced statistical probability to explain the meaning of probability, none approached it from the perspective of histograms, and only one used frequency-distribution tables to explain it. This study asserts that students can be taught efficiently with the use of frequency and histograms to enhance their understanding of the connection between statistical probability and probability in step 7. This modification can be accomplished with the same type of relative frequency table as in step 7. The chapter should then direct the students to make the same type of probability chart as the probability distribution table in step 10 so that probability in step 8 connects steps 7 and 10 more efficiently within the context of the concept of distribution. This study therefore argues that it is imperative to use frequency distribution and histograms to illustrate statistical probability in step 7 appropriately for the students to understand the connection between step 7 and the advanced levels of statistical probability in steps 8 and 10. This study also examined how the textbooks presented the characteristics of probability and its calculation. They all used examples to explain the characteristics of probability, complementary events, sum events, and product events. Considering the textbooks’ arrangement in regard to the connection of the concept of distribution in the seventh national mathematics curriculum, it seems appropriate to present probability in step 8 only as statistical probability, and the characteristics of probability and its calculation as statistical probability also, as statistical probability can explain these things fully. Furthermore, these explanations should be presented with empirical experiments reflecting daily life within the context of asymmetric relationships. This study also checked whether the textbooks’ questions asked students to measure comparisons between event involvement and empirical experiences of different events, which they did not do. The probability chapter, step 8, develops from experience distribution to formal distribution. It therefore needs to confirm that the students are fully aware of experience distribution, which it can do best by presenting them with examples that illustrate measure comparison in regard to event involvement based on daily life. This should enhance their ability to figure out measure comparisons between two events without knowing the accurate way of measuring their value of possibility. Questions based on daily life are also likely to illustrate how to calculate the value of