시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동에서 초등학생이 만든 문제의 수준, 오류 양상 및 비례 추론 수준 변화 분석

Abstract

Polya(2002)는 수학에서 문제 해결의 중요성에 대해 강조하며 문제를 푸는 바람직한 방법을 네 단계로 설명한다. 문제를 이해하고, 문제의 해결 방법을 계획하며, 계획을 실행한 후, 풀이를 검토하는 것이다. 그러나 실제로 많은 학생들이 문제를 제대로 읽지 않고, 제시된 숫자를 자신이 익힌 알고리즘에 대입하는 방식으로 문제를 해결하는 것을 볼 수 있다. 한편, 비례 추론은 초등학교 수학에서 학습한 개념들을 복합적으로 활용하고, 중고등학교에서 배우는 함수와 같은 고차원적인 개념 이해의 기초로 작용하는 중요한 추론 능력이다(Lamon, 2007; Lesh, Post, & Behr, 1988; NCTM, 2000). 그러나 많은 학생들이 비례 추론에 관해 학습할 때 어려움을 느끼며, 학생들의 비례 추론 이해를 돕기 위해 비례식 알고리즘 도입을 늦추고 다양한 시각적 표현을 활용할 필요가 있다(임재훈, 이형숙, 2015; 정영옥, 2005; 정은실, 2003). 본 연구는 학생들이 문제를 적극적으로 탐구하고, 비례 추론에 관한 이해를 높일 수 있도록 시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동을 개발 및 적용하고 이러한 수업의 효과를 확인하는 데 그 목적이 있다. 이러한 연구 목적에 따라 본 연구는 다음과 같이 연구 문제를 설정하였다. 1. 시각적 표현 활용 문제 만들기 활동에서 학생들이 만든 문제의 수준과 오류 양상은 어떠한가? 2. 시각적 표현 활용 문제 만들기 활동 전후 학생들의 비례 추론 수준은 어떠한 변화가 있는가? 3. 시각적 표현 활용 문제 만들기 활동에서 시각적 표현의 활용은 학생들의 비례 추론 문제 해결에 어떠한 영향을 미치는가? 연구 문제를 수행하기 위해 시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동을 개발하고, 문제의 수준 분석 기준을 마련하였으며 비례 추론 능력 검사지와 비례 추론 수준 분석틀을 선정하였다. 개발한 활동과 문제의 수준 및 비례 추론 수준 분석에 대한 타당성과 신뢰도를 높이기 위해 전문가 검토를 실시하였고, 분석 과정에서 전문가와의 논의를 통해 객관성을 높이고자 하였다. 본 연구는 서울 송파구 E 초등학교 6학년 16명(결석생 2명 제외)을 대상으로 연구 참여에 대한 동의를 받아 12차시에 걸쳐 정규 교육과정 시간에 진행되었다. 시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동에서 학생들이 만든 문제의 수준을 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 학생들이 만든 문제 중 절반 이상이 좋은 문제에 가까웠다. 완전성, 전달성, 일상성 각 척도별 분석 결과 3수준에 해당하는 문제가 가장 많았고 종합적 문제의 수준에서도 8점과 9점에 해당하는 문제가 과반수를 넘었다. 둘째, 완전성과 관련하여 비례한다는 조건을 빠뜨리는 오류가 자주 나타났고, 비례식과 비례배분이 아닌 단순 곱셈 문제를 만든 경우를 찾아볼 수 있었다. 셋째, 전달성과 관련하여 비를 비율로 잘못 적거나 단위를 빠뜨리는 오류가 많았고, 조건을 중의적으로 기술하여 해석에 따라 답이 달라지는 사례를 볼 수 있었다. 넷째, 일상성과 관련하여 비현실적인 양의 크기를 제시하거나 일상적으로 일어나지 않는 상황을 가정하는 경우가 많이 나타났고, 비례적 상황을 비례적 관계가 성립될 수 없는 사실적 소재를 가져와 제시하는 오류를 확인하였다. 다음으로 시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동 전후 학생들의 비례 추론 수준의 변화를 분석한 결과는 다음과 같다. 첫째, 비례 추론 능력 검사 결과 사전 검사보다 사후 검사에서 학생들의 점수가 향상되었다. 둘째, 비례 추론 검사의 질적 과제를 중심으로 사전ㆍ사후 비례 추론 수준을 분석하였으나 뚜렷한 차이를 발견할 수 없었다. 질적 추론 문항별 비례 추론 전략을 비교한 결과, 모든 문항에서 1차원 전략을 사용한 응답 수는 줄었으나 2차원 전략은 줄거나 그대로 유지되는 등 경향성을 확인할 수 없었다. 셋째, 비례 추론 검사의 양적 과제를 중심으로 사전ㆍ사후 비례 추론 수준을 분석한 결과 사전보다 사후에 더 높은 비례 추론 수준을 보이는 것을 확인하였다. 양적 과제의 비례 추론 전략을 비교한 결과, 사전 검사에서는 인수 전략이 가장 많이 나타났고, 사후 검사에서는 비례식 전략, 모델링 전략이 가장 많이 나타났다. 양적 추론 문항별 비례 추론 수준을 비교한 결과 사전 검사보다 사후 검사에서 2~3수준의 응답 수는 증가하고 0~1수준의 응답 수가 감소하였다. 한편, 양적 추론 과제에 대한 사전 검사에서 형식적 전략을 사용하였는데 사후 검사에서는 더 낮은 수준인 비형식적 전략을 사용한 사례를 확인할 수 있었다. 이상의 연구 결과를 바탕으로 본 연구의 결론을 다음과 같이 정리할 수 있다. 첫째, 시각적 표현을 활용한 문제 만들기 활동은 학생들의 비례 추론에 유의미한 영향을 줄 수 있다. 시각적 표현을 통해 문제를 재구조화하고 두 양의 공변성을 직관적으로 나타낼 수 있기 때문이다. 둘째, 비례에 관한 단원을 지도할 때 비와 비율의 개념, 비례한다는 의미를 실생활 맥락과 연관지어 지도해야 한다. 학생들이 만든 문제에서 비와 비율을 혼동하여 사용하거나 일상적으로 비례적 관계가 성립되지 않는 소재를 비례적 상황으로 제시하는 오류를 종종 발견할 수 있었다. 비, 비율, 비례에 대한 개념적 이해와 더불어 일상생활에서 찾을 수 있는 예시를 다양하게 살펴보며 실제적 이해를 도와야 한다. 셋째, 의미 있는 문제 만들기 활동을 위해 다음 사항을 고려하여 지도할 필요가 있다. 활동 시작 전에 좋은 문제의 조건과 의사소통하기 단계에서 도움이 되는 피드백에 대한 논의가 필요하다. 또한, 반성하기 단계에서 친구들의 피드백에 따라 문제를 고쳐보는 활동이 추가된다면 더 좋은 문제로 발전시키는 데 도움을 줄 수 있다. 넷째, 학생들의 비례 추론 능력을 평가할 때 보이는 결과만을 중심으로 평가하는 것을 지양해야 한다. 실제 비례 추론 수준보다 더 높거나 낮은 전략을 사용할 수 있기 때문이다. 본 연구는 문제 만들기 활동에 시각적 표현의 활용을 접목하여 새로운 형태의 문제 만들기 활동을 개발하고, 이를 비례식과 비례배분 학습에 적용하는 시도를 통해 문제 만들기 활동에 대한 교육적 활용을 재고하고 비례 추론 지도에 대한 새로운 교육 방법을 제시하였다는 의의가 있다. 하지만 연구 표본의 수가 적고 연구 기간이 짧아 연구 결과를 일반화하는 데 한계가 있고, 예비 연구 없이 진행되어 변수를 충분히 고려하지 못했다는 제한점이 있다. 