고등학교 극한 영역에서의 오류분석을 통한 교정학습지도방안

Abstract

극한의 수학적 개념은 해석학의 이론 전개의 가장 기본이 된다. 극한 개념의 정확한 이해 없이는 미분이나 적분 개념은 물론, 실수 개념의 명확한 이해도 기대할 수 없다. 그런데 극한 개념은 매우 다양하게 응용되고, 인간의 자연스런 사고 과정과 다른 사고를 필요로 하기에 학습에서 많은 곤란을 일으킨다. 그러므로 고등학교 수학에서 오류가 가장 발생하기 쉬운 영역 중 대표적인 것이 극한이다. 많은 학생들은 극한에 대한 형식적 정의를 완전히 이해하지 못한 채, 문제를 해결하고 자신들의 문제 해결과정에서 장애가 발생하여 어려움을 느끼며 그에 대한 오류가 발생한다. 학생들은 새로운 개념을 접할 때, 반드시 교사가 의도한대로 학습하지 않는다. 따라서 새로운 수학적 개념을 지도하기 위해서 교사는 학생들이 어떠한 오류를 범하게 되는지를 확인해야 하며, 학생들의 오류에 대한 정보를 알아야 한다. 학생들의 오류를 단지 실수나 착각 등에 의한 것으로 생각하지 않고 학생들이 오류를 범하는 근본적인 원인이 무엇인지를 밝힐 수 있다면, 교사가 오류의 원인을 사전에 인지함으로써 보다 바람직한 학습 지도 방법을 마련할 수 있다. 따라서 본 연구는 고등학생들의 수열의 극한, 무한급수, 함수의 극한과 연속성, 미 · 적분 등을 포괄하는 극한 영역 학습에서 나타나는 오류 유형을 분석하여 교정학습지도방안을 모색함으로써 극한 단원의 합리적이고 효과적인 교수방법을 구현할 수 있는 이론적 기반을 제공하고자 한다. 연구의 목적을 달성하기 위하여 다음과 같은 두 가지 문제를 설정하였다. 1. 극한 영역의 학습에서 학생들에게 어떠한 오류 유형과 발생빈도분포가 나타나는가? 2. 극한 영역의 학습에서 학생들에게 나타나는 오류 유형에 대한 교정학습지도방안은 무엇인가? 본 연구를 수행하기 위하여 경기도 성남시에 있는 인문계 여자 고등학교 3학년 자연계 3개반 110명의 학생들을 연구대상으로 선정하였다. 오류 검사지는 총 12개의 내용을 바탕으로 하여 전체 27문항으로 구성되어 있다. 문항의 내용에 따른 특성을 고려하여 수열의 극한의 성질 및 계산, 무한급수의 계산(수렴과 발산) 및 수렴조건, 함수의 극한 계산, 함수의 연속․불연속성 문제, 미분가능성 문제, 정적분 문제 등에 관하여 여러 가지로 나누어진다. 본 연구에서 오류의 유형은 Hendrik Radatz, Movshovitz -Hadar, Orit, & Shlomo, 김옥경이 제시한 오류 유형을 참고하여 물음의 내용을 잘못 이해 또는 해석된 문제, 논리적으로 부적절한 추론, 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 기술적 오류, 풀이과정을 생략한 오류, 해석 불가능하거나 애매한 오류 6가지로 분류하였다. 학생들의 오류들이 전체 오류에 대해 차지하는 각각의 모형의 범주를 백분율로 나타내고, 각 문항에 따라서 그 문항의 정답율, 모형에 따른 오류의 개수를 제시하였으며, 해당 문항의 오류의 개수에 대한 각 오류 모형의 반응 빈도를 백분율로 나타내었다. 검사에 임한 학생 110명 중 검사지의 문항의 문제풀이과정에서 대표적 오류를 보인 학생 15명을 선별한 다음, 약정방법 중 큰 소리로 말하기 방법과 임상 인터뷰 방법의 혼합방법을 택하여 방과 후 시간을 통해 오류유형을 교정하였다. 이러한 교정과정을 통하여 극한 영역에서 학생들이 올바른 개념을 학습하고 오류를 예방할 수 있도록 하는 교정학습지도방안을 모색하였다. 본 연구로부터 다음과 같은 결과를 얻을 수 있었다. 연구문제 1에 대한 결과를 살펴보면, 오류 검사지를 통해 극한에 관련된 문제 해결 과정에서 발생하는 오류의 분포는 전체 1362개의 오류 중에서 A: 물음의 내용을 잘못 이해 또는 해석된 문제의 경우가 10%, B: 논리적으로 부적절한 추론이 14%, C: 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용이 38%, D: 기술적 오류가 18%, E: 풀이과정을 생략한 오류가 12%, F: 해석 불가능하거나 애매한 오류가 8%로 나타났다. 오류 유형의 분포는 검사지에서 제시하는 문항 내용에 다소 차이가 있을 수 있지만, 본 검사에서 보는 바와 같이 C형인 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용의 오류 유형이 다른 유형보다 많았다. 첫째, 수열의 극한 계산에 대한 문제풀이에서 나타난 오류는 A형 10%, B형 18%, C형 28%, D형 20%, E형 8%, F형 16%로 나타났다. 오류의 유형 중 C형, D형이 많이 나타났는데 이것은 극한값을 구하는 과정에서 풀이 과정에서 오류의 유형은 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 계산이 잘못되었거나 기호의 오용이 많다는 것을 뜻한다. 둘째, 무한급수의 수렴 · 발산을 구하는 것에 관한 오류는 A형 1%, B형 26%, C형 35%, D형 17%, E형 5%, F형 16%로 나타났다. 여기서 오류발생은 애매한 오류로 분류된 F형과 무응답에 해당하는 학생들의 대부분이 무한급수의 수렴과 발산의 개념을 이해하지 못하여서 생기는 현상으로 분석되므로 C형의 오류가 아주 많은 것으로 판단된다. 셋째, 함수의 극한 계산에서 나타나는 오류는 A형 2%, B형 8%, C형 39%, D형 23%, E형 20%, F형 8% 로 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 기술적인 오류, 결과는 추측하고 있는데 비하여 풀이 과정을 논리적으로 기술하지 못하고 생략하는 경우가 많았다. 넷째, 함수의 연속성에 관련된 문제의 오류에서는 A형 7%, B형 13%, C형 48%, D형 21%, E형 6%, F형 5% 로 대부분 C형이 나타났다. 