수학적 표현을 강조한 구체적 조작활동의 중학교 1학년 문자와 식 영역 지도 연구

Abstract

우리나라 7차 교육과정에서는 수학과의 목표를 ‘수학적 힘의 신장’에 두고, 학습자의 자율성과 창의성의 존중과 학생들의 학습활동과 수학적인 경험을 중시하고 있다. 또한 교수학습에서는 구체적 조작물 및 학습 기자재를 활용하여 개념, 원리, 법칙 등의 이해를 돕도록 강조하고 있다. 이러한 필요성에 의해 본 연구는 문자와 식 영역에서 수학 학습 부진아에게 수학에 대한 개념이나 이론을 암기시키는 것보다는 학생 스스로 구체적인 조작활동을 함으로써 개념을 이해 할 수 있게 하고, 수업에 참여하고 있다는 인식을 심어줌으로써 수학에 대한 흥미와 자신감을 가질 수 있게 하는 수업이 필요하다고 생각한다. 이에 본 연구에서는 구체적 조작활동의 활동적인 수업방안을 연구하고, 활동지를 구성 하였다. 이에 대한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 중학교 1학년 수학 학습 부진아을 대상으로 문자와 식 영역에서 구체적 조작활동을 한 집단과 지필식 수업을 한 집단의 수학 학업 성취도는 어떠한 차이가 있는가? 둘째, 중학교 1학년 수학 학습 부진아을 대상으로 문자와 식 영역에서 구체적 조작활동을 한 집단과 지필식 수업을 한 집단의 수학적 태도는 어떠한가? 셋째, 중학교 1학년 수학 학습 부진아을 대상으로 문자와 식 영역에서 구체적 조작활동을 한 집단의 수학적 표현은 어떠한가? 위와 같은 연구문제 하에, 본 연구에서는 우선 선행연구를 통해 구체적 조작활동에 관한 활동주의 수학학습에 대한 이론과 교육적 접근, 그리고 수학 학습 부진아에 대한 정의와 그 원인, 지도방안을 분석하였다. 본 연구에서는 수학 학습 부진아를 정상적인 학교 학습 능력이 있으면서도 학업 성취 수준이 다른 학생들에 미치지 못하여 학업 수준을 상․중․하로 구분하였을 때 하 수준의 학생으로 정의하였다. 첫 번째 연구문제인 구체적 조작활동이 수학 학습 부진아의 학업성취도에 어떠한 영향을 주는지 알아보기 위해 실험집단과 비교집단으로 나누었다. 두 집단이 동질집단임을 확인하기 위해 중간고사의 성적을 토대로 SPSS의 독립표본 t-검정을 실시하였다. 사후검사는 연구자가 직접 제작한 평가지를 사용하였으며, 수학교육 전문가들에게 검증을 받았다. 실험집단과 비교집단의 학업성취도의 차이를 알아보기 위해 SPSS를 이용하여 독립 표본 t-점정으로 분석 하였다. 두 번째 연구문제인 구체적 조작활동을 한 집단과 지필식 수업을 한 집단의 수학적 태도를 알아보기 위해 동일한 문항지로 사전․사후 수학적 태도 검사지를 실시하였다. SPSS를 이용하여 종속 표본 t-검정으로 분석 하였다. 실험이 끝난 후 실험집단을 대상으로 구체적 조작활동에 대한 사후의견을 설문지를 실시하였다. 세 번째 연구문제인 구체적 조작활동을 한 집단의 수학적 표현을 알아보기 위해 Nakahara가 분류한 5가지 표현 중 조작적 표현, 그림 표현, 기호적 표현을 자의적 해석으로 살펴보았다. 본 연구를 통해 얻는 연구 결과는 다음과 같다. 첫째, 구체적 조작활동을 한 실험집단과 지필식 수업을 한 비교집단의 수학 학업성취도의 차이를 살펴보았을 때, 두 집단은 통계적으로 유의미한 차이가 없었다. 이는 단기간의 학습으로 학업 성취도에 효과를 보기란 어렵다는 것을 알 수 있었다. 둘째, 수학적 태도 변화를 비교하였을 때, 비교집단은 사전․사후 수학적 태도 점수에 유의미한 차이가 없었으나, 실험집단의 경우 사전․사후 수학적 태도 점수에 유의미한 차이가 있음을 알 수 있었다. 이는 처음 학생들이 조작활동에 대한 부담감을 느끼는 듯 했지만, 조작활동을 통해 수학에 흥미를 느끼고, 수업에 적극적으로 참여하면서 수학에 대한 자신감이나 학습 태도 면에서 긍정적인 영향을 미치는 것을 알 수 있었다. 셋째, 실험집단에게 실시한 구체적 조작활동의 사후의견에서는 대부분의 학생들이 긍정적인 반응을 보였다. 하지만 ‘구체물을 이용한 조작활동 수업 때 장난을 많이 하였다.’라는 문항의 경우 다른 문항에 비해 부정적인 반응을 보였다. 실제로, 수업 중 의사소통이 많아지고, 조작활동을 하면서 학생들이 오랫동안 집중하지 못하는 경우가 있었다. 또는 조작활동을 하면서 조작교구로 친구와 장난을 치기도 하였다. 넷째, 구체적 조작활동을 한 집단의 수학적 표현의 경우 지필식 수업에만 익숙한 학생들이 처음에는 여러 방법으로 표현하는데 있어 어색해하였다. 자신이 직접 조작적, 그림, 기호적 표현을 하는데 있어서 어려움을 느끼는 듯 했으나, 점차적으로 표현에 있어서 자신감을 갖고 나타내며, 자랑을 하기도 하였다. 수학 학습 부진아의 경우 여러 표현 방법 중 조작적 표현을 선호하며 가장 자신있게 하였고, 기호적 표현은 많이 힘들어하였다. 특히, 그림 표현에서 기호적 표현으로 나타내는 과정에서 많은 학생들이 연산을 나타내는 과정에서 어려움을 많이 느끼는것 같았다. 위의 연구결과를 바탕으로 다음과 같은 결론을 내리면 다음과 같다. 수학 학습 부진아를 대상으로 한 구체적 조작활동의 수업에서 학업성취도면에서 눈에 띄는 효과를 거두지는 못했으나, 지속적으로 수학 학습 부진학생에게 구체적 조작활동이 수업에서 이루어진다면 학생들의 학업성취도가 향상되리라고 본다. 또한, 구체적 조작활동의 수업에서 수학 학습 부진아들은 조작물과 활동지에 많은 관심을 보이면서 수학학습에 흥미와 자신감을 보였는데, 조작물을 이용하여 활동을 한 학습이 학생들에게 조금의 자신감은 물론 수학을 어렵고 딱딱하다는 인식을 바꾸는 기회가 된 것 같다. 이러한 구체적 조작활동의 수업에서 교사의 역할은 매우 중요하다. 조작활동전에 조작물의 준비와 조작활동을 위한 많은 자료들을 준비해야 하며, 조작활동시 학생들이 산만해 지지 않도록 세심한 지도가 필요하기 때문이다. 구체적 조작활동은 학생들의 수업에 대한 참여를 높이기 위한 방법이 될 수도 있으므로, 교사의 격려와 지도 그리고 학생과의 의사소통을 통해 활동이 활발해 질 수 있게끔 많은 노력이 필요하다. Leak(2000)는 구체물을 활용한 수업에서 전문적으로 교육되어진 능력 있는 교사들에 의한 교육이 중요한 연구 변인이라고 하였다. 특히, 수학 학습 부진아에게 조작활동이 수학의 집중력과 태도를 향상 시킬수도 있지만, 잘못하면 구체적 조작교구로 수업 이외의 놀이를 하며 산만한 분위기가 될 수 있으므로 교사는 이것을 잘 숙지하여 학습 분위기를 잘 이끌어 갈 수 있어야 한다. 일선 교육현장의 수학 수업에서 알고리즘과 문제풀이나 답 구하기를 강조하다 보니 학생들은 당연히 수학을 암기하고 반복적으로 문제를 풀어보는 것에만 익숙해져있었는데, 여러 표현방법으로 나타내면서 학생들은 자신의 오류를 직접 눈으로 보고 수정을 하면서 수학적 개념을 암기하기보다는 이해하는 모습을 볼 수 있었다. 수학 학습 부진아들에게 수학에 대한 개념을 암기 하는 것보다 이해할 수 있도록 하여 수학에 대한 자신감을 심어 줄 수 도 있었다. 또한, 학생과 교사간의 의사소통도 활발하게 진행되어 전에는 몰랐던 학생의 수학에 대한 오류를 쉽게 찾아낼 수 있고, 교정이 가능하였다. 다양한 수학적 표현은 7차 교육과정의 수학적 힘의 향상의 의미를 지닌다고 본다. 이에 여러 수학적 표현이 학교 수학에서 반영되어야 하겠다. 본 연구는 다음과 같은 제한점을 갖는다. 첫째, 본 연구는 서울시 소재 Y중학교 1학년 수학 학습 부진아 31명을 대상으로 두 집단으로 나누어 집단의 학생수가 너무 적어 이를 모든 학생으로 일반화하는데 제한점을 갖는다. 둘째, 본 연구는 수학과 단원인 문자와 식 영역에서 중학교 1학년으로 한정하였으므로, 다른 영역에 적용할 때 연구 결과에 차이를 보일 수도 있다. 셋째, 본 연구는 문자와 식 영역에서 8차시분의 실험을 하였기에, 실험기간이 너무 짧았다. 