Solving Quadratically Constrained Quadratic Problems with Nearly Bipartite Structure

Abstract

We study the exact semidefinite programming relaxation of quadratically constrained quadratic problems (QCQPs). QCQPs include many important applications such as signal processing, signal reconstruction, combinatorial optimization problems including max-cut problems, and quadratic assignment problems. Finding the exact solution of QCQPs via convex relaxation has been an essential research problem as it solves nonconvex NP-hard problem by convexifying the problem. In this thesis, we focus on QCQPs with nearly bipartite structure and show that the exact solution of the problem can be attained by proving the conversion to the structured QCQP under some assumption on the data. We also propose a transformation of nonpositive data matrices of QCQPs into QCQPs with nonnegative data matrices so that the SDP relaxation of the resulting nearly bipartite-structured QCQPs can be solved exactly.;본 논문에서는 이차 제약 조건을 갖는 이차 문제(quadratically constrained quadratic problems, QCQPs)에 대한 정확한 준정부호 계획법 이완(semidefinite programming relaxation)을 연구한다. QCQPs는 신호 처리, 신호 복원, 최대 절단(Max-Cut) 문제를 포함한 조합 최적화 문제 및 이차 할당(Quadratic Assignment) 문제와 같은 여러 중요한 응용 분야에 사용된다. 볼록 완화(convex relaxation)를 통해 QCQPs의 정확한 해를 찾는 것은 비볼록(nonconvex) NPhard 문제를 볼록화하여 해결하는 중요한 연구 문제이다. 이 논문에서는 거의 이분 구조(nearly bipartite structure)를 가진 QCQPs에 초점을 맞추며, 데이터에 대한 가정 하에 구조화된 QCQP로의 변환을 증명함으로써 문제의 정확한 해가 구해질 수 있다는 것을 보인다. 또한, 비양수 데이터 행렬을 갖는 QCQPs를 비음수 데이터 행렬을 갖는 QCQPs로 변환하는 방법을 제안하여 결과적으로 얻어지는 거의 이분 구조 QCQPs의 준정부호 프로그래밍이 정확하다는 것을 보인다.