학습자의 오개념과 오류에 대한 교사들의 Pedagogical Content Knowledge 사례 연구

Abstract

최근 교육계에서는 교수-학습 과정에서 학생의 이해에 초점을 맞추던 기존의 경향에서 벗어나 교사의 교수학적 변환 과정이 중요한 논의 대상으로 떠오르고 있다. 이러한 경향을 반영하여 교사 지식의 한 요소인 Pedagogical Content Knowledge(이하 PCK)가 교수-학습 과정의 중요한 요인으로 인식되고 있다. PCK는 내용지식, 학생지식, 교육과정 지식 등에 의해 구성되며, 최근에는 상황지식이 하나의 구성 요소로 포함되고 있다. 그러나 아직까지 PCK가 무엇인지에 대한 논의만 무성할 뿐 PCK의 실체에 대한 연구가 활발하게 이루어지지 않고 있다. 왜냐하면 PCK라는 주제는 교사의 주관적 지식이기 때문에 구체적으로 드러나는 실체를 찾기가 쉽지 않으며 연구자 개인의 시각에 따라 다양하게 해석될 수 있기 때문이다. 그러므로 본 연구에서는 교사들이 가장 가르치기 어려워하는 주제이자 중등 수학 교육의 기초가 되는 함수영역을 중심으로 학습자가 가질 수 있는 오개념과 오류에 대한 Mathematics Pedagogical Content Knowledge(이하 MPCK)를 분석하는 것을 목적으로 하고 있다. 먼저 선행 연구를 종합하여 함수 영역의 오개념과 오류에 관한 내용 요소별 분석틀을 구성하였다. 오개념을 학생들이 개념 형성과정에서 여러 가지 원인에 의해 받아들여야 하는 내용과 다르게 변형하여 받아들인 것으로 정의하고, 함수와 관련한 정의, 함수의 그래프, 함수의 대수적 표현의 세 가지 영역으로 나누었으며, 오류는 학생들이 자신의 인지구조에 정착된 개념을 인출하는 과정에서 나타나는 것으로 정의나 정리의 부적절한 사용, 번역 능력의 부족의 두 가지 영역으로 나누었다. 이 분석틀을 기초로 수업 노트, 동영상 전사 자료, 수업 지도안, 협의회 전사 자료를 통해 교사들의 MPCK를 분석하였다. 서로 다른 기간의 경력을 가진 5명의 교사들에 대한 수업 분석을 통해 MPCK의 다양한 양상을 확인할 수 있었으며, 수업 계획에서 수업 실제로 이어지는 시계열 분석을 통해 수업 상황에 따라 달라지는 교사들의 MPCK의 변화를 확인하였다. 분석 결과에 따르면 오개념 범주에 대한 교사들의 MPCK는 다음과 같다. 교사들은 예제를 통해 학생들이 가지고 있는 오개념을 교정하려고 시도하였으며, 예제를 이용하는 방식은 오개념의 종류에 따라 다르게 나타났다. 첫째, 함수의 정의에 관한 오개념에 대해서는 오개념에 의한 갈등 상황을 유발하여야 하고, 둘째, 함수의 그래프에 관한 오개념에 대해서는 학생이 직접 그려보는 활동을 제시한 후 시각적인 도구를 사용하여야 하며, 셋째, 함수의 대수적 표현에 관한 오개념에 대해서는 적절한 예시들을 비교하거나 용어 풀이를 이용하여야 한다는 MPCK를 가지고 있었다. 오류 범주에 대하여 분석한 결과 교사들은 수업 준비 과정에서 대체로 오류를 고려하지 않는 것으로 나타났다. 오류는 문제의 풀이 과정에서 나타나는 것이므로 교사들은 미리 교정 수업을 계획하기 보다는 수업 중간에 학생들의 풀이 과정을 교사가 직접 확인하면서 즉석에서 잘못된 점을 지적하고 고쳐주어야 한다는 MPCK를 가지고 있었다. 수업 준비 단계와 수업 실제에서 나타나는 교사들의 MPCK를 분석한 결과 교사들이 사전에 계획한 수업의 실제 반영 정도를 알 수 있었고, 각 단계에서 교사들이 가져야할 MPCK가 무엇인지 명확히 구분할 수 있었다. 또한 수업계획의 반영과 관련하여 초임교사와 경력교사가 가지고 있는 MPCK에 차이가 있음을 알 수 있었다. 교사들의 수업 분석을 통한 MPCK 사례 연구를 통해 공표된 지식들은 교사들이 다른 교사의 수업을 간접적으로 체험하고, 교수-학습에 관한 지식을 습득하며, 자신의 수업을 비판적인 시각에서 바라보는 계기가 될 수 있을 것이라 생각되며, 이는 현직 교사들의 전문성 신장과 예비 교사 교육에 도움이 될 것이다. 또한 PCK의 유형에 따른 분류방식에서 벗어나 수학 내용지식을 중심으로 PCK를 분류하고 시계열로 PCK의 변화양상을 확인함으로써 PCK의 구성 요소인 상황 지식에 대해 고려할 수 있으며 이는 PCK에 관한 후속 연구에 시사점을 제공할 것이다.;These days, the teaching - learning procedure focused on the student's understanding has changed into the didactic transposition of the teacher's knowledge in the educational world. According to this tendency, Pedagogical Content Knowledge, one factor of the teacher's knowledge is recognized as the important one in teaching- learning procedure. PCK is constructed by content knowledge, knowledge of learners and curriculum knowledge and circumstantial knowledge were recently added. However, the studies of PCK aren't revitalized only but mentioned what the PCK is. Because the subject of the PCK is the subjective knowledge, it is difficult to find the concrete substance of it and it can be interpreted diversely depending on the view of researchers. In this study, the purpose of this study is that I organize the misconceptions and the error analyses focused on the function field which is the basis of the secondary mathematics education and one subject hard to teach and analyze Mathematics Pedagogical Content Knowledge (MPCK). For this study, I organized content analysis frames of the misconceptions and errors of the function as putting previous studies together. The misconceptions are the transfigured meanings during the concept formation course because of several reasons and divided into three parts, the definition of the function, the graph, of the function and the algebraical expression. Also, errors are revealed during the course of concept output sticked to the their own cognitive structure and divided into inadequate uses of the definition and lack of translation ability. Based on the analysis frame, I analyzed the teachers' MPCK through the notes of the lesson, decalcomania resources of the movies or councils and the lesson plans. I confirmed a variety of characteristics of the MPCK through the lesson analysis and teachers' MPCK variation which can be different depending on the teaching situations through the preparation stage and practice stage of the lesson. The result of analyzing teachers' MPCK about the misconceptions in terms of the content knowledge is that teachers tried to correct the students' misconceptions through many examples and the methods of using examples were different. The teachers mostly didn't consider errors of revealing during the course of solving problems in the lesson preparation course. The errors in MPCK are that the teachers check students' courses answering questions and correct students' wrong answers rather than plan the lesson for correction previously because the errors are revealed during the course of solving problems. The analysis result of teachers' MPCK appeared in the stage of lesson preparation and practice is that I can recognize the degree of practical reflection of the planned lesson and which MPCK the teachers have in each stage. Also, I can find the difference of the MPCK between newly appointed teachers and experienced teachers related to the reflection of the lesson plan. The representing knowledges in MPCK case studies through lesson analyses of the teachers can help teachers observe their lessons with the critical view as participating in other teachers' lessons, educate preparatory teachers and improve experienced teachers' skills. Also it will provide the information to the following studies about PCK and consider the one factor, background knowledge, as confirming the variation tendency of the PCK and classifying the PCK focused on the content knowledge of mathematics.