본 연구의 결론을 가지고 다음 몇 가지 사항을 제언하고자 한다. 첫째, 본 연구에서는 문자와 식 영역에서의 구체적 조작활동의 수업에 관한 효과를 연구하였지만, 이를 전체적인 단원으로 확대하여 교수할 수 있는 학습 환경이 마련되어 학생들이 다양한 조작물로 직접 탐구해 볼 수 있는 방안이 모색되어야 한다. 둘째, 구체적 조작활동의 수업을 하면서 수학 학습 부진아의 문제 해결과정을 봄으로써 잘못 형성된 수학적 개념을 파악하고 이를 수정해가는 과정에서 학생들이 많은 흥미와 자신감이 생기는 것을 알 수 있었다. 수학 학습 부진아는 학교 수업을 수행하는데 있어 충분한 잠재력을 가지고 있다. 다만 기억력이나 집중력이 저조하거나 학습된 무력감에 의해서 최저수준의 학업성취에 미치지 못할 뿐이다. 수학 학습 부진아의 수학학습에 대한 동기를 향상시키거나, 주의력을 집중하게 할 수 있는 여러 수업전략들을 꾸준히 연구하고, 이들이 수학학습 능력을 올릴 수 있는 여러 많은 프로그램의 연구가 필요하다고 본다. 셋째, 다양한 수학적 표현방법은 학생들의 개념 오류를 수정하고, 수학적 아이디어를 표현함에 있어 긍정적이다. 본 연구에서는 수학의 표현방법 중 조작적 표현, 그림 표현, 기호적 표현 세 가지로만 분석하였지만, 양뱡향으로 진행되는 여러 표현 방법에 대한 연구와 표현방법에 대해 세부적인 연구가 필요하다고 본다.;The 7th curriculum of our country sets the aim of the math learning on 'Extension of the mathematical ability', respects learners' autonomy & creativity, and makes much of learning activities & mathematical experiences of students. Also, in the instructive learning, it emphasizes to facilitate understanding of the concepts, principles & rules using concrete operative teaching tools & learning materials. So, in this study, in the section 'Character & Formula', I think an instruction is required, which makes students having poor progress in math learning understand concepts by their own concrete operative activities rather than by memorizing concepts or theories of math, and makes them have interest & confidence in math by recognizing their participation in the instruction. So this study examined the active methods for the concrete operative activities, and composed the worksheet. The research topics on these are like followings. First, in the section 'Character & Formula', for students in the 1st grade of the middle school having poor progress in math learning, what are difference in math achievement between the group doing the concrete operative activities & the group doing writing-styled instruction? Second, in the section 'Character & Formula', for students in the 1st grade of the middle school having poor progress in math learning, how is the mathematical attitude between the group doing the concrete operative activities & the group doing writing-styled instruction? Third, in the section 'Character & Formula', for students in the 1st grade of the middle school having poor progress in math learning, how is the mathematical expression of the group doing the concrete operative activities? Under the research topics like above, this study analyzed the theories & educational approaches of math learning of activism on the concrete operative activities through the preceding studies, definition & causes of the students having poor progress in math learning, and instructive methods. When divided the level of learning into top, middle, bottom, this study defined students having poor progress in math learning as the ones of bottom level, whose achievements are under those of other students though they have normal learning ability. As for the first research topic, in order to inspect the effect of the concrete operative activities on the achievement of the students having poor progress in math learning, they were divided into the experimental group & comparative group. To identify that both groups are homogeneous groups, independent sample t-test of SPSS was performed based on the results of the mid-tern exam. For the post test, evaluation sheet which I manufactured by myself was used, and it was verified by the experts in math education. To inspect difference in school achievement between the experimental group & comparative group, it was analyzed through independent sample t-test using SPSS. As for the second research topic, in order to inspect mathematical attitude between the group doing the concrete operative activities & the group doing writing-styled instruction, pre․post test were preformed