일차방정식의 활용 단원을 중심으로 본 문장제 유형 및 제시 순서에 관한 연구

Abstract

어떤 새로운 문제를 해결하고자 할 때, 예전에 풀었던 비슷한 문제를 생각해내고 그 해결 방법을 새로운 문제에 맞게 변화시켜 해결하려는 경향이 있는데 이 때 사용되는 추론이 유추이다(이종희, 2003). 다시 말해서, 유추적 문제해결이 일어나기 위해서는 이전의 경험 혹은 지식에 해당하는 근원 문제와 새로운 문제 상황에 해당하는 표적 문제 간에 어떤 공통적인 요소, 즉 유사성이 존재하고 이를 인지할 수 있어야 한다(Gentner, 1989). 이 때 (근원, 표적)문제 간에 존재하는 유사성은 표면 유사성과 구조 유사성으로 구분되는데, Reed(1987)는 이 표면 유사성과 구조 유사성의 관계를 바탕으로 대수 문장제의 경우에 대하여 (근원, 표적)문제 유형을 동치, 동형, 유사 그리고 무관한 문제로 구분하였다. 대수 문장제 해결에 있어서 학생들이 동형 문제와 유사 문제 해결에 어려움을 겪는다는 것을 이종희, 김진화, 김선희(2003), Reed, Dempster & Ettinger(1985), 박현정(2006)의 선행 연구를 통해서 알 수 있다. 그리고 대부분의 교과서에서 예제 다음에 문제가 제시되고, 예제의 풀이가 문제의 해결에 도움이 되는 역할을 하고 있으나, 일차방정식의 활용에서는 예제를 풀어도 문제를 풀지 못하는 경우가 많다. 이는 예제와 문제가 어떤 유사성을 전제로 하느냐에 따르는 문제로, 동치 문제인 경우라면 학생들이 문제를 쉽게 해결할 것이고, 새로운 문제를 접하게 되더라도 문제를 해결할 수 있는 능력이 필요하므로 동형, 유사 문제도 같이 제시될 필요가 있다. 이 때, 문장제 유형의 제시 순서도 학생들의 유추적 문제해결에 영향을 미칠 것이므로 고려할 필요가 있을 것이다. 따라서 본 연구에서는 대수 문장제로 이루어진 중학교 1학년 수학에서 가장 먼저 접하게 되는 ‘일차방정식의 활용’ 단원을 선정하여서, 문제들 사이의 유사성에 따른 유추적 문제해결력 향상에 도움이 되도록 소재별로 하나의 근원 문제와 무관한 문제를 제외한 동치, 동형, 유사 문제를 개발하여서, 이 순서대로 제시하는 것이 본 연구의 목적이다. 본 연구의 연구 문제는 다음과 같다. 연구 문제 1. <수학 7-가> 단계 ‘일차방정식의 활용’ 단원의 문장제를 분석한다. 1-1. 유사성을 근거로 한 문장제 유형은 무엇인가? 1-2. 문장제의 소재는 무엇인가? 연구 문제 2. <수학 7-가> 단계 ‘일차방정식의 활용’ 단원의 문장제를 개발한다. 연구 문제 1-1은 16종의 ‘일차방정식의 활용’ 단원의 135개 문장제의 (근원, 표적)문제 80쌍에 대해서, Reed(1987)가 유사성을 바탕으로 동치, 동형, 유사, 무관한 문제로 구분한 것을 근거로 빈도수와 비율(%)을 알아보았다. 연구 문제 1-2는 16종의 ‘일차방정식의 활용’ 단원의 135개 문장제에 대해서 소재를 근거로 빈도수와 비율(%)을 알아보았다. 연구 문제 2는 설문지를 통하여 36명의 수학 전문가로부터 개발한 문장제의 적절성에 대한 의견을 얻어서 개발한 문장제를 수정·보완 하였고, 이렇게 완성된 결과물을 10명의 학생에게 적용해 보았다. 이 중 2명은 네 가지 소재의 문제를 모두 풀었고, 8명은 한 가지 소재의 문제만을 풀었다. 연구 문제 1-1의 결과의 요약 및 논의는 다음과 같다. 16종의 '일차방정식의 활용' 단원에서 근원 문제와 표적 문제의 문장제 유형을 살펴본 결과, 근원 문제와 표적 문제의 문장제 유형이 유사 문제, 무관한 문제, 동치 문제, 동형 문제 순으로 많았다. 그리고 하나의 근원 문제에 대해서 동치, 동형, 유사 문제를 표적 문제로 모두 제시하는 교과서는 하나도 없었고, 여러 개의 표적 문제가 제시되더라도 대부분이 같은 유형의 문제이거나 무관한 문제가 포함되어 있었다. 