고등학교 10-나 단계 삼각함수 개념의 이해와 지도에 대한 연구

Abstract

The purpose of this study is to survey the realities of understanding in 2nd graders of high school about a concept of trigonometric function in step 10-Na, and to develop the learning materials that can help the understanding about the unit based on this. In order to achieve this research objective, the following research problems were established. 1. What about the realities of understanding in 2nd graders of high school about a concept of trigonometric function in step 10-Na? 1.1 What bout students' understanding about a concept of trigonometric function? 1.2 What is a reason for the characteristic response and incorrect answer that students show in the process of solving a problem about a concept of trigonometric function? 2. How will the learning materials be form that can help the understanding about a concept of trigonometric function? In order to solve research problem No.1, it selected 198 2nd graders in 3 high schools where are located in Bucheon, Anyang, and Ilsan city of Gyeonggi province. And, based on questionnaire that was prepared by analyzing the 7th national Mathematics curriculum, the questionnaire data was analyzed by using frequency and percentage according to students' response by item. Also, in order to grasp more correctly a cause for students' incorrect answer shown in the Test among the targeted students, the interview was carried out by selecting 6 students who showed the specific response. In order to solve research problem No.2, the keynote of learning materials was fixed by first analyzing the historical developmental process and the preceding research on trigonometric function. Through analyzing textbooks in our country, America, and India, the approach of a concept was grasped. Based on students' understanding status about a concept of trigonometric function, which was obtained through the analyzed results from research problem No.1, the developmental direction in learning materials was established that can help a concept of trigonometric function. The following are the results of analyzing the actual condition of understanding a concept of trigonometric function in 2nd graders of high school. First, students knew the positive direction(positive angel) and the negative direction(negative angle), and understood angle with the revolved volume, thereby having been able to show the size of angle with picture. However, their thought was remaining only in angle from the static viewpoint between 0^(o)and 360^(o), without recognizing the expansion in the range of angle. Second, as for familiar shape, students were good at changing the angle shown with sexagesimal method into Radian, and the angle shown with Radian into sexagesimal method, but failed to know correctly the definition in 1 radian, and failed to recognize Radian as the unit of showing the size of angle. Also, they failed to understand the angle shown with Radian in relation to the real number. Third, students failed to understand the definition of trigonometric function by coordinates on the circle on the coordinate plane. Fourth, students well obtained by substituting the cycle of trigonometric function for formula, but failed to rightly know the definition of cycle. And, they were failing to understand cycle in relation to the fact that ‘as for all the real number , is satisfied.’ Also, they failed to understand trigonometric function in relation to the cyclic situation in real life or natural phenomenon. Based on the above results, this study had the components of teaching & learning materials as three sub-subjects such as general angle & Radian, definition & graph in trigonometric function, and utilization in trigonometric function(cyclic function and trigonometric function). The learning activity was allowed to be performed with having materials related to real life, which were excerpted in newspaper article and column, in order to allow students to recognize its necessity and usefulness by learning a concept of trigonometric function from the realistic context. And, the learning materials were formed centering on activity in which students themselves explain and analyze. Also, students were allowed to examine its characteristics of graph in trigonometric function through computer(GSP4), and to formalize this gradually. In particular, The learning data, which was presented in this study, was developed on the foundation of the best approach of the concept grasped in analyzing textbooks in Korea, America, and India. This one will be able to be utilized usefully as the teaching-learning material in the unit of trigonometric function, and will be able to be conducive to changing recognition on the unit of trigonometric function into the positive direction.;본 논문은 10-나 단계의 삼각함수 개념에 대한 고등학교 2학년 학생들의 이해도를 조사하고 이를 바탕으로 단원의 이해를 도울 수 있는 학습 자료를 개발하는 데에 그 목적이 있다. 이러한 연구 목적을 달성하기 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 삼각함수 개념에 대한 고등학교 2학년 학생들의 이해도는 어떠한가? 1.1 삼각함수 개념에 대한 학생들의 이해력은 어떠한가? 1.2 삼각함수 개념에 대한 문제해결 과정에서 학생들이 나타내는 특징적인 반응과 오답의 원인은 무엇인가? 2. 삼각함수 개념의 이해를 도울 수 있는 학습 자료를 어떻게 구성할 것인가? 연구 문제 1을 해결하기 위해 경기도 부천, 안양, 일산시에 소재하고 있는 인문계 3개 고등학교 2학년 남녀학생 198명을 선정하였으며, 제 7차 수학과 교육과정과 고등학교 교과서를 분석하여 작성된 검사지를 바탕으로 학생들의 항목별 반응에 따른 빈도수와 백분율을 이용하여 검사 자료를 분석하였다. 또한 대상 학생들 중에서 지필검사에서 나타난 학생들의 오답의 원인을 좀 더 정확히 파악하기 위해서 특징적인 반응을 보인 학생 6명을 선정하여 면담을 실시하였다. 연구 문제 2를 해결하기 위해, 먼저 삼각함수의 역사적 발달과정 및 선행연구를 분석하여 학습 자료의 주안점을 정하고, 우리나라, 미국, 인도의 교과서 비교를 통해 개념 접근 방식을 파악한 후, 연구 문제 1의 분석 결과를 통해 얻은 학생들의 삼각함수 개념에 대한 이해도를 바탕으로 삼각함수 개념의 이해를 도울 수 있는 학습 자료의 개발 방향을 설정하였다. 고등학교 2학년 학생들의 삼각함수 개념에 대한 이해도의 분석 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들은 양의 방향(양의 각)과 음의 방향(음의 각)을 알고, 회전한 양으로 각을 이해하여 각의 크기를 그림으로 나타낼 수 있었으나 각의 범위가 확장됨을 인지하지 못한 채 0(도)부터 360(도)사이의 정적인 관점으로서의 각에서만 생각이 머무르고 있었다. 둘째, 학생들은 익숙한 꼴에 대해서는 육십분법으로 나타낸 각을 호도법으로, 호도법으로 나타낸 각을 육십분법으로 변환하는 것은 잘하지만 1라디안의 정의를 정확히 알지 못하였고, 라디안을 각의 크기를 나타내는 단위로 인식하지 못하고 있었다. 또한 호도법으로 나타낸 각을 실수와 관련지어 이해하지 못하였다. 셋째, 학생들은 좌표평면상에서 원 위의 좌표에 의한 삼각함수의 정의를 이해하지 못하였다. 넷째, 학생들은 삼각함수의 주기를 공식에 대입하여서는 잘 구했으나, 주기의 정의를 제대로 알지 못하고 주기p를 ‘모든 실수 x 에 대하여, f(x+p)=f(x)를 만족 한다’라는 사실과 관련지어 이해하고 있지 못했다. 또한, 삼각함수를 실생활이나 자연현상에서의 주기적인 상황과 관련지어 이해하고 있지 못하였다. 이상의 결과를 바탕으로 이 논문에서는 일반각과 호도법, 삼각함수의 정의와 그래프, 삼각함수의 활용(주기함수와 삼각함수)이라는 세 가지 소주제를 교수학습 자료의 구성요소로 삼았다. 이 세 가지 소주제에 대해 현실적인 맥락으로부터 학생들이 삼각함수 개념을 학습함으로써 그 필요성과 유용성을 인식하게 하기 위해 신문 기사 및 칼럼에서 발췌한 실생활과 관련한 소재를 가지고 학습 활동을 하도록 하였으며, 학생들이 스스로 설명하고 해석하는 활동을 위주로 학습 자료를 구성하였다. 또한 삼각함수의 그래프는 컴퓨터(GSP4)를 통하여 그 특성을 살펴보게 하고 이를 점진적으로 형식화할 수 있도록 했다. 특히, 본 논문에서 개발한 학습 자료는 우리나라 교과서에서 제시된 개념접근 방법을 그대로 따르지 않고, 우리나라와 외국의 교과서를 비교하여 학생들이 효과적으로 삼각함수의 개념을 이해할 수 있는 접근 방식을 채택하고 이를 바탕으로 전개되었다. 이렇게 구성된 학습 자료는 삼각함수 단원의 교수-학습 자료로 유용하게 활용될 수 있을 것이며, 삼각함수 단원에 대한 인식을 긍정적인 방향으로 바꾸는 데에 도움을 줄 수 있을 것이다.