on the mathematical attitude through the same The questionnaire. It was analyzed through dependent sample t-test using SPSS. After completing the experiment, questionnaire was distributed for the post opinions on the concrete operative activities for the experimental group. As for the third research topic, in order to examine the mathematical expression of the group doing the concrete operative activities, operative expression, pictorial expression & symbolic expression among 5 expressions classified by Nakahara were examined through arbitrary interpretation. The research results are like followings. First, when examined difference in math achievements between the experimental group doing the concrete operative activities & the comparative group doing writing-styled instruction, there was no statistically significant difference. It shows that it's difficult to take effect in the school achievement through short-term learning. Second, when compared the change of the mathematical attitude, there was no significant difference in the pre․post results of the mathematical attitude for the comparative group, however, there was significant difference in those above for the experimental group. Though students seemed to feel pressure in the operative activities at first, it shows that there's positive effect in confidence or learning attitude on math during the time which they come to have interest in math through the operative activities and participate in the instruction actively. Third, in the post opinions on the concrete operative activities done for the experimental group, most of students showed positive response. However, in the case of the question 'Did much mischief during the instruction of the operative activities using the concrete objects', they showed more negative responses compared with other questions. In fact, during class, there were cases that students had many communications and they couldn't concentrate on the activities for a long time. Or they did mischief with friends using the operative teaching aids during the operative activities. Fourth, in the case of the mathematical expressions of the group doing the concrete operative activities, students familiar with only writing-styled instruction had difficulty in expressing in many ways at first. They seemed to have difficulty in doing operative, pictorial & symbolic expressions by themselves, however, they came to have confidence in expressing gradually, and sometimes they boasted of it. In the case of students having poor progress in math learning, they preferred the operative expression to others and did it most confidently, but had most difficulty in the symbolic expression. Especially, in the process performing the symbolic expression from pictorial one, many students seemed to have much difficulty in the operation. Based on the research results above, the conclusions are like followings. First, there was no outstanding effects in the achievement of the concrete operative activities for students having poor progress in math learning, but, it's regarded there's difficulty in obtaining good effects through the short-term instruction. However, if the concrete operative activities are done in the instruction continually, it's thought achievement of students will be improved. Second, students having poor progress in math learning had much interest in the operative teaching tools & activity sheets and there was effect in motivating their math learning. In the case of students having poor progress in math learning, they had lower confidence & interest in math than others, and difficulty in solving math problems by themselves so gave up. Learning through activities using the operative teaching tools seems to be a chance for changing the recognition that math is a difficult and tough