풀이 과정에서 오류의 유형은 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 기술적 오류의 순으로 나타났다. 다섯째, 함수의 미분가능성에 관련된 문제의 오류는 A형 21%, B형 17%, C형 36%, D형 9%, E형 15%, F형 2% 로 C형의 오류가 가장 많이 나타났다. 풀이 과정에서 오류의 유형은 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 물음의 내용을 잘못 이해 또는 해석된 문제 순으로 나타났다. 여섯째, 정적분에 관련된 문제의 오류는 A형 23%, C형 40%, D형 14%, E형 21%, F형 2% 로 풀이 과정에서 오류의 유형은 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리 사용, 물음의 내용을 잘못 이해 또는 해석된 문제, 풀이과정을 생략한 오류 순으로 나타났다. 연구문제 2에 대한 결과를 살펴보면 학생들이 문제풀이 과정에서 발생시키는 오류를 1대 1 면담을 통하여 교정하는 과정에서 잘못 이해하거나 숙련되지 못한 개념과 정리의 사용에 관련된 오류의 비율이 가장 높았다. 따라서 개념적 지식과 관련된 오류의 교정을 목적으로 면담을 실시해야 할 필요성이 요구된다. 이에 원리발견 학습모형을 이용하여 면담을 하면서 학생들이 보인 대표적인 오류를 교정하였다. 학생들이 오류를 나타낼 때, 교사의 안내를 받으면서 학생 스스로 올바른 문제의 풀이과정에 다가가도록 유도하였다. 그 결과 문제에 대한 개념 이해를 바탕으로 교정해나가게 됨으로써 성공적으로 문제를 해결하고 이해할 수 있었다. 이와 같은 분석 결과로 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 대부분의 학생들은 수열의 극한, 무한급수, 함수의 극한과 연속성, 미 · 적분 단원에서의 나오는 극한 영역의 개념들에 대해 정확히 이해하지 못하고 많은 오류를 보이고 있다. 따라서 교사는 극한의 교수 과정에서 극한의 개념에 대한 지도를 더 강조하고 극한의 다양한 예를 제시하여야 할 것으로 생각된다. 또한 학생들이 가질 수 있는 인식론적 장애를 고려하여 이를 극복할 수 있도록 교수 방법을 연구하여야 한다. 둘째, 학생들은 문제 해결 단계의 이동에서 논리적인 추론보다는 경험, 즉 이전에 다루어 보았던 문제의 유형을 기억하여 기계적이고 직관적으로 문제를 해결하는 경향이 많았다. 또한 익숙하지 못한 기호를 사용하여 극한을 계산하기 때문에 많은 기술적 오류가 발생했다. 따라서 극한의 개념이나 성질을 잘 이용하고 이를 활용하여 문제를 해결함으로써, 논리적으로 부당한 추론을 하거나 특별한 정의와 정리를 잘못 적용하고 기술적인 오류를 범하지 않도록 지도해야 하겠다. 셋째, 극한의 각 영역에 대한 교정학습 지도방법을 간단히 정리하면 다음과 같다. 수열의 극한에서 각 항의 값이 어떻게 변하는 지 그래프를 통해 시각적으로 판단하도록 하면서 수렴의 개념을 도입하고 극한의 유일성을 강조하는 수업을 해야 한다. 무한급수를 지도할 때에는 수열의 극한과 무한급수의 개념이 별도가 아님을 주지시키고, 같은 문제에 대해서 수학적인 언어를 다르게 제시하여 문제를 해결할 수 있도록 해야 한다. 함수의 극한에서는 그래프를 활용하는 것이 크게 도움이 되며, 연속성을 지도할 때는 연속의 개념과 극한의 개념을 정확히 구별할 수 있도록 해야 한다. 연속의 세 가지 조건 중 두 개 또는 하나를 만족시키지 못해서 불연속인 함수의 다양한 예들을 제시해야 하고, 연속함수의 개념을 생각하여 어떤 함수가 정의되었을 때 에 속하지 않는 점을 지적하여 불연속점이라는 것만을 강조하기 보다는 전체적인 개념을 포괄하여 그 함수가 정의구역 안에서 연속함수가 되는 조건을 밝혀주는 것이 좋을 것이다. 미분계수를 설명함에 있어서는 좌미분계수, 우미분계수의 의미를 설명한 후 좌미분계수와 우미분계수가 같을 때 미분계수가 존재함을 설명해야 하며 이를 위한 방법으로 그래프를 제시하는 방법, 해석학적인 방법, 기하학적으로 접선의 기울기임을 설명하는 방법 등이 있다. 또한 많은 학생들이 구분구적법과 정적분을 종합할 수 있는 사고력이 부족한 것으로 나타나는데 이를 위해서는 상합과 하합의 그래프를 통해 정적분을 이해할 수 있는 기회를 많이 제공해 주어야 할 것이다. 따라서 개념지도에 많은 시간이 주어져야 할 것이고, 정밀하고 이해가 쉽게 서술된 교과서 구성이 절실하며, 올바른 극한 개념을 기초로 하여 다양하게 응용된 문제를 일관성 있게 풀 수 있는 문제해결능력 또한 기를 수 있도록 지도해야 할 것이다.;The concept of limit constitutes the very core in the theoretical development in the study of Analysis. Without the exact understanding of the concept of limit, clear understanding of the concept of real number is impossible, still less the concept of differential or integral. However, the concept of limit is applied so variously and entails the thinking different from the natural thinking process that it raises difficulties in learning. Therefore, one of the sectors most prone to errors in the high school mathematics is limit. Most of students, without the complete