상황적 추상화 과정의 고찰

Abstract

수학에서 다루는 대부분의 대상과 개념은 타교과와는 다르게 매우 높게 추상화된 결과이다. 수학에서 추상화는 지식의 구성과 발달 과정에서 핵심적인 사고방식으로, 학생들에게 인지적 부담이 크고, 가장 어려운 사고 과정 중 하나이다. 따라서 그동안 학생들의 수학학습을 돕고 이해를 향상시키기 위해서 수학에서 추상화 과정에 대한 연구들이 많이 이루어져 왔다. 이렇게 수학에서 추상화가 중요하고 많이 연구되어져 왔음에도 불구하고, 대부분의 연구들은 추상화의 의미를 다양한 관점에서 애매하게 설명해왔고, 또한 전문가의 관점에서 주로 이론적인 모델을 기반으로 이루어져 왔었다. 최근에는 학교수학에서의 추상화를 발생되는 상황과의 연결성에 따라서 형식적 추상화와 상황적 추상화로 구분하고, 수학학습에서 두 추상화가 모두 중요한 요소임을 강조하고 있다. 그러나 대부분의 학교 수학에서는 아직도 형식적 추상화를 더 강조하는 경향이 있다. 이런 경향은 맥락에서 수학적 사고를 분리시킬 수 있고, 수학에 대한 학습 동기와 흥미를 저하시킬 수도 있으며, 극단적인 경우에는 의미없는 형식만을 강조하는 결과를 이끌 수도 있다. 수학교육의 목표가 수학적 사고와 수학적 힘의 신장임을 고려할 때, 추상화된 대상이나 개념은 다양한 연결성과 함께 풍부한 의미를 포함해야 할 것이다. 학생들이 의미가 풍부한 추상화를 이루도록 하기 위해서는, 수학적인 것으로 인식한 상황을 조직하고, 그 상황을 수학적 추상화를 발달시키는 배경으로 이용하여, 상황 속에서 추상화가 시작되도록 유도하는 것이 필요하다. 그리고 그것이 상황 속에서 어떤 의미를 가지고 기존의 지식과 어떻게 관련되는지 반성하면서 의미의 망을 확대시켜 가는 것이 필요하다. 이렇게 학교수학에서 상황적 추상화를 유도하고 강조하기 위해서는, 그것이 어떤 과정으로 일어나게 되는지에 대해 연구할 필요가 있다. 본 연구의 목적은 학생들이 상황 속에서 수학적인 개념이나 의미를 어떻게 추상화해 가는지 그 특성들을 분석해보고, 기존 추상화에 대한 모델과 비교했을 때 어떤 점이 새롭게 드러나는지를 살펴봄으로써, 학생들의 사고 과정을 이해하고, 상황적 추상화 과정에 대한 실제적인 경험적 자료를 제공하는데 있다. 연구 목적에 대한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 상황 속에서 추상화 과정을 어떻게 구성해가고 발전시켜 가는가? 둘째, 학생들의 상황적 추상화의 각 과정에서 어떤 인식론적 행동이 나타나는가? 셋째, 학생들의 상황적 추상화 과정에서 맥락적인 요소는 어떻게 작용하는가? 이상의 연구문제를 기반으로, 본 연구에서는 이론적 근거로 추상화 과정에 대한 여러 인식론적 관점을 고찰하였다. 그리고 질적 사례연구 방법을 통해서 두 학생을 대상으로 상황적 추상화 과정을 조사하고, 조사한 자료를 기반으로 연구문제를 심도있게 분석하였다. 두 학생의 사례를 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 상황 속에서 두 학생의 추상화의 발달 과정은 기존 구조의 인식(R), 기존 구조의 확립(B), 새로운 구조의 구성(C), 구체로의 포괄적 상승 과정(AC)으로 진행되었다. 여기에서 ‘AC’의 과정은 기존 추상화 과정에 대한 모델에서는 드러나지 않은 과정으로, 새로 만들어진 구조가 다양한 구체와 연결되고 내적 관련성을 만들어 가면서 그 내용이 정교화되고 확장되는 과정이다. 학생들은 추상화의 과정에서 ‘R’의 과정과 ‘B’의 과정은 잘 수행해갔으나, ‘C’나 ‘AC’의 과정에서는 인지적으로 많은 어려움을 겪는 것을 볼 수 있었다. 그리고 추상화의 과정이 선형적으로 순차적으로 진행되면서 발전하는 것이 아니라, 앞 뒤의 과정을 자유롭게 왕복하면서 이전 과정을 반성하고, 그 결과를 다음 과정에서 적용하는 역동적인 과정을 거쳤을 때, 성공적인 결과를 얻는 것으로 나타났다. 또한 추상화 과정에서 수학 외적인 맥락을 고려하는 경향은 추상화를 방해하는 요소가 아니라, 추상화를 진행시키는 핵심적인 역할을 한다는 점도 알 수 있었다. 둘째, 두 학생의 상황적 추상화의 각 과정에서 어떤 인식론적 행동들이 작용하는지를 분석하였다. ‘R’의 과정은 문제 상황의 인식, 기존 수학적 대상이나 구조의 인식과 적용 행동이 작용하였고, ‘B’의 과정에서는 연결성, 비교, 기존 구조 주목, 이전 과정 반성과 같은 행동이 작용하였다. ‘C’의 과정에서는 새로운 대상에 주목, 새로운 구조의 필요성 인식, 연결성, 비교, 분석, 조건 변형 및 수정, 가설 설정·수정·평가, 불변적인 구조 확인, 평가, 이전 과정 반성 행동이 서로 관계를 맺으며 복잡하게 작용하는 것으로 나타났다. 이 과정에서 연결성과 비교는 ‘B’의 과정보다 좀 더 세분화되었고, 분석도 분석차원에 따라서 단일 분석과 종합적 분석으로, 분석 대상에 따라서 맥락 분석과 수학적 대상이나 구조 분석으로 나눌 수 있었다. 평가도 수학적 대상이나 구조를 통한 평가와 맥락을 통한 평가로 나눌 수 있었다. 구체로의 포괄적 상승 과정에서는 맥락 반성 및 분석, 새로운 구성물의 반성, 종합, 새로운 구성물의 정교화와 확장의 측면을 볼 수 있었다. 셋째, 두 학생의 상황적 추상화 과정에서 맥락이 어떻게 작용하는지를 분석하였다. 분석결과, 수학 외적인 일상적인 맥락과 이전에 구성했었던 수학적 구성물들, 그리고 사회적인 상호작용을 적절하게 결합해가면서 새로운 의미와 관련성들을 만들어내고, 그런 새로운 의미들이 다시 맥락과 구체적인 예와 연결되면서 내용을 풍부하게 하는 과정으로 진행해가는 것을 볼 수 있었다. 각 맥락의 작용을 보면, 과제 맥락을 분석하고 반성하는 것은 ‘R’, ‘B’, ‘C’, ‘AC’의 전 과정에서 어려움이나 모순점에 접했을 때 해결의 실마리를 제공하고, 추상화된 구조를 정당화하며, 구체와 연결하는 과정에서 의미를 풍부하게 하고, 다양한 대상과 연결시키는 역할을 하였다. 그러나 학습자에게 익숙하지 않은 과제 맥락은 추상화 과정을 방해하는 요소가 된다는 점도 관찰할 수 있었다. 그리고 개인 맥락이 풍부하고 이것을 잘 연결하여 재맥락화할 때, ‘C’와 ‘AC’의 과정에서 성공적인 결과를 얻을 수 있었고, 그 결과도 풍부한 의미를 가진 구조임을 확인할 수 있었다. 또한 개인의 수학에 대한 신념도 영향을 미치는 요소로 나타났다. 마지막으로 사회적인 차원과 상호작용은 학습자들이 보고 말하고 행동하는 방법에 영향을 끼쳐 추상화하는 과정을 도왔고, 학습자가 사회의 관점을 공유하고 개인내로 받아들이도록 하는데 결정적인 역할을 한다는 것을 알 수 있었다. 이상의 연구 결과들을 종합하여 볼 때, 본 연구는 다음과 같은 점들을 시사한다. 첫째, 추상화의 과정에서 구체에서 추상으로 가는 과정 뿐만 아니라, 추상에서 구체로 가는 과정도 또한 심도있게 다루어져야 하고 강조해야 한다는 사실을 알 수 있다. 즉 새로운 구조를 가지고 이전의 학습경험들을 재해석하고 통합하고, 다양한 맥락에서 그것을 활용하는 과정을 통해서 의미와 관련성들의 망을 풍부하게 하는 과정이 필요하다. 둘째, 구체에서 추상으로 가는 과정에서도, 다양한 경험과 맥락, 그리고 이전에 구성했었던 대상과 절차들을 연결시켜서 서로 비교하는 과정, 다양한 차원에서 분석해보는 과정, 주어진 조건들을 변형시켜서 여러 가지 가설들을 만들고 수정하는 과정, 그것을 평가하는 과정, 자신의 행동을 반성하는 과정을 통해서 불변적인 구조를 발견하도록 안내할 필요가 있음을 시사한다. 