고등학교 1학년 <수와 연산> 단원에서의 오류예방을 위한 교수-학습 방안에 대한 연구

Abstract

대수는 고등수학은 물론 다른 학문을 학습하기 위한 출발점으로서(Edwards, 2000), 수학 학습에서 수학적 사고를 향상시키기 위한 중요한 영역 중의 하나이다. 대수적 개념은 수와 연산에 관련된 개념, 방정식과 부등식에 관련된 개념, 그리고 함수개념으로 크게 나눌 수 있다(임부택, 1992). 대학에서의 대수적 구조에 관한 학습은 현대 수학의 영향 아래 1960대 학교 교육 과정의 특징이었다. 군은 고도의 전문적 수학 언어와 추론을 통해 이론을 형식화 하는 분야로써 매우 중요하다. 고등학교 수학 수업에서는 실수 연산의 기본 성질에 대한 이해를 바탕으로 학생들이 수의 규칙성과 수 사이의 관계를 지배하는 법칙을 일반화하게 함으로써 대수적 구조를 파악하도록 하고 있다. 고등학교 <수와 연산>단원의 목표는 대수적 구조를 파악하는 것이지만, 그 구조를 지나치게 강조하지 않도록 권고한다. 고등학교 <10-가> 단계의 <수와 연산>단원의 궁극적 목표는 학생들에게 수학의 기본적인 개념, 원리, 법칙을 이해시켜서 수학의 체계를 명확하게 파악하고 논리적으로 사고하는 태도와 능력을 기르는 것이다. 또한 수학의 용어와 기호 사용에 대한 뜻을 깊이 이해시켜 학생들이 수학적인 사실을 간결하고 명확하게 표현할 수 있는 능력을 기르고자 한다. 그러나 대부분의 고등학생들은 <수와 연산>단원을 실수의 사칙연산에 대한 당연한 성질을 새삼스럽게 정리하는 단원으로 생각하거나, 새롭게 정의된 항등원, 역원과 같은 생소한 용어를 막연히 외워야 하는 단원으로 받아들인다. 즉, 많은 학생들이 치밀한 분석과 다양한 사고를 요구하는 낱낱의 단어와 기호를 암기하거나, 대충 이해하고 넘어가버린다. 이렇게 학생들이 단원 내용을 기계적으로 암기하게 된다면, 학생들에게 학습 내용이 무의미한 정보처럼 보일 수 있고, 학습 내용을 정확하게 이해하지 못하여 정확한 지식을 학습하지 못하고 잘못된 개념이나 절차를 배우게 되는 결과를 가져오게 될 것이다. 즉 오개념이 형성되거나, 잘못된 절차를 적용하여 문제를 해결하는 과정에서 오류를 범하게 되는 것이다(신계화, 2006). 본 연구는 고등학교 <수와 연산>단원과 관련된 용어와 기호 사용에 대한 학생들의 이해를 도울 수 있으며, 많은 학생들이 공통으로 보이는 오류에 대한 분석 자료를 토대로 학생들이 겪을 수 있는 오류를 예방할 수 있는 교수-학습 방안을 모색해보고자 했다. 연구자는 위와 같은 문제를 해결하기 위하여 다음과 같은 세 가지 연구문제를 설정하였다. Ⅰ. <수와 연산>단원에서 학생들이 보이는 대표적인 오류들을 유형별로 분류할 수 있는가? Ⅱ. <수와 연산>단원에서 오류를 예방할 수 있는 교수-학습 방안은 무엇인가? Ⅲ. <수와 연산>단원에서 교수-학습 방안의 오류예방에의 효과를 말할 수 있는가? 연구자는 본 연구의 목적에 맞게 진진욱(2005)의 부록에 실린 설문지 문항과 현행 <10-가> 교학사 교과서 문제를 참고하여 <예비검사지>를 제작하였다. 검사지의 문항이 연구의 목적에 타당한지를 알아보기 위하여 <수와 연산>단원을 학습한 90명 학생들을 대상으로 예비검사를 실시하였고, 문항에 대한 응답결과를 살펴보면서 수정이 필요한 문항은 수정, 추가, 삭제하여 <본 검사지>를 만들었다. 이 두 검사지는 통계학 전문가의 검토를 받아 타당성을 검증받았다. 우선 첫 번째 연구문제를 해결하기 위해 <수와 연산>단원 학습을 마친 서울시 소재의 S 여자 인문계 고등학교 1학년 상, 중, 하 수준의 90명 학생들에게 <예비검사지>를 풀도록 하였고, 학생들이 <예비검사지> 문제를 해결하면서 보인 오류들을 분석, 분류하고, 대표적인 오류유형을 선정하였다. 두 번째 연구문제 해결을 위하여 연구자는 <예비검사지>를 통해 조사한 오류유형과 오류원인에 대한 자료를 토대로 오류예방을 위한 교수-학습 방안을 모색하고, 구안한 교수-학습 방안이 오류를 예방하는데 효과가 있는지 알아보기 위해 <수와 연산>단원을 학습하지 않은 1학년 학생을 대상으로 두 차시에 걸쳐 수업을 진행하였다. 2008년 3월에 실시된 서울시 학력평가 점수를 바탕으로 비슷한 수준의 학생 63명을 연구대상으로 정하고, 실험군과 통제군으로 나누어 실험군은 본 연구에서 구안한 오류예방을 위한 교수-학습 방안을 바탕으로, 통제군은 강의식 으로 지도하였다. 그리고 세 번째 연구문제인 연구자가 구안한 교수-학습 방안의 오류 예방에의 효과를 알아 보기위하여, <수와 연산>단원 학습을 마친 실험군과 통제군 학생들에게 <본 검사지> 문제를 풀도록 하고, 두 집단 학생들이 푼 검사지를 학습 숙달 기준에 따라 채점하였다. 그리고 학력평가 점수를 공변인, 검사지 점수를 종속변인으로 하여 공분산 검사를 하였고, 주목할 만한 결과를 보인 3개의 문항에 대해서는 교차분석을 하여 두 집단 간 응답결과의 유의한 차이를 알아보았다. 본 연구의 세 가지 연구문제들에 대한 결과들을 종합해보면, 다음과 같은 결론을 내릴 수가 있다. 많은 학생들이 <10-가> <수와 연산>단원을 중학교 때 학습한 실수의 성질을 단순히 정리하는 단원으로 생각하여 실수의 기본 성질과 새롭게 정의된‘닫혀있다', 항등원, 역원 개념을 이해하지 않고 단순히 암기하는 경향이 있었다. 그 결과 대부분의 학생들이 새롭게 정의된 용어의 개념을 명확하게 파악하고 있지 못했고, 문자식에 쓰인 기호 낱낱에 함축되어 있는 의미의 중요성을 알지 못하였으며, 또한 용어 간의 상관관계도 파악하지 못하고 있었다. 즉, 학생들은 단원을 학습하였으나, 의미 있는 학습이 되지 못했으며 여러 형태의 오류를 보이고 있었다. 따라서 연구자는 <수와 연산>단원 학습에서 나타날 수 있는 오류를 예방하여 학습의 효율성을 높일 수 있는 적절한 교수-학습 방안을 모색해보았다. 연구자는 학생들에게 <수와 연산>단원 학습에 앞서 학습에 대한 동기 부여를 하여 학생들이 단원 학습의 필요성을 느끼고, 닫힘성, 항등원, 역원 개념 이해를 돕고 문제해결력을 향상시킬 수 있는 다양한 지도 방안을 모색하고 모색한 교수-학습 방안을 토대로 수업 계획안을 세워보았다. 연구자는 수업시간에 학생들에게 새롭게 정의된 용어와 용어들 간의 관계에 대한 이해를 도울 수 있는 시각적인 학습보조 자료와 반성적 사고를 자극하는 문제를 제공하고, 학생들이 자주적으로 다양한 예를 일반화시켜 문자식으로 표현하도록 격려하고, 탐구활동과 소그룹 토론 활동을 통해 기호 낱낱에 함축되어 있는 의미와 용어들 간의 상관관계를 발견할 수 있도록 하였다. 이러한 교수-학습 방법은 학생들에게서 나타날 수 있는 오류를 예방하는데 효과가 있었다. 