고등학교 학생들의 함수의 그래프에 대한 이해 수준과 오류 유형 분석

Abstract

Van Hiele maintained that, in mathematics instruction, the means for organization in one level becomes the main subject of study in the next level, and the variation of levels occurs in a linear fashion, and two persons who belong to different levels of thought have a problem in communication. Influenced by the theory, the recognition of students' levels has been considered crucial in the mathematics learning and teaching. Many scholars have studied the issue and made efforts to implement the theory in other fields. Few studies, however, have dealt with the field of mathematical function especially their graphs. Thus, the main objective of this study is to develop questionnaires for "levels of functions and their graphs" to decide whether it is possible to specificate students' level of understanding of functions and their graphs. The secondary objective is to study students' errors by analyzing their protocol in terms of difficulty. According to these objectives, the subjects has been set as the following; 1. Is there a hierarchy in the students' levels of understanding of functions and their graphs? 2. What level of understanding of functional graphs does the current second-graders and third-graders of high school fall in? 3. According to the level of questions, what kind of errors do the students shows in understanding of functional graphs? To deal with these subjects, Van Hiele's theory has been applied to setting the levels of understanding of functions and their graphs. The levels had been set to four stages: level 1 visual recognition, level 2 understanding the properties through analysis, level 3 understanding relations through informal deduction, level 4 deductive reasoning. With reference to Browning and Leake's questionnaires, 25 multiple-choice questions were made to examine the existence of hierarchy in students' understanding level, the levels that students of different grades show, and the type of errors that are found according to those levels. Six questions were allocated for Level 1, seven questionnaire was given to 285 high school students of two different schools in Seoul. The result is as follows; First of all, In accordance with the Guttman Scalogram Analysis, students who could not answer more than 2/3 of the low-level questions were not able to answer more than 2/3 of the high-level questions. Therefore, the assumption that there is a hierarchy of understanding levels could be regarded appropriate. Secondly, High school students who were in their second and third grade were the subject of studying understanding levels, Among the 146 second-graders, those who were in level 3 and level 4 took up 27.2% and 29.9% respectively. Students whose levels were below level 1 took up 4.4% of the whole students. In case of 139 third-graders, the majority were those in level 4 with the proportion of 41.5%. Students who were in level 3, 2 and 1 took up 26.0%, 16.3% and 12.2% respectively. This analysis reveals that there is a remarkable distinction in the level of understanding between the second and third graders of high school. Thirdly, Errors were examined in five different types; students' error in establishing conceptional image, the error of holding to a specific viewpoint, the error or overgeneralizing, the error of misjudging and misinterpreting relations, and the error of having misconception of variables. As a result, the error of misjudging and misinterpreting relations appeared more frequently as the questions' level