따라서 학생들이 수학 교과서의 예제를 해결한 후, 스스로 문제를 해결하고자 할 때, 어려워할 수 밖에 없는 이유가 대부분이 예제와 유사한 문제이거나 무관한 문제이기 때문이라고 할 수 있을 것이다. 연구 문제 1-2의 결과의 요약 및 논의는 다음과 같다. 16종의 ‘일차방정식의 활용’ 단원의 문장제를 소재를 근거로 분석해 본 결과, 농도 문제가 가장 많았고 그 다음으로 거리-속력-시간, 돈, 수, 분배, 나이, 비율, 개수 세기, 물탱크, 일 문제 등의 순이었다. 그리고 각 교과서마다 적게는 2개에서 많게는 7개의 소재를 다루고 있으며, 보통 3-4개의 소재를 다루고 있었다. 농도 문제(예, 소금물 농도)인 경우, 소금물에 물을 첨가시키는 내용이 가장 많았고, 소금물에 소금을 넣는 내용은 가장 적었다. 거리-속력-시간 문제인 경우, (거리)=(속력)(시간)을 (시간)=로 변형해서 해결할 수 있는 문제가 가장 많았는데, 그 중에서도 총 걸린 시간에 대한 문제가 가장 많았다. 위의 결과에서 소재가 농도와 거리-속력-시간인 경우, 교과서에 공식을 변형해서 해결할 수 있는 여러 가지 형태의 문제들이 나란히 모두 제시되어 있지 않아서 아쉬웠다. 연구 문제 2의 결과의 요약 및 논의는 다음과 같다. 문장제 개발 관점과 구성 방향을 고려하여 16종의 교과서에서 가장 많이 다루고 있는 소재(농도, 거리-속력-시간, 돈)와 가장 적게 다루고 있는 소재(일)에 대해서 문장제를 개발하였다. 특히 소재가 농도와 거리-속력-시간인 경우, 세분화한 내용에 따라서 유사 문제를 개발하였다. 개발한 문장제를 교과서 형식으로 구성하여서 36명의 수학 전문가(교사, 대학원생)에게 개발한 총 21개의 문장제 중 17개의 표적 문제가 연구자가 원하는 유형의 문제(동치, 동형, 유사 문제)로서 적절한지를 설문지를 통해서 물었다. 설문한 것을 근거로 문제 5와 문제 6-&#61572;를 다시 개발하였다. 이렇게 해서 완성된 결과물을 10명의 학생에게 적용해 본 결과, 그들은 본 연구에서 개발한 문장제의 결과물에 대해서 유추적 문제해결 능력을 보였다. 그런데 본 연구에서 문장제를 개발할 때, 동형 문제 개발이 가장 어려웠다. 그래서 각 교과서에 동형 문제가 가정 적게 제시되어 있는 것 같다. 설문지를 통해서 개발한 문장제의 적절성 여부를 물었을 때, 동형 문제의 적절성 여부를 응답하기가 어렵다는 의견이 많이 나온 것도 같은 맥락일 것이다. 또한 학생들은 맥락이 다른 동형 문제의 구조가 예제의 구조와 같다는 것을 파악하는데 어려워했는데, 이것은 Novick(1988)의 연구 결과와 일치하는 것이다. 본 연구의 결과로 얻어진 결론은 다음과 같다. 첫째, 이종희, 김진화, 김선희(2003)의 선행 연구를 통해서 학생들은 특히 동형 문제와 유사 문제를 해결하는데 어려움을 겪는다는 것을 알 수 있다. 하지만 실제로 교과서의 문제가 예제와 유사 문제인 경우는 많았지만 동형 문제인 경우는 거의 없어서 학생들이 다양한 유형의 문제를 접할 수 있도록 신경 쓸 필요가 있을 것 같다. 따라서 무관한 문제는 연습 문제에서 다루고, 나머지 세 가지 유형의 문제를 모두 제시하는 것이 문제들 사이의 유사성에 따른 유추적 문제해결력 향상에 도움이 될 것이다. 둘째, 소금물에 소금을 넣는 문제가 없는 교과서가 더 많다는 것을 알 수 있었고, 따라서 학생들이 접할 기회가 많지 않아서 김선희(2004), 박정아, 신현용(2005)의 연구에서처럼 이러한 형태의 문제를 어려워하는 결과가 나오는 것 같다. 그리고 각 교과서마다 보통 3-4개의 소재를 다루고 있기 때문에 본 연구에서도 개발하는 문장제의 소재를 각 교과서에서 가장 많이 다루고 있는 소재인 '농도, 거리-속력-시간, 돈'과 가장 적게 다루고 있는 소재인 '일', 이렇게 네 개의 소재를 선정하였다. 