접선 개념 인식에 대한 연구

Abstract

The purpose of this study is to analyze concepts of tangent of high school students. Student are exposed to a concept of tangent from a specific context of the relation between a circle and straight lines at the 7th grade. This initial experience might cause epistemological obstacles regarding learning concepts of tangent to additional curve. So, it is important for teacher to provide a proper counter examples. For this purpose, the following research questions are set: 1. How are series concept of tangent described in textbooks? 2. When the concept of tangent tests are provided, what distinctive features are shown in students? 3. In mathematics curriculum, how do high school students construct series concept of tangent ? The results of the research question-1 are as follows: Most students learn concept of tangent in 7th-na grade which means‘meeting the curve at one point’. This concept of tangent relates the geometric concept of tangent-1. Next, they learn concept of tangent in 10th-ga grade which means ‘having the one solution for the simultaneous equation of line equation and curve equation’. This concept relates the functional concept of tangent-1. And then, in 10th-na grade, they learn the relation between a parabola and straight line. In this grade, they also realize concept of tangent meaning ‘having the one solution for the simultaneous equation of line equation and parabola equation’. And in mathematics-Ⅱ, they learn differentials and derivatives. In this step, they learn ‘limit of secants’ which relates to geometric concept of tangent-3 and they realize relation between differential coefficient and slope of tangent that means differential coefficient at one point is same to slope of tangent at the point. The results of the research question-2 are as follows: First, most students do not know the geometric concept of tangent -2 meaning ‘touching but not cutting the curve’ because this concept does not provide in our mathematics curriculum. Second, most students do not know the terms of the limit of secants so they do not use this method in finding a tangent. Third, students are familiar with functional concept of tangent-1 but they can not relate this concept to definition of tangent. The results of the research question-3 are as follows. The concept of tangent is constructed by the following 9-steps. First, In 7th grade, they construct the geometric concept of tangent -1 meaning ‘meeting the curve at one point’. Second, they construct the geometric concept of tangent -2 meaning 'touching but not cutting the curve'. But this concept is not provided in our mathematics curriculum. So, many students do not apply the geometric concept of tangent -2 though the geometric concept