understanding of the exact definition of the limit, try to solve the problems and thus experience obstacles in the problem-solving, facing difficulties. Students, when faced with a new concept, does not study as intended by teachers. Therefore, in order to guide the new mathematical concept, the teachers must confirm what error pattern the students make and possess the information about the errors. The teachers should not mistake the errors just as caused by mere mistakes nor misunderstanding. This is because if the teachers are acknowledged with the cause of the errors beforehand, better method of instruction method could be applied. Therefore, this study attempts to provide the theoretical basis for the realization of the rational and effective teaching method for the limit by analyzing the type of errors in the study of the limit of high school students; the limit of sequence, infinite series, the limit of function and the continuity, differential and integral and attempting to establish the manual for the correction of errors. For the purpose of this research, we have conceived the following two questions. 1. What type of errors and the frequency is found in the study of limit among students? 2. What are the corrective process and the study manual for the type of errors found among students in the study of the part of limit ? To conduct this research, we have selected a total of 110 students of three senior classes of natural sciences in all women's highschool in Sungnam. The error test sheets consists of 27 questions, based on 12 different contents. Considering the characteristics of the contents of questions, it includes the characteristics and calculation of limit of sequence, the calculation of infinite series(convergence and divergence), the convergence condition, the limit of function, continuity and discontinuity of function, the differentiability and definite integral problems. We have classified the type of errors into six categories ; the misunderstood or misinterpreted questions; logically inappropriate reasoning, misunderstood or inexperienced concept and the use of its theorem, technical error, error omitting the solving process, non-interpretable or vague error. Also, for each category, I have represented in percentage, student's errors from the entire portion of errors and for each questions, the percentage of correct answer response, the number of errors, reaction frequency of the error model for the number of errors for each given question. Out of the 110 students that participated in the experiment, I selected the 15 students that demonstrated the typical error and made corrections, utilizing the "speak-out-loud" and "clinical interview techniques." Through these corrective process, I attempted to devise a corrective learning manual scheme so that students can learn correct concept