ON INTEGRATED CURVATURE INVARIANT

Abstract

Let M be a compact oriented Riemannian manifolds of dimension n with the curvature tensor R. We quote from[1, D VI] and [6, Theorem 9, 21] to show the following: If the dimension of M is two, then the Classical Gauss-Bonnet Theorem say that the Euler characteristic which can be generated as an integral oven M of the linear invariantτ(R) is (up to scalar multiplication) the only topological invariant. Furthermore, if the dimension of M is four, then the Gauss-Bonnet-Chern Theorem and invariant theory are used to show that the only topological invariant of a compact oriented four-dimensional Riemannian manifolds M which can be generated as an integral oven M of a linear combination of the quadractic invariants ◁그림 삽입▷ (원문을 참조하세요) is (up to scalar multiplication) the Euler characteristic.;M을 곡률 tensor R로서 짝수 차윈 n의 compact이고 방향이 붙여진 Riemannian 다양체라고 하자. 그러면 [l, D.VI]과 [6, 정리, 9, 21]를 인용하여 다음과 같은 정리들을 보인다. 만일 M의 차원이 2라면, 고전적 Gauss-Bonnet 정리를 이용해서 M위에서 선형불변원 □(R)의 적분값으로 형성된 Euler 표수는 단지 위상불변 하다는 것을 알수 있다. 더욱더, 만일 M의 차원이 4라면 , R의 이차불변원이론과 Gauss-Bonnet-Chern 정리를 이용해서 M위에서 이차불변원 ｜R｜^(2), ｜e(R)｜^(2), ｜T(R)｜^(2)으로 선형조합을 이룬 적분값의 단지 위상불변은 Euler의 표수뿐이라는 것을 알수 있다.