학생들은 자주적 탐구활동과 소그룹 토론 활동을 통해 좀 더 의미 있는 학습을 하였고 그 결과 새롭게 정의된 개념과 정의에 내포되어 있는 조건을 보다 확실히 이해하고, 용어들의 상관관계를 체계적으로 학습하여 문제해결능력이 향상되었음을 확인할 수 있었다.;Algebra is the starting point of many academic areas including advanced mathematics (Edwards, 2000) and is an important area to improve mathematical thinking in mathematics study. The algebraic concept can be roughly divided into the concept of number and operations, the concept of equation and inequality and the concept of function. (Lim, Bu-Tak, 1992) In particular, algebraic concept related to the area of number and operations helps forming a basic concept of group. Group structure is the structure which symbolizes and systematizes the structure by setting up strict rules and can be stretched out to other areas. Learning algebraic structures in university was one of the features in 1960’s academic curriculums influenced by modern mathematics. Group is very important as an area formalizing theories through mathematical terminologies and reasoning. In mathematics classes in high school, based on understanding of basic features of operation of real numbers, students are guided to understand the algebraic structure by generalizing the rules over the relationship between numbers and patterns. Although the object of the unit <Number and Operations> is to understand algebraic structure, it is advised not to emphasize exceedingly on structure itself. The final object of the unit <Number and Operations> in senior high school <10-Ga level> is to help student understand mathematical system and foster ability and attitude of logical thinking by teaching the basic concept, principle and laws of mathematics. At the same time, it aims to foster students’ ability to demonstrate mathematical cases precisely. However, most senior high school students perceive the unit <Number and Operations> as a unit merely restating obvious characteristics of basic arithmetic of real numbers or obscurely memorizing newly introduced terms such as identity element and inversion. That is, many students are going through the unit just memorizing each term and symbol without completely understanding. When students merely memorize the terms without understanding, this unit can be perceived as useless information thus the students without understanding are likely to have difficulties in learning the concepts and process. That is, the students will make errors in problem solving process by applying inadequate process or misconception (Shin, Gye-Hwa, 2006). This study aimed to design a teaching-learning method to prevent the students from making errors based on the analyzed data on common errors frequently made by most students, and to help students understand the terminologies and symbols introduced in the unit <Number and Operations> in high school mathematics. The researcher designed following three study questions to solve the problems stated above. Ⅰ. Is it possible to classify the typical errors made by students in the unit <Number and Operations> according to type? Ⅱ. What is the teaching-learning method to prevent the errors in the unit <Number and Operations>? Ⅲ. Is it possible to prove the effectiveness of the provided teaching-learning method on preventing errors in the unit <Number and Operations>? The researcher designed a <Pilot test Sheet> referring to the suitable questions in the currently used 10-Ga textbook published by Gyohaksa and the in the questionnaire detached in the textbook by Jin, Jin Wook(2005). To evaluate the consistency with the object of this study, the study conducted a pilot test on 90 students who have studied the unit <Number and Operations> and then designed <Test Sheet>. These too scales were verified and proved its validity by statistician. First of all, to solve the first study question stated above, the