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고등학교 학생들의 학업성취수준에 따른 수학 문제제기 활동 분석

고등학교 학생들의 학업성취수준에 따른 수학 문제제기 활동 분석
Other Titles
An Analysis on Mathematical Problem Posing Activities According to high school student's Mathematics Learning Achievement levels.
Issue Date
교육대학원 수학교육전공
이화여자대학교 교육대학원
The 21st century has brought a knowledge-based information society that requires independent and creative thinking capable of actively creating new knowledge, and accordingly, it puts an emphasis on problem-solving ability and mathematical ability. Schools, however, tend to be focused on getting higher scores on entrance exams through repeated, simple “answer-finding”, and students lack the ability for critical thinking to solve math problems – they solely depend on lessons from teachers and guides. Thus, the mathematics education community has been doing exhaustive studies on problem-posing to improve and develop problem-solving teaching/learning methods. Recently, However, the qualitative problem-posing activities has been conducted from elementary school to high school, analysis on high school 2 grade students have been insufficient. Considering that the students need to utilize their own mathematical knowledge and skill overall during problem-posing activities, it is necessary that researches related with problem-posing activities should be changed according to academic achievement level of students. After analyzing problem-posing activities with such three ways - properties change, result change, and arbitrary change - based on academic achievement level of high school 2 grade students, it investigate how it effects to academic achievement level of mathematics. The aims of this study art to collect preliminary data on problem-posing activities by conducting problem-posing classes with high school students and thus provide help problem-posing teaching/learning according to academic achievement levels. To this end, a few questions were selected as follows: 1. What is any differences of the problems from mathematical problem-posing activities of high school students in the academic achievement levels (upper-middle and lower-middle) of high school students? 2. Does the extent to which students find mathematical problem-posing difficult in classes vary according to academic achievement levels (upper-middle and lower-middle)? 3. How do problem-posing activities of students affect to academic achievement levels according to academic achievement levels (upper-middle and lower-middle)? For these, second-grade high school students were divided into two groups – an upper-middle group (group A and B) and a lower-middle group (group C and D) - according to mathematics learning achievement levels, and again they were divided into an experimental group (group A and C) and a control group (group B and D). Problem-posing classes were composed of 6 sessions – 2 sessions of exponent, log and matrix units. For the first question, the problems which the students pose are analyzed with work-sheets used during classes for acquiring relation between problem-posing activities and academic achievement levels. For the second question, checklists were used to find out the extent to which students find problem-posing activities and problem-posing difficult. pretest are conducted using the quantitative section of the National Level Achievement Test held in mid-March and a self-produced test for mathⅠ exponent unit, to assess the effect of problem-posing activities on mathematics learning achievement – the third of the aforementioned questions. The mid-term math exam of the first semester held in late April was used