of tangent -1 is not applied in some limited context. Third, they construct the functional concept of tangent-1 meaning ' having the one solution for the simultaneous equation of line equation and curve equation'. Fourth, they meet the counter example of the geometric concept of tangent -1 and then they revise their concept definition of the geometric concept of tangent -1. Fifth, they construct the geometric concept of tangent -3 meaning‘limit of secants’. This concept is related to the geometric definition of differential coefficient. Sixth, they construct the functional concept of tangent-2 meaning ‘differential coefficient as a slope of tangent’. Most students think that this concept is the most useful method to solve the equation of tangent. Seventh, they meet the counter example of the geometric concept of tangent -2 and then they revise their concept definition of the geometric concept of tangent -2. Eighth, they meet the counter example like 3-order function of the geometric concept of tangent -1 in mathematics -Ⅱ and then they revise their concept definition of the geometric concept of tangent -1. Nineth, they reflect the functional concept of tangent-2 because there is no differential coefficient at some points in a specific function like y²=x. Finally students can grasp and appreciate that concept of tangent as the limit of secants and the relation between tangent and derivative. This study provides a method of introducing a series of concepts of tangent in order to lead students to revise and improve the concept of tangent which they already have. As students have a chances to reflect and revise a series of concept of tangent step by step, they construct concept of tangent and think proper definition of tangent in contexts. The results of this study indicate that teacher should cause imbalance of recognition and should show many kind of counter example in order to construct proper concept of tangent.;우리는 실생활에서 다양한 형태의 그래프를 만나게 된다. 가령, 시간과 거리의 그래프, 시간과 속력의 그래프 또는 주식 변동 그래프 등은 여러 가지 형태의 곡선을 가능하게 한다. 이때 곡선의 각 점에서의 접선은 다양한 의미를 내포하므로 곡선의 각 점에서의 접선을 그리는 것은 매우 중요하다고 할 수 있다. 따라서 접선의 개념은 실생활에서 매우 유용한 개념이라고 할 수 있다. 따라서 본 연구는 이처럼 실생활에 유용한 접선의 개념에 대한 학생들의 인식과 효과적인 교수 방안을 연구하고자 한다. 본 연구의 문제는 첫째, 임재훈과 박교식(2004)의 연구에서 제시하고 있는 접선의 개념에 관한 분류를 바탕으로 기하적 또는 함수적 접선 개념은 교과서에 어떻게 제시되어 있는지를 분석하고자 한다. 둘째, 교육 과정을 대부분 이수한 학생들에게 다양한 접선 개념의 반례를 통하여 인지적 불균형을 야기하는 접선 개념 검사지를 학생들에게 실시하였을 때 학생들은 그들이 학습한 다양한 접선의 개념을 어떻게 사용하며 반례가 나타났을 때 어떠한 반응을 나타내는지 살펴보고 접선 개념 교수 방안에 대한 시사점을 도출하고자 한다. 세째 현재 교육 과정상의 교과서에서 제시되는 순서에 따라 현재 수학을 배우고 있는 학생들에게 어떠한 단계로 접선 개념을 가르칠 수 있는지 적절한 교수 방안을 살펴보고자 한다. 본 연구는 다양한 접선의 개념을 학생들이 추측하고 반박하면서 접선의 개념의 체계를 확립해야 하므로 연구 문제를 위해 교육과정의 대부분을 공부한 성취도가 중상 이상인 고양시 소재 인문계 고등학교 자연 과학계열 3학년 학생 5명을 대상으로 연구를 실시하였다. 