An Adapted Interpolation Method for Generating C2 Surfaces around Extraordinary Vertices of Quadrilateral Meshes

Abstract

In this study, we introduce a novel method for generating smooth surfaces near extraordinary vertices of initial quadrilateral meshes. To achieve this, we take the following two steps. First, from the given initial data, we approximate derivatives up to order two at the vertices nearby extraordinary points by using the local least-squares method. We then apply a two-dimensional Hermite interpolatory subdivision rule to the values in the vicinity of the extraordinary vertices to generate smooth surfaces. The method’s effectiveness is enhanced by the strategic use of local axis vectors u and v. These vectors transform standard derivatives into directional derivatives. This transformation is key to the successful implementation of the two-dimensional Hermite scheme, which is central to our approach for generating smoother surfaces around extraordinary vertices in quadrilateral meshes. In particular, the tensor-product scheme of the Deslauriers-Dubuc six-point subdivision is applied to the control points away from extraordinary vertices, resulting in a C2 surface. Some numerical examples are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.;본 논문에서는 초기 quadrilateral meshes의 extraordinary vertices 근처에서 매끄러운 표면을 생성하기 위한 새로운 방법을 연구한다. 이를 달성하기 위해 다음의 두 단계를 진행한다. 먼저, 주어진 초기 데이터에서 local least-squares method 사용하여 extraordinary vertices 근처에서 최대 2차 미분을 근사한다. 그런 다음, 특이한 정점 주변의 값에 two-dimensional Hermite scheme을 적용하여 매끄러운 표면을 생성한다. 이 방법의 효과는 로컬 축 벡터 u와 v를 전략적으로 사용함으로써 향상된다. 이 벡터들은 표준 미분을 방향 미분으로 변환한다. 이 변환은 two-dimensional Hermite scheme의 성공적인 구현에 있어 핵심적이며, quadrilateral meshes의 extraordinary vertices 주변에서 더 매끄러운 표면을 생성하는 우리 접근 방식의 중심이다. 특히, Deslauriers Dubuc의 six-point subdivision은 extraordinary vertices에서 떨어진 제어점에 적용되어 C2 표면을 생성한다. 제안된 방법의 효과를 보여주기 위해 몇 가지 수치 예제를 제시했다.