무리수 개념 지도를 위한 통약불가능성의 도입 방안 연구

Abstract

This paper aims to consider the genesis of irrational numbers and the decimal fraction concept to suggest a method for teaching the concept of irrational numbers. It is th notion of incommensurability in geometrical sense that makes Pythagoreans discover irrational numbers. This paper is based on the very concept, incommensurability which the school mathematic lacks. For this study's objectives the research problems have been outlined as follows. 1. How is it possible to compose the teaching plan for guiding the conception of irrational numbers which can regulate the conceptional meaning of incommensurable volume with an infinite decimal in which not set of consecutive digits repeats itself infinitely? 2. How does the mathematical activities go in the acceptance of irrational numbers that regulate the conceptional meaning of incommensurable volume with an infinite decimal in which not set of consecutive digits repeats itself infinitely? 3. What is limitation in the accepting method of irrational numbers that regulate the conceptional meaning of incommensurable volume with an infinite decimal in which not set of consecutive digits repeats itself infinitely? For Research problem 1, the teaching plan was aimed based on the history of irrational numbers and decimal and the elements were deduced in the course of adding the conception of irrational numbers in the current curriculum. Also, the lesson plans were made based on theory of Euclid's Elements, Euclid's geometrical proof that proves incommensurability of √2 geometrically, Stevin's decimal fraction and then the pre-lesson followed. The pre-lesson resulted in adding the explanation of detailed terms and the procedure in the actual lesson. Research problem 2 studied three middle school students at Grade 2 in Kangseo-gu for the analytic case. The pre-interview and pre-test preceeded the actual lesson and the post-test followed it. The lesson taught by the researcher was recorded for the transcription after all the lessons and documented. The purpose of Research problem 2 is to analyze how subjects hypothesize and discover rules and prove proposition and identify the relevance between conception, principles and rules through mathematical activities and then to discover the limitation of geometry as well as decial concept. The conclusion is as following. First, the thinking process of supposing and discovering the rule reveals discovering the general procedure of finding the common measuring unit. At this time, the most important idea is to find the common measuring unit from the difference between the amount and to perform repeatedly changing the subject needed to search. To discover the based on such an idea, students reflected the process that they found and induced the rule from a point of sameness and improved their hypothesis step by step. The researcher expects learners to understand irrational numbers as incommensurability and adopt it in actual questions. But this study introduced the conception of irrational numbers, therefore the effects cannot be generalized and the study resulted in presenting only a few features revealed in the lesson process. Afterwards, this study needs to broaden subject numbers and contents from conception to accounts and application to generalize the effect of conception by introducing incommensuribility. Also, the further study depending on learners' age and proficiency seems to be necessary to understand ultimately infinite process in the conception of irrational numbers.;학생들은 ‘유리수가 아닌 수’라는 무리수 개념정의를 바탕으로 연산 등의 조작적 절차를 무리 없이 학습할 수 있지만, 무리수 발생의 아이디어를 갖지 못함으로써, 무리수의 개념적 측면을 파악하지 못할 것으로 보고 있다(변희현, 박선용, 2002; 장혜원, 2003). 