數의 槪念에 對한 數學敎育學的 考察

Abstract

The modern mathematics which has been originated by German mathematician Hilbert was clarified its structures of group, ring, field and ideal as algebraic structure in 1920s, and then began to formulate structures of order, topology and linear space. In the 1930s as the "structuralism" of the Bourbaki's research group came to the front, it was accelerated to interpret the mathematics with utilitarian view. In compliance with this tendency, this thesis is to study the conception of number comparably within the curriculum of secondary schools based on the mathematical structure, especially on the algebraic structure, which is characteristic of modern mathematics under the following steps: First, to take into consideration of needs to be broaden the number system, Second, to structuralize those features of these collection of number and Third, to seek the method how to teach students of secondary schools in newer and efficient manner for the number conception. The number was originated, in favor of human being, as to indicate the quantity of an item or dimension of an article in its length, heighth, width and cube. The mathematics is a science which has started from number and the most fundamental number among the numerical system is natural number. The numerical system broadens in order of natural number - integer - rational number - real number - complex number. The conception of natural number may be clarified of its algebraic structure and ordered properties with the Peano's axiom and mathematical inductive method, integer system is induced by the difference between two natural numbers, rational number system is introduced by quotient of two integer, and the conception of real number may be established of algebraic order and topological structures by Cantor's real number theory with the Cauchy sequence, the Dedekind's real number theory through the cut concept, and the Weierstrass's nested interval theorm. In the matter of expansion by natural number - integer - rational number - real number in order, it must be followed to "The permanence of computing laws" and the existing numerical system must be embeded into the number collection. Finally, the complex number system can be defined with the ordered pair of two real number. Here, the complex number system is restricted to develop its concept because of the non-permanence which is not consture laws such as order properties. And also, the numerical system may be broaden with the style adding root which satisfies algebraic equation. This thesis has analyzed and studied in integration of various properties related to basic conception of modern mathematics based on the characteristics of concept of number as above, considered background of the mathematical history classifying the concept of number as natural number, integer, rational number, real number and complex number from the point of seeking improvement in mathematics education in curriculum in which containing the conception and properties of number at the secondary schools. In addition, this study has considered suggestions that may be noted on teaching the "number conception" comparing and analyzing goals of each grader for which under the current curriclum categorizing each element of curriculum objectives into 6 factors as mathematical object, structure, thinking, language, technic and application and, on the other hand, provided a comparison table which reviewing the contents of the school textbook in number conception and number & operation.;독일의 수학자 Hilbert로부터 시작되는 현대수학은, 1920년에 이르러서는 대수적 구조(algebraic structure)로서 군(group)의 구조, 환(ring)의 구조, 체(field) 및 Ideal의 구조가 구명되게 되었고, 순서구조, 위상구조, 선형공간구조 등이 다루어지기 시작하였다. 1930년대에 들어서 Bourbaki학파의「구조주의」가 대두되면서부터, 수학을 공리적으로 해석하는데 박차를 가하게 되었다. 이러한 추세에 따라서, 본 논문에서는 현대수학의 특징인 수학적 구조, 특히 대수적 구조를 바탕으로 하여 중등학교 수학과 교육과정속에 있는 數의 개념을 비교 연구하면서, 첫째, 數 체계를 확장해야만 하는 필요성을 고찰하고, 둘째, 이러한 數 집합이 갖는 특성을 구조화 하며, 세째, 중등학교에서 數 개념을 지도하는데 있어서 보다 새롭고, 효율적인 지도방법을 모색해 보고자 한다. 數는 물건의 갯수를 나타내거나 길이, 넓이, 부피와 길은 측정치를 숫자로 나타내어 사용하면 편리하다는 이점에서, 인간생활의 필요에 의해 만들어졌다. 수학은 數에서 출발한 학문으로서, 數체계중에서 가장 기본이 되는 토는 자연수이다. 수 체계는 자연수 → 정수 → 유리수→ 실수 → 복소수 체계로 확장이 된다. 자연수의 개념은 Peano의 공리라 수학적 귀납법으로써 대수적 구조와 순서성질을 규명할 수 있고, 정수 체계는 두 자연수의 差로써, 유리수 체계는 두 정수의 몫으로써 도입되어지며, 실수의 개념은 Cauchy수열에 의한 Cantor의 실수록과 Cut 개념을 통한 Dedeking의 실수론, Weierstrass의 구간 축소법 등으로 대수적구조, 순서구조, 위상적구조를 확립할 수 있다. 자연수 → 정수 → 유리수→ 실수체계로 확장하는 문제에 있어서 "형식 불역의 원리 (The permanence of computing laws)" 를 따라야 하며, 새로운 數집합 안에 기존의 數체계가 揷入(embed)되도록 하여야한다. 마지막으로, 복소수 체계는 두 실수의 순서쌍(ordered pair)로써 정의할 수 있다. 여기서 복소수체계는 순서성질(order properties)과 같은 법칙들이 성립하지 않는 non-permanence 때문에 복소수 개념 발달에 저해 요인이 되고 있다. 또한 대수 방정식을 만족시키는 근을 첨가하는 형식으로 數체계를 확장할 수 있다. 본 논문은 위의 수 개념에 대한 특성을 바탕으로 하여, 數 개념을 자연수, 정수, 유리수, 실수 및 복소수등으로 분류하여 수학사적인 배경을 고찰하였으며, 중등학교 교육과정에 포함되어 있는 數의 개념과 성질을 수학교육의 개선을 모색한다는 점에서, 현대수학의 기초개념과 관련되는 여러 성질들을 종합적으로 분석·연구하였다. 아울러 수 개념의 지도상에서 있어서 교과목표의 각 요소를 수학적, 대상, 구조, 사고, 언어, 기능 및 응용의 6가지 요소로 분류하여 현행 교육과정의 "수 개념"에 관한 각 학년목표를 비교·분석하였고, 한편 교과서의 내용에서 수 개념과 수의 연산에 대한 내용을 비교·검토표로써 만들었으며, 수 개념 지도상의 유의점에 대한 제언을 각 학년별로 고찰하였다.