thing with confidence. Third, algorithm, solving problems or getting answers are emphasized in the math instruction, so students come to be used to memorizing math and solving problems repeatedly. However, while their expressing in many ways, seeing their errors directly and correcting them, I could see them understand the mathematical concepts rather than memorizing them. Communications between students and the teacher were done actively, so mathematical errors of students unrecognized before could be found easily and correction was possible. Furthermore, various mathematical expressions are regarded to have the meaning of 'Extension of the mathematical ability' in the 7th curriculum. So many mathematical expressions have to be reflected on school math. Fourth, in the instruction of the concrete operative activities, the role of a teacher is very important. Because it's required to prepare operative objects and many materials before the operative activities with careful guidance in order for students not to be inattentive during the operative activities. The concrete operative activities can be a method to increase students' participation in the class, so many efforts are required for vigorous activities through teachers' encouragement, guidance and communication with students. Leak(2000) stated education by competent teachers who had a special training is the important research variable in the instruction using the concrete objects. Especially, for students having poor progress in math learning, operative activities can improve concentration & attitude on math, but if used wrongly, they can create inattentive atmosphere because students are likely to use the concrete operative teaching tools for playing not for studying. So teachers must understand it fully and lead class properly. This study has limits like followings. First, this study was done for 31 first grade- students having poor progress in math learning at Y middle school in Seoul through dividing them into two groups. The number of students was very few so it has a limit to generalizing into all students. Second, this study was done for first-grade middle school students in the section ' Character & Formula', so it can have different research result when applied to other section. Third, this study performed 8 times experiments in the section ' Character & Formula', so the period of the experiment was too short. With such a conclusion, I intend to propose a few things like followings. First, this study was limited on the instruction effects of the concrete operative activities in the section ' Character & Formula', but, a method has to be planned for students to explore directly with the various operative teaching aids through learning environs by expanding it into the entire units. Second, through problem-solving process of students having poor progress in math learning in the concrete operative activities, I could see students came to have much interest & confidence while grasping the mathematical concepts formed wrongly and correcting them. They have sufficient potential in the class. However, their achievements are under the minimum level owing to lack of memory & concentration or helplessness learned. It's required to research various class strategies improving their motive on math learning and cultivating attentiveness with works on many programs to raise their ability of math learning. Third, various methods of the mathematical expressions have positive effects on correcting students' concept errors and expressing the mathematical ideas. This study was limited on analyzing three things, or operative, pictorial & symbolic expressions among the mathematical expressions. However, it's regarded to be necessary for research on various expressive ways performed into two-way with detail.