Dual SDP Relaxations for Nonconvex Quadratic Programming with Ball Constraints

Abstract

We study nonconvex quadratically constrained quadratic programming (QCQP) with an arbitrary number of ball constraints. Nonconvex QCQPs with ball constraints have been a crucial subject for their wide range of applications such as engineering, finance, machine learning. In particular, the generalized trust-region subproblem and the extended trust-region subproblem belong to QCQPs with ball constraints. Exactness of the solution obtained by their semidefinite programming (SDP) relaxation of these problems were shown when one or two ball constraints exist. Our interests in this thesis lie in finding exact solutions of QCQPs with ball constraints using its dual SDP relaxation under strong duality assumption. More precisely, we consider SDP relaxation of QCQP with ball constraints and apply orthogonal transformation on the objective function. We show that the dual SDP relaxation of the problem has the constraint with n-1 where n is the size of the positive semidefinite constraint in the dual SDP relaxation. Then, an exact solution can be obtained from the primal SDP relaxation under strong duality. We verify the effectiveness of the proposed method empirically with QCQP instances with arbitrary ball constraints.;본 논문에서는 임의의 개수의 구형 제약이 있는 비볼록 이차 제약 이차 프로그래밍(QCQP)의 정확한 해법을 연구한다. 구형 제약이 있는 비볼록 QCQPs는 공학, 금융, 기계 학습과 같은 다양한 응용 분야에서 중요한 주제로 다뤄져 왔다. 특히 일반화된 신뢰 영역 부문 문제(GTRS)와 확장된 신뢰 영역 부문 문제(eTRS)는 구형 제약이 있는 QCQP에 속한다. 이러한 문제들은 1개 또는 2개의 구형 제약이 존재할 때에만 이들의 반대 세미정밀 프로그래밍(SDP) 완화로 얻어진 솔루션의 정확성이 보장되어왔다. 본 논문에서는 강한 쌍대성(Strong duality) 가정 하에서 이차 제약이 있는 QCQP의 정확한 해를 찾는 것에 우리의 관심이 있다. 더 정확히 말하면, 우리는 구형 제약이 있는 QCQP의 SDP 완화를 고려하고 목적 함수에 직교 변환(Orthogonal transformation)을 적용한다. 우리는 문제의 이차 SDP 완화가 n-1의 제약을 가진다는 것을 보여준다. 여기서 n은 이차 SDP 완화의 양의 준정부호 제약의 크기이다. 그런 다음 강한 쌍대성 하에서 원시 SDP 완화로부터 정확한 해를 얻을 수 있다. 마지막으로, 우리는 임의의 구형 제약을 가진 QCQP 여러 문제로 제안한 방법의 효과를 실험적으로 검증한다.