마지막으로 수학적인 개념을 추상화하는 과정에서 학생들이 여러 맥락을 분석하고 반성할 수 있는 기회를 가지는 것이 중요하며, 또한 이런 맥락의 고려는 추상화의 초기 단계에서뿐만 아니라 전 단계에서 지속적으로 이루어져야 함을 시사한다.;Most of mathematical objects and concepts are highly abstracted results, compared with other subjects. Abstraction is very essential thinking in construction and development of mathematical knowledge. But because it requires excessive cognitive burden to students, it is the most difficult mathematical thinking. Thus many studies on mathematical abstraction have been made so far to help students improve their mathematical understandings. Although abstraction in mathematics is very important and has been studied frequently, most of the previous researches have explained the abstraction ambiguously in different views, and been made based on theoretical model according to professional-oriented view. Recently, abstraction in school mathematics is classified by the formal abstraction and the situated abstraction according to the connection with situations that give rise to it. And it is suggested that both abstraction should be emphasized in school mathematics. But there have been trends that the formal abstraction is more focused in school mathematics. Such trends may result in the division of mathematical thinking from the context, the degradation of interest and motivation of learning, and in extreme cases the emphasis of meaningless formal logic. Considering that the purpose of mathematics education is the improvement of mathematical thinking and mathematical power, abstracted objects or concepts should include abundant meanings with various connections. To help students abstract with abundant meanings, it is required that students be guided to abstract within the situation, constructing the recognized situation mathematically and using it as the basis of development of mathematical abstraction. And it is also required that they be induced to expand the web of meanings reflecting what it means in the situation and how it is associated with the previous knowledge. To induce and focus on the situated abstraction in school mathematics, it needs to be studied how the process of the situated abstraction is developed. The purpose of this research is to analyze the process that students abstract the mathematical concept or meaning in situation, to find new characteristics by comparing the previous models of abstraction, to understand the thinking process of students, and finally to provide realistic and empirical materials about the process of the situated abstraction. According to the purpose of this research, the following three questions were proposed. First, how students progress and develop the abstraction in situation? Second, what epistemic actions have occurred in the situated abstraction of the students? Third, what is the effect of the contextual factors in the situated abstraction of the students? With the above questions in a mind, as a theoretical background for the research, various epistemic views and theories of the abstraction process were investigated. And then, the actual abstraction processes of two students were monitored as a qualitative case study. Based on the monitored results, the research questions were analyzed in depth. The analyzed results are as follows. First, the situated abstraction processes of two students consisted of recognizing action(R), building-with action(B), constructing action(C), and ascending from the abstract to the concrete action(AC). 'AC' has not been found in previous RBC model about abstraction process. 