errors made on <Pilot test Sheet> by 90 students from each of high, middle and low level in S senior woman high school located in Seoul were analyzed and then the typical errors were selected and classified by type. To solve the second study question, the researcher developed a teaching-learning method to prevent the errors based on the data of the types of errors and the reasons of errors obtained from <Pilot test Sheet>, and applied the developed method twice on 10th grade students who have not studied the unit <Number and Operations> yet to prove the effectiveness of the developed method on preventing errors. 63 students in similar level based on the Seoul Student Assessment in March 2008 were selected and divided into experimental group and control group. The students in experimental group were educated under the teaching-learning method developed in this study while the control group was educated under the existing method unchanged. Then, to find the effects of the teaching-learning method to prevent errors developed by the researcher which was the third study question, <Test sheet> was given to the students in both group and solved. By setting the scores on the Student Assessment as covariate, covariance analysis was carried out. For the outstanding 3 questions, cross tabulation analysis was conducted to see the significant differences between the answers from each group. The conclusion drawn from the results of the analysis done based on the 3 study questions is as follows. Many students perceive the unit <Number and Operations> as a unit simply reviewing the characteristics of real numbers studied in middle school and simply memorizing the concepts of newly defined closeness, identity element and inversion without clear understanding. As a result, those students could not understand the concept of newly defined terms and do not realize either of the importance of meanings implicated in each symbol used in character expression or the correlation between terms. Therefore, teachers should help the students understand algebraic structure by emphasizing on understanding of number system through a practical method of learning. This study aimed to develop various teaching methods to improve students problem solving ability and help the students understand the concepts of closeness, identity element and conversion by motivating the students to study the unit so that they feel the necessity of the unit <Number and Operations> before it gets started, then the study aimed to structure the more efficient class to prevent errors based on the findings of this study. The researcher provided the visual aids to help students understand the correlation between newly defined terms and the questions stimulating reflective thinking, encouraged the students to generalize various mathematical cases and express in character expression and guided the students to find the correlations between terms and meanings implicated in each symbol through small group discussions and independent researching activities. This teaching-learning method was highly effective in preventing the errors made by students. The students could study in depth through independent researching activities and small group discussion and the study could confirm that the students were able to have clear understanding on the conditions implicated in the newly defined concepts and definitions and able to improve their problem solving ability through the systematic learning of correlations between each term as a result.