in the field of limit. Through this research, the following result was obtained. Upon reviewing the results of the research question 1, the distribution of the errors that resulted from the entire 1362 errors that arise from process of solving the questions related to limit ; A : the misunderstood or misinterpreted questions stood at 10%, B : logically inappropriate reasoning stood at 14%, C : misunderstood or inexperienced concept and the use of its theorem stood at 38 %, D : technical error stood at 18%, E: error omitting the solving process stood at 12%, F : non-interpretable or vague error stood at 8%. The distribution of the type of error may slightly differ from the contents of the questions that the test sheet offer, but the type C : misunderstood or inexperienced concept and the use of its theorem was found to be more frequent that the other type of errors. Upon reviewing the results of the research question 2, Through one to one interview I discovered that many errors that the students make arise from attempting to solve the questions without the correct understanding of the concept of the limit. Therefore, I corrected the errors through interviews, utilizing the study model for discovering principal for each question. As a result, the students were able to solve each question, making corrections based upon the concept for each question. Upon analyzing the results of the two research questions, I have reached the final conclusion. First, most of the students make many errors not having the correct knowledge or the understanding of the limit of sequence, infinite series, limit of function, continuity, the chapter of differential and integral concepts of the field of limit. Therefore, the teachers must put emphasis on the concept of the limit during instruction of limit and offer various examples of limit. Also, teachers must be well aware of the complex and various spectrum of the concept of limit and continue to develop teaching method, in order to overcome the cognitive difficulties faced by the students. Second, the students had the tendency to resort to the mechanical and intuitive method for solving the problem, remembering the pattern of the questions that they have previously solved. Also, many technical errors resulted from the difficulties entailed from the use of the unfamiliar signs and symbols. Therefore, the instructions must be focused on preventing the students from falling into errors of illogical reasoning and the inappropriate use of the special definition and theorem. Therefore, much emphasis and effort must be directed to the instruction of the core concept of the limit theorem. The construction of the precise and the easy to understand textbooks are also in need, along with the continued instruction for cultivating the problem solving capability for various applied problems.