수학 교수-학습에서의 테셀레이션 활용 가능성 탐색

Abstract

Learning geometry in elementary school mathematics has ignored geometrical dynamics, but instead focused on static and formal aspects. In particular, teaching of transformation and symmetry, which are crucial in geometrical thinking, has minimized their dynamics and been outcome focused. At this stage, values of tessellation in mathematics loaming may go beyond merely stimulating students' interests. Tessellation has already been recognized and applied to mathematics curriculum in many other countries. This research aims at analyzing mathematical values of tessellation, investigating learning contents of tessellation applied mathematics, introducing tessellation to Korean mathematics curriculum and planning effective tessellation applied teaching guidelines. As an attempt to realize these purposes, four research questions were established as follows : 1. What is the definition of tessellation and what kinds of tessellation exist? 2. What is the mathematical concept presented in M. C. Escher's works and what are the values of Escher's tessellation in mathematics learning? 3. What are the learning contents in tessellation applied mathematics and the ways of realizing tessellation into teaching and learning activities? 4. How can tessellation be applied to maximize the learning effects of 'Geometry' and 'Regularity and Function' areas in our school mathematics? Tessellation can be used for mathematics learning in various ways: 1) to investigate characteristics of a plane diagram such as angles and shapes; 2) to learn the concepts of four symmetric transformations (translation, rotation, reflection, glide reflection) effectively, which are all the backbone of geometry loaming; 3) to find out regularity from repetitious shapes and recognize patterns from understanding of parts and the whole; 4) to be a good material for exploring the infinite; 5) to enhance students' mathematical concepts and their mathematical creativity through the process of constructing and analysing tessellation; 6) to be an excellent tool for allowing students to feel mathematical beauty through a constructed tessellation; 7) to be an interesting subject for discussing and confirming the mathematical connection between mathematics and arts and mathematics and daily life, as well as mathematical concepts. In our current context that tessellation has never been introduced, this paper may be the beginning of tessellation relevant studies in mathematics teaching and learning. Also it may serve as groundwork of tessellation applied teaching guidelines in diagram and regularity and function areas for the 7th curriculum planning which starts in the years 2000. In order to improve our mathematics learning environment, studies on effective application of tessellation should be continuously followed.;이제까지 초등 수학의 기하학습은 기하학의 역동성이 무시되고 정적이며 형식적인 수준이 강조되어 왔으며, 특히 기하학적 사고의 중요한 기초가 되는 변환과 대칭의 학습은 그 활동적인 요소가 축소되어 결과적인 측면에서 지도되어 왔다. 이러한 시점에서, 수학 학습에 있어서 테셀레이션이 가지는 수학적 의미는 단순히 학생들의 흥미를 유발하는 것 이상이다. 