possibilities by using relative frequency more easily and enhance their ability to understand the concept of distribution throughout the curriculum. This study also checked whether the textbooks’ questions in regard to the likelihood principle enable learners to experience future-oriented or past-oriented approaches to it and found that although they present the likelihood principle as probability-oriented thinking based on the inductive method, they contain only 10 questions about it, which were in such sections as “Let’s think more’, ‘Assessment’, and ‘Readings’. This implies that the textbooks fail to encourage students to consider these questions as seriously as they should. Furthermore, the questions’ subject matter is also apparently unrelated to most students’ actual daily lives, making it unlikely that they could infer the answers based on their own experiences. This study therefore suggests that the questions’ subject matter should be changed to reflect most students’ daily lives. The application of the likelihood principle is based viewing probability as the measurable volume and numerical value of possibility. The numerical value of possibility is also a concept of distribution and is therefore of great help in distribution education, making it vital to teach students as clearly as possible that a frequent event among many has a high possibility of occurring. Understanding this should enable them to connect experiences with probability more easily.;확률과 통계는 실생활과 가장 밀접하게 관련되어 있는 수학의 영역 중 하나라고 말할 수 있으며 그 중요성 또한 강조된다. 그럼에도 불구하고 확률과 통계 영역의 학교교육의 문제점은 끊임없이 지적되어 왔으며 따라서 그러한 문제점에 따른 개선안에 대한 다양한 연구가 시도되고 있다. 특히 이영하, 남주현(2005)은 선행연구를 토대로 ‘통계적 개념’을 제안하고, ‘비결정론적 인식론’을 바탕으로 한 확률과 통계의 지도를 강조하였다. 본 연구는 이영하, 남주현(2005)의 연구를 토대로 비결정론적 인식론과 통계적 개념 중 가장 유용한 도구인 분포개념을 살펴보고, 분포개념의 관점에서 7차 수학과 교육과정의 연계성 측면에 바탕을 두어 중학교 2학년 교과서 확률단원을 분석하였다. 이때 중학교 2학년 확률단원을 구성적인 면과 내용적인 면으로 나누어 분석하였으며, 내용적인 면에서는 확률의 뜻과 계산, 확률의 크기 비교, 가능성의 원리를 중심으로 하였으며 이는 확률과 통계 교육과정의 개선 가능성을 모색하는데 목적을 두고 있다. 본 연구의 연구문제는 아래와 같다. 1. 분포개념의 연계성을 바탕으로 할 때 7차 교육과정의 8단계 확률단원의 구성은 적절한가? 2. 분포개념의 연계성을 바탕으로 할 때 7차 교육과정의 8단계 확률단원의 내용은 적절한가? 교과서 분석 결과와 결과에서 드러난 문제점에 대한 개선방안을 교과서의 구성적 측면과 내용적 측면에서 요약할 수 있다. 첫째, 구성적 측면에서 교과서를 분석한 결과 16종 교과서의 구성방법은 조금씩 다르지만 경우의 수, 확률의 뜻, 확률의 성질 및 계산의 내용을 포함하며 이때 모든 교과서가 확률 내용의 도입을 경우의 수로부터 출발하고 있음을 알 수 있었다. 경우의 수로부터의 출발은 수학적 확률로 연결되기 위한 선행 작업으로 보이며, 실제 교과서 내용을 분석한 결과 확률단원 전체가 수학적 확률을 바탕으로 전개됨을 발견하였다. 이러한 구성은 분포개념으로 서술되어 있는 7단계와 9단계의 통계 내용과 연관성이 떨어지는 문제점을 보였다. 한편 소단원 확률의 뜻에서는 확률의 의미는 통계적 확률로 설명하고 있었지만 확률을 구하는 방법은 경우의 수를 사용하도록 구성되어 있는 교과서가 대부분이었다. 