2-Normed space와 2-Metric space에 대하여

Abstract

1. (x,ρ)가 2-Metric Space란 함수 ρ: X×X×X→R=(실수)가 다음 조건을 만족 할 때를 말한다. 1) ρ(a,b,c)≠0인 세점 a, b, c 가 있다. 2) ρ(x,y,z)=0이면 세점 중 적어도 두점은 같다. 3) ρ(x,y,z)=ρ(x,z,y)=ρ(y,z,x)=… 4) ρ(x,y,z)□ρ(x,y,u)+ρ(x,u,z)+ρ(u,y,z) 여기서 x, y, z, u는 X에 속하는 임의의 元 2. (x,∥∥)가 2-Nermed Space란 X가 벡타공간 (R위에서)이고 함수∥∥: X→R이 다음 조건을 만족 할 때를 말한다. 1) ∥x,y∥=0때 또 그때에 한해서 x와 y는 1차종속 2) ∥x,y∥=∥y,x∥ 3) 임의의 실수 a에 대해서 ∥ax,y∥=│a│∥x,y∥ 4) ∥x,y+z∥≤∥x,y∥+∥x,y∥ 3. 2-Nermed Space (X,∥∥)에서 ρ(x,y,z)=∥y-x,z-x∥라고 정의하면 (x,ρ)는 2-Metric Space이다. 4. 2-Nermed Space (X,∥∥)에서 임의의 a, b∈X에 대하여 ∥a,b∥≥0 5. 2-Nermed Space (X,∥∥)에서 임의의 a, b, c X에 대하여 ∥a, b∥-∥c, b∥□∥a-c, b∥이다. 6. 2-Nermed Space X상에서 다음 두명제들은 동등하다. 1) ∥x+y,z∥=∥x,z∥+∥y,z∥, z□V(x, y)이면 어떤 a>0에 대해 y=ax가 성립한다. 2) ∥x,z∥=∥y, z∥=1, x≠y, z□V(x, y)이면 ∥(1)/(2)(x, y), z∥<1이 성립한다. 여기서 V(x, y)는 x, y로 생성된 X의 部分空間 7. 2-Metric Space X에서 Orbitally Continuous mapping을 T : X→X라 하고 x_(0)를 T^(n)x의 극한이라고 하면 x_(0)는 T의 고정점이다. 8. T를 有界이고 Complete 2-Metric Space X에서 X로의 Orbitally Continuous mapping이라하고 T가 다음 조건을 만족한다고 하자. x, y, a∈X이고 어떤 q가 존재 (0<q<1)하여 x∈X Min{ρ(Tx, Ty, a), ρ(x, Tx, a), ρ(y, Ty, a)} -Min{ρ(x, Ty, a), ρ(y, Tx, a)}□qㆍρ(x, y, a) 그러면 수열 (T^(n)x) (n=1, 2 …)은 T의 고정점에 수렴한다. 9. X를 두 개의 2-Metrics d_(1)과 d_(2)에 관한 2-Metric Space라 하고 1) d_(1)(x, y, z)≤d_(2)(x, y, z) x, y, z∈X 2) (x, d_(1))은 Complete 3) f : X×X d_(1)에 대해서 연속 4) f는 d_(2)에 대해서 Contraction이라고 하자. 그러면 f는 유닐한 고정점 U∈X를 갖고 어떤 x_(0)∈X가 존재 하여 f^(n)(x_(0))→U로 된다.;1. A 2-Metric space is a space X with a non-negative real valued function ρ on XxXxX satisfying the following conditions; (1) There are three points a, b, c∈X such that ρ(a, b, c) ≠ 0 (2) ρ(x, y, z) = o if at least two of x, y, z are equal (3) ρ(x, y, z) = ρ(x, z, y) = ρ(y, z, x) = ... (4) ρ(x, y, z) □ ρ(x, y, u) ρ(x, u, z) + ρ(u, y, z) 2. A 2-Normed space is a space X with a linear space and ∥∥ a real valued function on XxX which satisfies the following axioms ; (1) ∥ x, y ∥ = 0 if and only if x and y are linearly dependent (2) ∥ x, y ∥ = ∥ y, x ∥ (3) ∥ α x, y ∥ = │ α│∥ x, y ∥ where α is real (4) ∥ x, y+z ∥ □ ∥ x, y ∥ + ∥ x, z ∥ 3. In 2-Normed space (x, ∥ ∥) if we define (x, y, z) = ∥ y-x, z-x ∥ then (X, ρ) is a 2-Metric space 4. In 2-Normed space (x, ∥, ∥) ∥ a, b ∥ ≥ 0 for every a, b ∈ X 5. In 2-Normed space (x, ∥ ∥) │∥ a, b ∥ - ∥ c, b ∥│ ≤ ∥ a-c, b ∥ for every a, b, c ∈ R 6. For a linear 2-Normed space X, the following Propositions are equivalent Ⅰ) ∥ x+y, z ∥ = ∥ x, z ∥ + ∥ Y, Z ∥ and Z Ⅱ) ∥ X, Z ∥ = ∥ y, Z ∥ = 1, X y , and z V( X, y ) imply ∥(1)/(2) (X + y ), Z ∥ <1, where V (x, y ) is subspace of X of which is generated by x, y. 7. Let T : x → X be orbitally continuous mapping of a 2-metric space X into itself. If Xo is the limit of T^(n) X for some X ∈ x, then Xo is a fixed point of T 8. Let T be anorbitally continuous mapping of a bounded, Complete 2-metric Space T into itself If T satisfies the condition ; Min{ρ(Tx, Ty, a), ρ(X, Tx, a), ρ(y, Ty, a)} - Min{ρ(X, Ty, a), ρ(y, Tx, a)} ≤ q, ρ(X, y, a) for all x, y, a ∈ X and for some q with o<q<1 then for each x ∈ X the sequence {T^(n)X} (n = 1, 2, …) coverges to a fixed point of T 9. Let X be a 2-metric space with respect to two 2-metrics d and d such that (1) d_(1)(X, y, Z) ≤ d_(2)(X, y, Z) for all X, y, Z ∈ X (2) ( X, d_(1)) is Complete (3) f : x → X is Continuous with respect to d_(1) and (4) fisa contraction with respect to d_(2) Then f has a unique fixed point u∈ X and f^(n)(X_(0)) → u for any X_(0)∈ X.