got higher. The fact that this research characterizes Level 3 of understanding functional graphs by informal deduction and Level 4 by deductive reasoning could account for this result. Based on the whole result of this research, several suggestions could be made to teaching functions and graphs. First of all, graphs should be emphasized in the mathematics instruction of the 7th Common National Curriculum as the essential means for problem-solving. Various visual experiences should be preceded in learning differential and integral calculus. Secondly, on studying graphs, graphic tools such as the Graphic Calculator, Matheviews, Excel, and Grapheq Program should be used to interpret the dynamic changes in the functional graphs. These tools would help students make a connection between concrete and abstract mathematical knowledge. Thirdly, it is necessary to examine the variation of level in Korean middle school and high school students by using graphic tools, or by classifying the level of functions following Van Hiele's levels, or by implementing Van Hiele's current model of instruction in the classroom. Lastly, a more thorough analysis on the students' level and their errors is required. Hence, it is necessary to develop appropriate essay questions to look into students' procedures of solving functional problems.;Van Hiele는 수학 학습에서 한 수준의 조직 수단이 다음 수준에서는 연구 대상이 되며, 수준의 이행은 순서적으로 일어나며, 수준이 다른 두 사람은 서로 간의 의사소통이 어렵다는 것을 발견하였다. 이러한 Van Hiele의 연구 이후로 수학 교수-학습에서 학생들의 수준에 대한 인식은 중요한 것으로 인식이 되어 여러 학자들에 의해 연구되어 왔고 여러 다른 분야에도 적용하려는 시도가 있었으나 함수분야 특히 그래프에서의 적용에 대한 연구는 거의 없다. 본 연구는 Van Hiele의 이론을 적용하여 함수의 그래프의 이해수준을 특성화할 수 있는지를 결정하기 위한 "함수의 그래프 수준"에 대한 문항을 개발하는 것에 목적을 두고 있다. 또한 이 과정에서 각 문항에서 오답을 한 학생들의 프로토콜을 문항의 수준별로 분석하여 함수와 그 그래프에서 학생들이 보이는 오류에 대한 연구하는 것을 이차적인 목적으로 하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 1. 함수의 그래프에 대한 이해수준의 위계를 구분할 수 있는가? 2. 현 고등학교 2, 3학년 학생들의 함수의 그래프에 대한 이해 수준의 분포는 어떠한가? 3. 문항의 수준에 따라 학생들이 함수의 그래프에 대한 이해에서 보이는 오류의 유형에는 어떠한 것이 있는가? 이러한 연구문제를 해결하고자 우선 Van Hiele의 이론을 함수의 그래프에 적용하여 수준1을 직관적 인식수준, 수준2를 분석을 통한 성질 파악의 수준, 수준3을 비형식적 연역을 통한 관계파악의 수준, 수준4를 연역적 추론수준으로 함수의 그래프의 이해수준을 설정하였다. 이러한 수준에 따라 Browning과 Lea ke의 검사지를 참고로 수준1에 6개, 수준2에 7개, 수준3에 7개, 수준4에 5개 문항으로 객관식 25개 문항을 제작하여 서울시내 2개 고등학교 2, 3학년 285명 학생을 대상으로 수준의 위계의 존재와 학년별 수준의 정도와 수준에 따른 오류유형을 조사하였다. 그 결과 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, Guttman 척도 분석에 의해 낮은 수준의 문항의 2/3개이상을 맞추지 못한 학생들은 높은 수준의 문항에서도 2/3개이상 답을 할 수 없어서 수준의 위계가 타당하다고 할 수 있었다. 둘째, 고등학교 2, 3학년들의 이해수준의 정도는 2학년의 경우 전체 연구대상 146명 중 35.3%의 학생들이 수준2, 27.2%가 수준3, 29.9%의 학생들이 수준1, 13.2%의 학생들이 수준4 순으로 나타났으며, 수준1에 도달하지 않은 학생들이 4.4%로 나타났다. 3학년의 경우는 전체 139명 대상학생 중 41.5%가 수준4에, 26.0%가 수준3에, 16.3%가 수준2에, 12.2%가 수준1에 해당되었으며, 4.0%가 수준1에 도달하지 않은 것으로 나타났다. 수준분석 결과를 통해 2, 3학년의 수준 차가 많이 나는 것을 알 수 있었다. 셋째, 오류의 유형을 개념 이미지의 오류, 특정관점에의 집착으로 인한 오류, 지나친 일반화로 인한 오류, 관계 해석과 판단의 장애로 인한 오류, 변수 개념에 대한 장애로 인한 오류로 나누어 살펴본 결과, 수준이 높은 문항일수록 관계 해석과 판단의 장애로 인한 오류가 많이 나타났다. 이는 본 연구의 함수의 그래프에 대한 이해수준이 수준3은 비형식적 연역을 통한 관계파악을, 수준4는 연역적 추론을 특징으로 하기 때문이라고 할 수 있다. 이러한 연구 결과를 토대로 함수의 그래프 학습에서 다음과 같은 제언을 하고자 한다. 첫째, 문제를 해결하는데 필수적인 수단으로 그래프를 국민공통교육과정 속의 수학 학습에서 강조해야 한다. 미분과 적분을 학습하기 위해서는 다양한 함수의 그래프에 대한 시각적인 경험이 선행이 되어야 한다. 둘째, 그래프의 학습시에 그래프를 그리는 도구(그래픽 계산기, Mathview, Excel 및 Grapheq 프로그램 등)를 이용하여 그래프의 역동적인 변화 현상을 해석함으로써 구체적인 수학적 지식과 추상적인 수학적 지식 사이을 연결시키도록 해야 한 다. 셋째, Van Hiele의 수준으로 함수의 그래프의 수준을 분류하고 그래프를 그리는 도구를 이용하거나 Van Hiele의 학습모델을 교수-학습에 적용하여 우리나라 중등학생들의 수준의 변화를 살펴보는 연구가 절실히 요구된다. 넷째, 함수의 그래프의 이해 수준을 검사하기 위한 서술형문항을 개발하여 풀이과정에서 보이는 각 학생들의 수준과 오류를 좀 더 철저히 분석하는 고찰이 필요하다.