Characterization of LCD codes constructed from Toeplitz matrices and polynomials

Abstract

본 연구에서는 여러 응용이 알려져 부호이론에서 중요하게 다뤄지는 LCD 코드의 특성을 연구하였다. 그 중에서도 유한체인 F_2 위에서 Toeplitz 행렬과 다항식에 의해 생성된 LCD 코드를 연구하였다. LCD 코드인지 판별하기 위한 기존 연구의 필요충분조건을 단순화하고, 이를 이용하여 LCD 코드를 얻기 위한 다항식의 특정한 두 가지 형태를 찾았다. 또한 Toeplitz 행렬의 주기성을 통해 이 두 형태의 다항식이 생성하는 코드들을 조사하여 optimal 및 near-optimal 코드를 구하였다. 더 나아가 주어진 두 LCD 코드들에 Plokin sum을 적용하여 LCD 코드를 생성하였다.;In this thesis, we characterize LCD codes which are constructed from Toeplitz matrices and polynomials. We study LCD codes over F_2 with generator matrices of the form [I_n | f(T_n)], where f(x) is a polynomial over F_2 and T_n is the symmetric tridiagonal Toeplitz matrix over F_2. We first simplify a necessary and sufficient condition for the [2n, n] codes C with generator matrices [I_n | f(T_n)] to be LCD, compared to the work by Li and Shi. Then we focus on two certain types of polynomials f(x) and find sufficient conditions for C to be LCD, where we apply the simplified LCD criterion. This implies that we obtain some families of LCD codes. In addition, for the LCD codes C associated with the two forms of f(x), we search for the codes having the largest minimum distance for a certain range of code lengths up to equivalence; some of the LCD codes are optimal or near-optimal. Computation is done by software MAGMA. Furthermore, we construct LCD codes obtained from two LCD codes using the Plotkin sum.