이때 문항 검사지는 학생들이 접선의 개념을 추측하고 이후 반례를 통하여 자연스럽게 그 추측을 반박할 수 있도록 Lakatos의 이론을 근거로 구성하였다. 연구 문제 1의 결과는 다음과 같다. 현재 교과서에 접선의 개념이 처음으로 나오는 단계는 7-나 단계로 이 단계에서 접선을 원과 직선의 교점의 수로 정의된다. 이 개념은 임재훈과 박교식(2004)에 의하면 기하적 접선 개념 1에 해당한다고 할 수 있다. 그 후 접선의 개념은 10-나 단계에서 접선은 다시 등장한다. 이때 접선은 이차함수와 직선의 방정식 그리고 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립한 식의 근이 중근이라는 해석적인 관점으로 접선을 정의하고 있다. 이 정의는 임재훈, 박교식(2004)에 따르면 함수적 접선 개념 1에 해당하는 내용이다. 이후 수학Ⅱ에서 접선의 개념이 등장한다. 수학 Ⅱ에서는 접선을 미분의 관점에서 바라보고 있다. 첫 번째 먼저 미분 계수를 도입하는 과정에서 미분계수의 기하학적 의미를 정의하고 있는데 이때 접선을 할선의 극한으로 정의하고 있다. 이 개념은 임재훈, 박교식(2004)의 기하적 접선 개념 3에 해당하는 개념으로 접선을 구하는 가장 이상적인 방법으로 제시되고 있는 개념이다. 두 번째는 미분 계수의 기하학적 의미를 배운 후에 학생들은 곡선위의 한 점에서의 미분계수는 그 점에서의 접선의 기울기와 같다는 사실을 배우게 되면서 미분 계수를 구함으로써 접선의 방정식을 구하게 된다. 이 개념은 함수적 접선 개념 2에 해당하는 방법이다. 연구 문제 2은 실제로 학생들에게 접선의 개념을 스스로 추측하고 반성할 수 있는 문항지를 제시했을 때 학생들은 접선의 개념을 스스로 추측하고 반박하는 과정에서 어떠한 반응을 보이는가를 살펴보는 것이었다. 그 결과는 다음과 같다. 첫째는 학생들은 기하적 접선 개념 2가 기하적 접선 개념 1보다 포괄적인 개념이지만 우리의 교육과정에서는 접선을 ‘곡선을 스치고 지나가는 직선’이라고 정의하지 않으므로 학생들이 스스로 이 개념을 파악하기 어렵다는 점이다. 두 번째는 함수적 접선 개념1의 경우는 학생들이 중근을 갖는다는 사실을 알고 판별식을 자주 이용하나 이 사실을 접선의 개념으로 보지 않고 단지 접선을 구하는 방법으로만 생각한다는 것이다. 세 번째는 할선의 극한은 접선을 구하는 가장 유용한 방법임에도 불구하고 학생들은 미분 공식에만 치중해서 이 개념은 전혀 인식하지 못하고 쉽게 간과해 버린다는 것이다. 네 번째는 성취도가 높은 학생일수록 미분에 의존하여 문제를 해결하려고 하였으며 쉽게 자신의 생각을 수정하지 못했다는 점이다. 연구 문제 3의 결과는 다음과 같다. 임재훈, 박교식(2004)은 접선 개념의 교수 방안에서 접선의 개념 교수 단계를 7단계로 구분하고 있지만 이 연구에서는 실제 교과서상에서 접선의 개념이 제시되는 순서와 수학과 교육과정을 고려하여 9단계로 구성하였다. 첫 번째 단계는 기하적 접선 개념 1의 형성 단계이다. 학생들은 7-나 단계에서 원과 직선이 한 점에서 만난다는 개념을 배우면서 기하적 접선 개념 1을 학습하게 된다. 두 번째 단계는 기하적 접선 개념 2의 형성 단계이다. 이 단계는 ‘접선이란 곡선을 스치고 지나가는 직선’ 이라는 개념을 형성하는 단계이다. 그러나 기하적 접선 개념 2의 경우는 교과서에서 제시되고 있지 않은 개념이므로 학생들이 스스로 기하적 개념을 형성하는 것은 쉽지 않으므로 이 개념은 교사가 학생들에게 형성하도록 도와주어야 하는 개념이다. 세 번째 단계는 함수적 접선 개념 1의 형성 단계이다. 이 개념은 10-나 단계에서 학생들에게 학습된다. 네 번째 단계는 기하적 접선 개념 1의 첫 번째 부정단계이다. 이때 학생들은 한 점에서 만나지만 접선이 아닌 예를 보면서 기하적 접선 개념 1을 부정하게 된다. 다섯 번째 단계는 기하적 접선 개념 3의 형성이다. 이 할선의 극한의 개념은 수학Ⅱ에서 미분계수의 기하학적 의미에서 학생들에게 학습된다. 여섯 번째 단계는 함수적 접선 개념 2의 형성 단계이다. 이 개념은 ‘접선이란 곡선 위의 한 점을 지나며 기울기가 그 점에서의 미분계수와 같은 직선’이라는 개념이다. 이 개념 역시 수학Ⅱ에서 미분 계수를 배운 후에 학생들에게 학습된다. 일곱 번째 단계는 기하적 접선 개념 2의 부정이다. 학생들은 곡선을 스치고 지나가지만 접선이 되지 않는 예와 곡선을 스치고 지나가지 않지만 접선이 되는 예를 보면서 기하적 접선 개념 2를 완전히 부정하게 된다. 여덟 번째 단계는 기하적 접선 개념 1의 두 번째 부정단계이다. 이 단계에서 학생들은 일반적인 삼차 이상의 함수에서 접선이 곡선과 두 점 이상에서 만날 수 있다는 사실을 깨닫게 되고 기하적 접선 개념을 완전히 부정하는 단계이다. 아홉 번째 단계는 함수적 접선 개념 2의 단계를 반성하는 단계이다. 이때 학생들은 미분으로 접선의 방정식을 구할 수 없는 예제를 통하여 미분보다 더 포괄적으로 접선을 구할 수 있는 방법은 할선의 극한이라는 사실을 깨우친다. 위의 결과는 교사들이 접선의 개념을 지도하는데 있어서 학생들이 개념을 쉽게 확장할 수 있도록 다양한 예시를 제시해야 한다는 것을 시사한다. 다양한 예시는 학생들에게 인지적 불균형을 야기하므로 학생들이 쉽게 접선 개념을 확장시킬 수 있다. 또한 교사는 학생들이 접선 개념을 체계적으로 습득할 수 있도록 교사 스스로 단원을 구성하여 제시해야 한다는 것이다. 그리고 연속적으로 개념을 습득할 수 있도록 교사는 교육과정의 연속성을 학생들에게 인식시켜야 한다. 체계적인 개념의 습득은 학생의 수학적 사고력 신장에 많은 도움을 주기 때문이다.