이는 학습자가 확률을 정의하는 방법이 여러 가지가 있다고 이해하기 보다는 확률의 뜻은 통계적 확률, 확률의 값은 수학적 확률로 한다고 혼란을 일으키기 충분하였다. 따라서 분석 결과에서 나타난 문제점에 대한 개선방안으로 수학적 확률과 수학적 확률에 필요한 경우의 수를 제거하고 통계적 확률만을 확률의 정의로 채택한 후 확률의 계산 역시 통계적 확률로 지도할 것을 제안한다. 분포개념을 바탕으로 교육과정을 전개할 때 7단계의 도수분포와 히스토그램에서 등장했던 각 경우를 헤아려 빈도로 표현하는 상대도수를 8단계에 도입하여 확률을 정의하는 것이 타당하며 이는 9단계의 상관도와 상관관계로의 연결 또한 자연스럽게 만들어준다. 이때 제거된 수학적 확률은 수학1에서 순열·조합과 함께 자세히 학습하는 것이 분포개념의 연계성뿐만 아니라 단계 간의 중복을 줄이는 교육과정의 방향과도 일치한다고 할 수 있다. 이러한 교과서의 구성은 7단계의 분포개념과의 자연스러운 흐름뿐만 아니라 학생들에게 경험과 연결되는 통계적 확률을 가르침으로써 동기부여의 의미도 가질 수 있을 것이라 생각된다. 둘째, 내용적 측면에서는 확률의 뜻, 확률의 계산, 확률의 크기비교, 가능성의 원리를 중심으로 분석하였다. 가. 확률의 뜻을 어떻게 지도하고 있는지 살펴본 결과 한 교과서를 제외한 15종의 교과서는 확률의 뜻을 통계적 확률로 도입하고 있었다. 한편 도수분포와 히스토그램을 활용한 예시를 사용하여 통계적 확률을 지도하면 통계적 확률이 7단계의 통계단원과 연결됨을 학습자는 자연스럽게 인식할 수 있음에도 불구하고, 통계적 확률을 설명할 때 히스토그램으로 확률을 접근한 교과서는 하나도 없었으며 완전한 도수분포표의 형태를 가지고 통계적 확률을 설명한 교과서는 단 하나뿐이었다. 따라서 7단계의 통계단원에서 학습했던 동일한 형태의 상대도수 분포표를 제시하고, 이를 활용해 통계적 확률을 이끌어낸 후 10단계의 확률분포표와 동일한 형태의 확률표를 작성하게 한다면 8단계의 확률단원이 7단계에서 10단계까지 분포개념을 바탕으로 자연스러운 흐름을 이어나갈 수 있도록 도와주는 역할을 수행할 수 있을 것이다. 즉, 통계적 확률을 지도할 때 도수분포와 히스토그램을 사용하여 학습자들이 7단계와의 연관성을 느낄 수 있도록 지도하는 방안을 제안한다. 나. 확률의 성질과 계산을 살펴본 결과 확률의 성질, 여사건·합사건·곱사건을 구하는 방법을 예시를 통해 설명하고 있었는데, 16종의 모든 교과서가 경우의 수에 대한 예시를 사용하고 있었다. 앞서 구성적 측면에서 분포개념의 연계성을 고려했을 때 8단계의 확률은 통계적 확률로만 지도하는 것이 더욱 자연스럽다고 지적하였으며 이에 따라 확률의 성질과 계산 역시 통계적 확률로 서술되어야 한다. 실제로 확률의 성질과 계산의 내용은 통계적 확률로도 충분히 설명되어질 수 있으며 이때 통계적 확률로의 설명은 실험을 통해 가능하다. 즉, 실생활에서 학습자에게 맞닿아있으면서도 수학적 확률로 구할 수 없는 비대칭성 소재를 사용하여 실험을 통해 얻은 자료를 가지고 성질과 계산을 지도할 수 있다. 다. 사건의 포함관계에 대한 크기 비교와 서로 다른 사건들에 대해 경험적 느낌에 의한 크기 비교를 묻고 있는지 분석한 결과 포함관계에 있는 사건들의 크기를 비교하는 문제, 경험적인 느낌으로 사건들의 크기를 비교하는 문제 모두 제시되어 있지 않았다. 8단계의 확률단원은 경험적 분포에서 형식적 분포로 넘어가는 단계라고 말할 수 있으며 이때 학습자의 경험적 분포에 대한 확인은 반드시 필요한 과정이다. 따라서 포함관계가 있는 사건들의 크기 비교와 일상생활에서 느끼고 경험하는 독립적인 사건에 대한 확률의 크기를 비교할 수 있는 예시를 제공할 것을 제안한다. 이는 확률값을 모르더라도 사건들이 포함관계가 있거나 경험에 비추어 직관적으로 크기를 가늠할 수 있는 사건들에 대해서 확률의 크기 비교가 가능하다. 이러한 예시는 학습자가 기존에 갖고 있는 경험적 분포개념을 상대도수를 이용해 확률과 연결시켜주는 역할을 하며 이는 교육과정을 분포 개념으로 연계성 있게 구성하는데 도움을 줄 것이다. 라. 가능성의 원리를 사용하여 미래지향적 혹은 과거지향적인 선택을 경험할 수 있는 문제가 수록되어 있는지 분석한 결과 가능성의 원리는 귀납적 추론을 바탕으로 하는 통계적 사고에 중요한 원리임에도 불구하고 이를 적용할 수 있는 문제는 고작 10문제 정도였으며 문제의 대부분은 좀 더 생각해보자, 수행평가 또는 읽을거리 등에 제시되어 있어 학생들이 깊이 생각할 수 있기는 어려워 보였다. 소재 역시 실생활이긴 하지만 학생들과 직접적으로 맞닿아 있는 소재가 아니여서 학생들의 경험에 비추어 판단하기에는 역부족이라는 느낌이 들었다. 따라서 학습자와 밀접한 소재를 사용하여 가능성의 원리를 적용할 수 있는 문제를 교과서에 수록할 것을 제안한다. 가능성의 원리를 적용한다는 것은 확률을 가능성의 크기로 보는 것이며, 가능성의 크기는 빈도개념 즉, 분포개념이므로 이 또한 분포 중심의 교육과정에 도움을 주는 것이라 할 수 있다. 결국 학습자는 가능성의 원리에 의해 다양한 사건들 중 더 자주 일어나는 사건일수록 발생 확률이 큰 것임을 명확하게 인식하여 경험과 확률을 연결할 수 있게 될 것이다.
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