셋째, 수학 전문가를 대상으로 한 설문 결과로부터, 개발한 '일차방정식의 활용' 단원의 문장제가 유형이 다양하고, 특히 공식의 다양한 사용 측면에서 학생들의 응용력과 적용력을 높이는데 도움이 될 것이라는 결론을 내릴 수 있었다. 또한 실제로 학생들에게 개발한 문장제의 결과물을 적용해 본 결과, 본 연구에서처럼 예제, 동치, 동형, 유사 문제의 순으로 제시하는 것이 유추적 문제해결에 도움이 되는 한 가지 방법이라고 할 수 있을 것이다. 마지막으로 본 연구에서 얻은 시사점은 다음과 같다. 첫째, 후속 연구에서는 문장제로 구성되어 있는 <수학 8-가> 단계의 '연립방정식의 활용', '연립부등식의 활용', '연립일차방정식의 활용', '일차함수의 활용' 단원과 <수학 9-가> 단계의 '이차방정식의 활용' 단원에 대해서도 같은 연구가 이루어진다면, 중학교 1, 2, 3학년에서 많이 다루어지는 문장제 유형의 흐름을 알 수 있어서 의미가 있을 것이다. 둘째, '일차방정식의 활용' 단원에서 동형 문제는 거의 없었는데, 학생들이 교과서를 통해서 다양한 유형의 문제를 접할 수 있도록 교과서 개발자들이 이 단원의 문장제를 개발할 때 동형 문제를 많이 만들 필요가 있는 것 같다. 셋째, 교사들은 이 단원의 수업을 할 때, 예제 문제와 그 문제의 동치, 동형, 유사 문제를 한꺼번에 다룰 수 있도록 교과서의 문제들을 새롭게 구성하는 것이 학생들의 유추적 문제해결력 향상에 도움이 되는 한 가지 방법이 될 수 있을 것이다.;It is necessary to compose the problems of the mathematics textbook in order to lead students' analogical problem solving well through relationship between problems of the types which are various. The purpose of this study is the development of one example and equivalent, isomorphic, similar problems of that example for students to be helped in analogical problem solving based on similarity between problems. Following study questions are set up for the above purpose. 1. Analyze the word problem in the 'applicaton of a linear equation'. 1-1. What are the word problem types based on the similarity? 1-2. What are the subject matters of the word problems? 2. Develop the word problems of the 'application of a linear equation'. The results of the study are briefed as follows. First, the case which is a similar problem is most, and then unrelated problem, an equivalent problem afterwords and the case which is an isomorphic problem is few. Second, the result of classifying subject matter of the word problems, the case which is density problem is most and the case which is distance problem afterwords. Third, I developed word problems of density, distance, money and work subject matters.