'AC' is a process that newly constructed structure is connected to the various concrete, sophisticated and expanded its meaning. Two students did well in 'R' and 'B', but had cognitive problems in 'C' or 'AC'. And it appeared that abstraction didn't proceeded linearly, but dynamically, reflecting the previous processes and applying them to the next process. In addition, the trends that considered the context in the abstraction didn't obstruct the abstraction, but play an important role in abstraction. Second, epistemic actions in each process of the situated abstraction of two students were followed. 'R' consisted of 'Recognizing problems' and 'Recognizing and Applying previous mathematical object or structure' actions. 'B' consisted of 'Connecting', 'Comparing', 'Attending to previous mathematical objects and structures', and 'Reflecting previous processes' actions. 'C' consisted of 'Attending to the new object', 'Recognizing the necessity of new structure', 'Connecting', 'Comparing', 'Analyzing', 'Transforming and Correcting of conditions', 'Hypothesis posing, correcting', 'Evaluating', 'Confirming invariants,' and 'Reflecting previous processes' actions. In the 'C', 'Connecting' and 'Comparing' were more sophisticated than those of the 'B'. 'Analyzing' were classified by 'Analyzing singular' and 'Analyzing multiple' according to the dimensions of analysis, and by 'Analyzing context', and 'Analyzing mathematical object or structure' according to the object of analysis. 'Evaluating' were classified by 'Evaluating context', and 'Evaluating mathematical object or structure'. 'AC' consisted of 'Reflecting context and new structure', 'Synthesizing', 'Sophisticating new structure', and 'Expanding new structure' actions. Third, it was analyzed that how the contextual factors were affected in the abstraction processes of two students. According to the analysis, task contexts, previous mathematical constructions and social interactions were combined to create new meanings and relations, and the new meanings were connected to the context and specific examples to enrich contents. Analyzing and reflecting the task context could be a clue to solve the problems occurred in 'R', 'B', 'C' or 'AC', be used to justify the abstracted structure, enrich the meanings in the process of connecting concrete, and relate various objects. But it was also found that, if the task context was not familiar to the students, it could be an obstacle to the abstraction processes. When individual context was abundant and was connected to recontextualization, successful results were accomplished in 'C' and 'AC' and the structure was abundant in the meanings. And it was also found that the personal belief to mathematics affected to the abstraction processes. Finally, social factor and interaction helped the abstraction process by affecting the students how to see, tell and act. Social factors and interaction also played a decisive role in sharing the social viewpoint and accepting it personally. Based on those findings, the following suggestions were drawn. First, the process going from the abstract to the concrete in abstraction also needs to be emphasized. In other words, it is required that the web of meanings and connections be abundant through reinterpreting and integrating previous learning experiences and applying them in various contexts. Second, in the process going from the concrete to the abstract, it needs to guide students to connect and compare various experiences, contexts, previous mathematical objects and procedures, to analyze them in the various dimension, to make, correct, and evaluate various hypotheses, and to reflect their action. Finally, it is important for students to take opportunity to analyze and reflect the context in mathematical abstraction continuously.