for posttest. The independent sample t-test was computed using SPSS 12.0 Windows version to compare the difference between the mathematics learning achievement of experimental group A and C, and a significant difference was found with statistical significance of 0.05. The results of the study are as follows: Firstly, the C group (lower-middle group) make more problems than the A group (upper-middle group) against expectation. For analyzing the cause of such a result, individual interviews are conducted after class. In the A group (upper-middle group), the students try arbitrary-change, which take more time, first rather than properties-change or result-change. Because the students of A group (upper-middle group) think that arbitrary-change are more interesting and helpful than properties-change or result-change, they try to do arbitrary-change first. In this case, if the students fail to problem-posing, the problems posed by the students are reduced. As a result, the numbers of problems posed by the C group (lower-middle group) are more than A group (upper-middle group). Secondly, the analysis of the extent to which students find problem-posing difficult suggests that group C – lower-middle – generally found it more difficult than group A – upper-middle. For arbitrary-change particularly, while group A increasingly found it easier as the class progressed, group C continued to find it difficult. Thirdly, students’ ability to understand and apply problems was improved through problem-posing activities, and problem-posing activities enhanced the mathematics learning achievement of students for mathematics. There was a statistically significant difference among the lower-middle group, particularly between the average of group C - who took a problem-posing class - and group D – who took a problem-solving class. This indicates that problem-posing activities have a larger effect on the lower-middle group than on the upper-middle group when it comes to the improvement of mathematics learning achievement. In conclusion, problem-posing activities are effective in students’ math-learning since they require accurate understanding of posed problems and the math concept of the problems, allowing students to improve their academic achievement. Therefore, introducing problem-posing activities in classes to help students improve their academic achievement and applying the activities to performance evaluation enable to utilize one of the assessment methods to find out the result of students’ problem-solving as well as their problem-understanding ability and problem-solving process. In addition, during problem-posing classes, arbitrary change-oriented activities should be applied to upper-middle groups rather than properties-change and result-change, and for lower-middle groups, properties change-oriented activities should be applied to help accurately understand mathematical concepts and problems so that students can have an interest and confidence in math. Also, teachers must be careful about selecting units and basic problems, and after individual problem-posing activities, they must make students correct the problems and find errors by providing opportunities for students to correct problems themselves. Since the subject of the study was confined to second-grade students, various teaching/learning materials on other units need to be developed and applied for other grades. As the mathematics learning achievement levels were divided into only two groups, the levels should be divided into more number of groups and a tailored study for problem-posing activities is needed for each group. Furthermore, implementing performance-evaluation using various evaluations for students’ problem-solving process and mathematical thinking after analyzing problems posed by students during students’ problem-posing activities, will be effectively used in public education.;21세기는 지식기반 정보화 사회로 자기 주도적으로 지식을 창조할 수 있는 자율적이고 창의적인 사고가 필요한 시대이며 이를 대비하기 위하여 7차 교육과정에서는 문제해결력과 수학적 힘을 강조하고 있다. 