변희현(2005a)은 무리수의 개념적 측면으로서 통약불가능성을 알 수 있도록, 현 교육과정에서의 형식적 도입 방식과 상이한 무리수 지도 방안을 제시하고 있다. 본 연구에서는 이와 같은 선행연구를 바탕으로 통약불가능한 양으로서의 무리수 개념을 교육과정에 제시된 ‘순환하지 않는 무한소수’로 정리하고, 이 때 나타난 학생들의 학습과정을 살핌으로써, 실제 수업 현장에 적용할 수 있는 무리수 개념 도입 지도방안을 모색하고자 한다. 이와 같은 목적을 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. ‘통약불가능한 양’의 개념적 의미를 ‘순환하지 않는 무한소수’로 정리할 수 있는 무리수 개념 도입 지도방안을 어떻게 구성할 수 있는가? 2. ‘통약불가능한 양’의 개념적 의미를 ‘순환하지 않는 무한소수’로 정리하는 무리수 도입에서 수학적 활동은 어떻게 이루어지는가? 3. '통약불가능한 양'의 개념적 의미를 '순환하지 않는 무한소수'로 정리하는 무리수 도입방식에서 제한점은 무엇인가? 연구문제1을 해결하기 위해, 통약불가능한 양의 인식을 기초로 무리수의 개념적 이해를 꾀할 수 있는 일련의 과정을 제시하고 있는 선행연구(변희현, 2005a)를 바탕으로 무리수 개념의 역사, Stevin의 소수 정의, 현 교육과정, 통약불가능성의 기하학적 증명, 유클리드 원론을 참고하여 무리수 지도를 구성하였다. 그리고 이이 따라 예비 연구 수업을 실시한 후 개선점을 찾아 무리수 지도를 재구성하였다. 연구문제2, 3를 해결하기 위해, 겨울방학에 세 명의 8-나 단계의 학생을 대상으로, 연구문제 1에서 고안한 무리수 지도 방안에 따라 3차시 수업을 실시하였고, 해석적 사례연구 방법론에 따라 통약불가능성을 도입한 무리수 개념 지도에서의 수학적 활동과 제한점을 분석하였다. 수업을 통해 수업장면 전사 자료, 사전·사후평가지, 학생들의 수업 결과물로서의 고안된 자료, 연구자의 수업 상황 관찰 일지 등의 연구 자료가 수집되었고, 수집된 자료를 바탕으로 공통측정단위를 찾는 절차를 발견하는 수학적 활동, 통약불가능한 양의 존재를 증명하는 수학적 활동, 통약불가능한 양을 순환하지 않는 무한소수로 정리하기 위해 나타나는 개념·원리·법칙을 결합하는 수학적 활동을 분석하고, 기하학적으로 공통측정단위를 찾는 과정에서와 측정수로서의 소수 측면에서 나타난 제한점을 분석하였다. 이와 같은 연구를 통하여 얻은 연구문제1의 결과는 다음과 같다. 변희현(2005a)에서 제시한 무리수 지도 방안을 기초로 통약불가능한 양을 소수를 수단으로 정리하여 무리수 도입 지도 방안을 구체화하였다. 무리수의 통약불가능한 양의 도입을 위해 기하학적인 유클리드 방식을 따르고 무리수의 통약불가능성은 유리수의 통약가능성을 기초로 하여 다루며 통약불가능성과 소수의 개념을 통일된 관점 즉, 측정의 관점에서 접근하였다. 이를 바탕으로 3차시 걸쳐 무리수 개념을 도입하였다. 1차시는 통약가능성의 개념적 의미를 부여하기 위한공통측정단위 찾기’이고, 2차시는 무리수에 통약불가능성의 개념적 의미를 부여하기 위한‘정사각형의 한 변과 대각선 길이의 공통측정단위 찾기’이며, 3차시는 무리수의 통약불가능성을 소수 체계로 정리하기 위한 ‘무리수를 순환하지 않는 무한소수로 정리하기’이다. 연구문제2와 연구문제3에 대한 결과는 다음과 같다. 첫째, 공통측정단위를 찾는 일반적인 절차를 발견하는 수학적 활동은 두 양으로 주어진 퀴즈네어 색막대 두 개에 대해서 공통측정단위에 해당하는 색막대를 찾으면서 이루어졌다. 가장 중요한 아이디어로서 ‘두 양의 차로부터 공통측정단위를 찾는다’와 ‘찾고자 하는 대상을 바꾸어 가며 반복수행 해야 한다’를 얻기 위해 학생들은 자신이 단위를 찾았던 과정을 반성하고 공통점으로부터 귀납적으로 수학적 규칙을 추측하고 발견하였으며, 단계적으로 자신의 추론을 개선해 나갔다. 둘째, 통약불가능한 양의 존재를 증명하는 수학적 활동은 다음과 같이 이루어졌다. 증명은 기하학적으로 공통측정단위를 찾는 것으로부터 시작하는데 학생들은 삼각형의 합동과 각에 대한 지식을 이용하여 찾고자 하는 두 대상을 바꾸어, 처음에 주어진 정사각형의 보다 작은 정사각형에 대한 한 변의 길이와 대각선 길이에 대한 공통측정단위를 찾는 문제로 환원시키었다. 그러나 학생들은 주어진 정사각형에서의 두 길이 보다 작은 정사각형에서의 두 길이에 대한 공통측정단위 문제로 환원된 것이 무한 번의 수행으로 한 없이 작은 정사각형을 만들 수 있으므로 공통측정단위를 찾을 수 없음을 스스로 인지하지 못하였다. 셋째, 통약불가능한 양이 순환하지 않는 무한소수로 정리하기 위하여 개념·원리·법칙을 결합하는 수학적 활동이 다음과 같이 이루어졌다. 선행지식으로서‘유리수의 소수 특성’과 전 차시에서 발견된‘공통측정단위 존재 유무와 유리수·무리수간의 관계’에 대해 서로 간의 관련성을 파악하여 무리수의 소수특징을 발견해 나갔다. 관련성을 찾기 위해 개념·원리·법칙 간의 공통점과 차이점을 분류하고 유추하는 활동이 주로 일어났으며 이를 통해 무리수가 순환하지 않는 무한소수임을 발견하였다. 넷째, 이러한 학습에서 제한점은 사고 전략이 ‘식세우기’, ‘계산하기’, ‘수치화하기’와 같은 대수적 접근 방식에 의존하는 경향과 소수의 측정수 개념에 대한 이해 부족 및 소수 계산의 미흡함으로 나타났다. 이와 같은 결과를 바탕으로 내린 결론 및 제언은 다음과 같다. 유리수의 통약가능성, 무리수의 통약불가능성, 통약불가능성의 소수체계에 의한 정리의 3단계로 구성할 수 있으며, 이와 같은 도입방식에서 학생들의 수학적 활동을 분석한 결과, 지도방안에 있어 다음과 같은 개선점을 보완하여 학교수학에 적용할 수 있다. 학생들의 대수적인 접근 방식에 편중된 사고전략 구사에 대한 제한점을 극복하기 위해 다양하고 치밀한 발문을 준비하여 지도 방안을 개선시키고, 측정수로서 소수를 개념화할 수 있는 자세한 과제를 제시할 수 있도록 지도 방안을 개선시킬 필요가 있다. 그리고 무리수 개념 지도에 통약불가능성을 도입할 때, 무리수의 무한과정 개념이 드러났는데, 학습자는 중학교 3학년으로서, 그들에게 이러한 무한과정, 곧 무한소에 대한 이해를 요구할 수는 없다. 따라서 이러한 무리수 개념 도입에서 무리수의 무한과정을 적절히 다룰 수 있는 개선된 지도 계획이 필요하다.