이미 우리 나라를 제외한 여러 나라에서 테셀레이션이 가지는 수학적 가치를 인식하고 이를 교육과정에 도입하여 기하 영역 등의 학습에서 지도해 오고 있다. 본 연구의 목적은 테셀레이션이 가지는 수학적 의미를 분석하고, 테셀레이션을 활용한 수학 학습의 내용을 고찰하여, 우리 나라 수학 교육과정에서 데셀레이션을 도입하고, 이를 활용하도록 하기 위한 기초 연구를 마련하는데 있다. 우리 나라 학교 현장에서도 일부 교사들에 의해 테셀레이션에 대한 관심이 점차 표면화되고 있으며, 특별활동 시간을 통해 학생들에게 소개되거나 역동적인 기하 프로그램을 활용하여 테세레이션을 제작하는 것에 흥미를 느끼는 반면, 데셀레이션이 교육과정에 도입되어 제시되거나 여타 다른 문헌을 통해 체계적으로 분석되고 기술된 바가 없어, 피상적이고 소극적인 수준에서 테셀레이션이 이해되는데 그치고 있다 이에 본 연구는 테셀레이션에 대한 체계적인 분석과 이해를 바탕으로 우리 나라 수학 교육과정에 이를 도입 및 활용할 수 있도록 하기 위한 기초 연구라고 하겠다. 본 연구 목적을 실현하기 위해 다음의 네 가지 연구 내용을 설정하였다. 첫째, 테셀레이션의 정의를 알아보고 그 종류에는 어떤 것들이 있는지를 분석한다. 둘째, 에셔(M. C. Escher)의 작품에서 찾을 수 있는 수학적 개념을 고찰하고, 에셔의 작품을 수학적 개념에 비추어 분류하여 분석한다. 셋째, 수학 교육에서 테셀레이션을 활용할 수 있는 학습 내용을 설정하고 특히, 수학 학습 활동으로 테셀레이션을 구현(제작)할 수 있는 방법을 제시한다. 넷째, 우리 나라 초등 수학 교육에서 테셀레이션의 활용 가능성을 탐색하고 활용 예시를 제작한다. 위의 연구 내용을 다음과 같은 절차를 따라 문헌 연구의 방법으로 하였다. 첫째, 먼저 여러 가지 문헌에서 소개되고 있는 테셀레이션의 정의와 다양한 데셀레이션의 종류를 분석하여 Ⅱ장에 제시하였고, 둘째, 에셔의 여러 작품들을 수학적 개념의 틀에 기초하여 6개의 범주로 분류하여 분석하고, 그 예를 Ⅲ장에서 제시하였다. 셋째, 수학 학습에서 테셀레이션을 활용할 수 있는 학습 내용을 크게 6가지로 나누어 Ⅳ장에 분석하였는데, 우리 나라의 수학 교육과정에 테셀레이션이 도입되지 않았기 때문에 현재의 교육과정(6차와 7차 교육과정까지 포함)의 틀에 국한하지 않고, 수학적 개념이나 아이디어에 초점을 맞춰 테셀레이션을 활용할 수 있는 내용을 고찰하는데 중점을 두었다. 따라서 본 본문의 Ⅳ장에서 제시하고 있는 테셀레이션을 활용한 수학 학습의 내용은 현재의 교육과정에 비추어 볼 때 초등학교 수준을 벗어나는 부분도 있는데, 이는 테셀레이션의 활용 내용을 초등 수학의 수준으로 제한하지 않았기 때문이다. 특히 Ⅳ장에서 분석한 내용 중에 테크놀로지의 활용 부분은 초등 뿐만 아니라 중등 수학의 교육과정에서도 활용할 수 있을 것으로 본다. 넷째, 앞에서 분석한 내용들을 바탕으로 하여 학교 수학에서 테셀레이션을 활용할 수 있는 방안을 모색하는데 있어서의 초등학교 7차 교육과정의 '도형'영역과 '규칙성과 함수' 영역에 국한하였으며, 각각의 영역에 대한 활용 예시를 하나씩 제시하였다. 본 연구에서 설정한 연구 내용에 대해 자세히 살펴보자면, 첫째, 테셀레이션은 이차원이나 삼차원 공간을 빈틈없이, 포개어지지 않게 덮는 패턴이라고 정의할 수 있으며, 이러한 테셀레이션의 종류는 정다각형을 이용한 정다각형 테셀레이션, 준다각형 테셀레이션, 반정다각형 테셀레이션과 여러 가지 다각형의 테셀레이션이 가능하며, 그밖에 몇 개의 정다각형의 조합을 기본 모양으로 하는 특별한 도형의 테셀레이션과 모서리가 일치하지 않는 테셀리이션, 펜로즈 타일과 같은 비주기적인 방식의 평면 테셀레이션이 있으며, 삼차원의 테셀레이션도 생각할 수 있다. 둘째, 에셔의 작품을 본 논문에서는 크게 테셀레이션, 거울의 상, 변환, 무한, 불가능한 건축, 뫼비우스의 띠 등의 여섯 가지로 대별하여 분석하였다. 셋째, 테셀레이션을 활용한 수학 학습의 내용으로는 도형의 각과 모양을 탐구할 수 있고, 대칭과 변환에 대한 학습, 패턴을 인지하고 학습하게 하며, 무한의 탐구, 여러 가지 방법으로 새로운 테셀레이션을 창안할 수 있으며, 구체적 조작물, 종이와 가위, 점종이 등의 도구를 이용해서 테셀레이션을 제작할 수 있게 하며, 특히 다양한 테크놀로지를 이용해서 테셀레이션을 구현할 수 있다. 넷째, 제 7차 교육과정의 '도형' 영역과 '규칙성 함수' 영역에서 테셀레이션을 활용할 수 있는 방안을 마련하기 위해, 테셀레이션을 활용할 수 있는 내용 영역을 '도형'과 '규칙성과 함수'의 영역을 국한하고, 7차 교육과정의 내용체계를 고찰하여, 각 학습내용에 대해 본 논문의 Ⅳ장에서 분석한 테셀레이션의 학습 내용을 바탕으로 분류하였다. 분류한 테셀레이션의 활용 내용에 대한 학습 방안을 예시로 구체화하였다. 수학 학습에서 테셀레이션이 가지는 수학적 의미는 첫째, 평면 도형의 각과 모양 등의 성질을 탐구하게 하고, 둘째, 기하학습의 기초가 되는 네 가지 대칭변화(평행이동, 회전이동, 반사, 미끄러짐 반사)의 개념을 효율적으로 학습하게 할 수 있고, 셋째, 반복되는 모양에서 규칙성을 발견하고 부분과 전체를 파악하여 패턴을 인지할 수 있게 하며, 넷째, 무한에 대한 탐구를 위한 좋은 소재가 될 수 있다. 또한, 여러 가지 도구를 이용하여 테셀레이션을 제작하고 분석하는 과정을 통해 학생들에게 수학에 대한 여러 가지 개념과 함께 무한한 수학적 창의성을 자극할 수 있으며, 구현된 테셀레이션을 통해 수학적인 아름다움을 느끼게 하는 훌륭한 도구가 될 수 있다. 한편, 수학적 연결성에 있어서도, 테셀레이션은 수학적 개념은 물론, 수학과 미술, 수학과 일상 생활과의 연결성을 논의하고 확인하는 데 흥미로운 주제가 될 수 있다. 우리 나라의 수학 교육과정에 테셀레이션이 소개되거나 도입되지 않았기 때문에 본 연구는 수학 교수-학습에 있어서 테셀레이션의 활용에 관한 연구의 시작이라고 할 수 있다. 또한 본 연구는 오는 2000년부터 단계적으로 실시되는 제 7차 교육과정의 '도형' 영역과 '규칙성과 함수'영역에 테셀레이션을 활용하여 지도하기 위한 기초 자료가 될 수 있을 것이다. 수학 학습 환경의 진일보를 위해 계속적으로 테셀레이션의 효과적인 활용에 대한 연구가 뒤따라야 할 것으로 본다.