하지만 학교 현장에서는 단순히 문제풀이를 통한 입시위주의 수업에 치중하는 경향을 보이며 학생들은 수학 문제를 해결하는데 있어 능동적인 학습을 하기보다 교사의 설명이나 해설서를 그대로 수용하는 학습을 주로 하고 있다. 이에 수학 교육에서는 학생들의 문제 해결 능력을 기르기 위하여 문제제기에 관한 연구가 많이 이루어지고 있으며 이들 연구 대부분은 문제제기 활동이 문제해결력 신장과 학생들의 수학적 태도를 개선한다는 양적인 연구들이다. 최근 들어 실제 문제제기 활동을 분석한 질적인 연구들도 실시되고 있으며 그 연구 대상이 초등학교부터 고등학교까지 전반적으로 연구가 되고 있으나 고등학교 2학년 학생들의 문제제기 활동을 분석한 연구는 미흡하다. 문제제기 활동을 할 때 학생들은 자신이 가지고 있는 수학적 지식과 기능을 종합적으로 사용해야하기에 다양한 사고능력이 필요하다는 것을 감안한다면 학생들의 학업성취 수준에 따라 문제제기 활동에 대한 연구도 필요하다는 것을 알 수 있다. 따라서 학생들의 학업성취 수준에 따라 속성변경, 결과변경, 임의변경 등 세 가지 방법을 이용한 문제제기 활동을 분석하고, 학업성취 수준에 따라 문제제기 활동이 수학학업 성취도의 미치는 영향을 알아보고자 한다. 이를 통하여 문제제기 활동에 대한 학업성취 수준에 따른 학생들의 문제제기 활동에 대한 기초자료를 얻고 문제제기 교수․ 학습에 도움을 주고자 본 연구를 실시하였다. 이러한 연구 목적을 위하여 다음과 같이 연구문제를 설정하였다. 1. 고등학교 학생들이 수학 문제제기 활동을 통해 만든 문제는 학업성취 수준(중상수준, 중하수준)에 따라 어떠한 차이가 있는가? 2. 고등학교 학생들이 수학 문제제기를 어려워하는 정도는 학업성취 수준(중상수준, 중하수준)에 따라 어떠한 차이가 있는가? 3. 문제제기 활동이 고등학교 학생들의 학업성취 수준(중상수준, 중하수준)에 따라 학업 성취도에 미치는 정도의 차이가 있는가? 이를 위해 먼저 고등학교 2학년을 대상으로 학업성취수준에 따라 중상집단(A그룹, B그룹)과 중하집단(C그룹, D그룹)으로 나눈 후 다시 문제제기 실험집단(A그룹, C그룹)과 비교집단(B그룹, D그룹)으로 나누어서 실험연구를 하였다. 문제제기 수업은 지수단원, 로그단원, 행렬단원 각 2차시 총 6차시로 이루어졌다. 첫 번째 연구문제인 학생들이 문제제기 활동을 통해 만든 문제는 학업성취 수준에 따라 어떠한 차이가 있는지를 알아보기 위하여 수업시간에 활동한 학습지를 통하여 분석하였으며, 두 번째 연구문제인 문제제기를 어려워하는 정도를 알아보기 위하여 문제제기 활동 및 문제제기를 어려워하는 정도 측정 검사지를 사용하였다. 세 번째의 연구 문제를 알아보기 위해 사전검사는 3월 중순에 실시되는 전국 연합 학력평가 수리영역과 수학Ⅰ 지수단원 내용의 자체 제작한 평가지를 가지고 실시하였으며 사후검사로는 4월말에 실시된 1학기 중간고사 수학시험으로 대신하였다. 실험집단 A그룹과 C그룹의 학업성취도의 차이를 알아보기 위하여 SPSS 12.0 Windows version 을 이용하여 독립 표본 t-검정으로 분석한 후 유의미한 차이를 확인하였으며, 통계적 유의미성은 .05의 수준에서 검증 하였다. 본 연구를 통해 얻은 연구 결과를 종합하면 다음과 같다. 첫째, 학업성취 수준에 따른 중상집단인 A그룹과 중하집단인 C그룹의 문제제기 비율을 비교한 결과 학업성취수준이 더 높은 학생들이 문제를 더 많이 만들 것이라는 예상에서 벗어나 중하집단인 C그룹이 문제를 더 많이 만든 것으로 나타났다. 이런 결과가 나온 원인을 알기 위하여 수업 후 면담을 실시한 결과 A그룹의 학생들이 기본문제를 푼 후 속성변경과 결과변경을 먼저 하지 않고 시간이 오래 걸리는 임의변경을 먼저 시도하였으며, A그룹에서는 속성변경과 결과변경을 하는 것보다 임의변경을 통해서 문제제기하는 것에 더 많은 흥미를 느끼고 도움이 된다고 생각하여 이를 먼저 시도하다가 실패한 경우에는 문제제기를 하지 못한 경우가 되어 문제를 제기한 수가 적게 나오게 되었다는 것을 알 수 있었다. 둘째, 학업성취 수준에 따라 문제제기를 어려워하는 정도를 분석한 결과 전반적으로 중하집단인 C그룹이 중상집단인 A그룹보다 문제제기를 어려워하였다. 특히, 임의변경의 경우 A그룹은 수업이 진행됨에 따라 점점 문제제기를 쉽게 느껴지는 것에 비해, C그룹은 계속 임의변경을 이용한 문제제기를 어려워하였다. 셋째, 문제제기 활동을 통하여 학생들은 문제를 이해하고 응용할 수 있는 능력이 신장되었으며, 문제제기 활동이 학생들의 수학 학업성취도를 향상시키는 것을 알 수 있었다. 특히 중하집단에서 문제제기 수업을 한 C그룹의 평균과 기존 문제 풀이 수업을 한 D그룹의 평균을 비교할 때 통계적으로 유의미한 차이를 보였으며 문제제기 활동이 중상집단보다 중하집단의 학업성취도의 향상에 더 큰 영향을 미치는 것을 알 수 가 있었다. 위의 연구결과를 바탕으로 결론을 내리면, 본 연구에서 문제제기 활동은 주어진 문제와 그 안의 수학 개념을 정확히 이해해야 할 수 있기에 학생들의 수학학습에 도움이 되고 이에 학생들의 학업성취도 향상을 가져왔다고 볼 수 있다. 따라서 학생들의 학업성취도 향상에 도움이 되고자 수업시간에 문제제기 활동을 도입하고 이를 수행평가로도 반영한다면 학생들의 문제의 풀이 결과뿐만 아니라 문제의 이해 능력과 문제해결 과정을 파악할 수 있는 도구로 활용될 수 있을 것이라고 본다. 문제제기 수업에서 학생들의 학업성취 수준에 따라 중상집단에게는 속성변경과 결과변경보다는 임의변경 위주의 문제제기 활동을 하도록 하고, 중하집단에게는 수학적 개념과 문제의 정확한 이해를 돕기 위하여 속성변경 위주의 문제제기 활동을 하게 하여 학생들에게 수학에 대한 흥미와 자신감을 가질 수 있도록 해야 할 것이다. 또한 교사는 문제제기 수업을 할 때 단원과 기본문제의 선정에 유의해야하며 개인별 문제제기 활동을 한 후 조별로 만든 문제에 대하여 수정하고 조별 문제에서 학생들이 만든 문제의 오류를 찾아내도록 하여 학생들 스스로 문제를 수정할 수 있는 기회를 제공해 주어야 하겠다. 본 연구의 대상이 고등학교 2학년으로 한정하였으므로 다른 학년의 다른 단원의 내용으로 다양하게 교수․ 학습 자료를 개발하고 적용해 볼 필요가 있으며, 학업성취수준을 중상집단과 중하집단으로 두 집단으로 나누어서 연구하였는데 이를 보다 세밀하게 나누어 실시하고 각 집단의 특성에 맞는 문제제기 활동에 대해 연구가 필요하겠다. 또한 학생들의 문제제기 활동에서 학생들이 만든 문제를 분석하여 학생들의 문제 풀이 과정 및 수학적 사고력의 다양한 평가를 직접 수행평가로 실시한다면 교육현장에서 유용하게 활용될 수 있으리라 생각된다.
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