이를 바탕으로 후속 연구에 대해 다음과 같이 제언하고자 한다. 첫째, 비례 추론 관련 단원에서 시각적 표현을 체계적으로 활용하는 방안에 관한 연구가 필요하다. 둘째, 학교 현장에서 보편화될 수 있는 문제 만들기 활동 개발에 대한 시도가 지속되어야 한다. 셋째, 질적 비례 추론과 전략을 연습할 수 있는 다양한 질적 비례 추론 과제가 교과서에 제시되어야 한다.;Polya (2002) emphasized the importance of problem solving in mathematics and explained the desirable ways to solve problems in four steps. It is to understand the problem, plan a solution to the problem, execute the plan, and review the solution. However, in fact, many students do not read the problem properly, and you can see that they solve the problem by substituting the presented number into the algorithm they have learned. On the other hand, proportional reasoning is an important reasoning ability that uses concepts learned in elementary school mathematics in combination and acts as a basis for high-dimensional concept understanding such as functions learned in middle and high schools (Lamon, 2007; Lesh, Post, & Behr, 1988; NCTM, 2000). However, many students find it difficult to learn about proportional reasoning, and it is necessary to delay the introduction of proportional algorithms and use various visual expressions to help students understand proportional reasoning (Im & Lee, 2015; Jung, 2005; Jung, 2003). The purpose of this study is to develop and apply problem posing activities using visual expressions and to confirm the effectiveness of these classes so that students can actively explore problems and improve their understanding of proportional reasoning. According to this research purpose, this study set up the research problems as follows. 1. What is the level and error pattern of problems formulated by students in the activity of creating problems using visual expressions? 2. What is the change in the level of proportional reasoning of students before and after the activities to create problems using visual expressions? 3. How does the use of visual expressions affect students' solution of proportional reasoning problems in the activity of creating problems using visual expressions? To carry out research problems, problem-making activities using visual expressions were developed, criteria for analyzing the level of problems were prepared, and proportional reasoning ability test papers and proportional reasoning level analysis frames were selected. An expert review was conducted to increase the validity and reliability of the analysis of the level of developed activities and problems and the level of proportional reasoning, and to increase objectivity through discussions with experts during the analysis process. This study was conducted in 12 regular curriculum sessions with consent from 16 sixth graders (excluding absent students) of E elementary school in Songpa-gu, Seoul. The results of analyzing the level of problems created by students in problem posing activities using visual expressions are as follows. First, more than half of the problems created by the students were close to good ones. As a result of analysis on each scale of completion, communication, and everydayness, problems corresponding to level 3 were the most common, and problems corresponding to 8 and 9 were more than majority at the level of comprehensive problems. Second, errors often appeared that omitted the condition of proportionality in relation to completion, and cases of creating simple multiplication problems rather than proportions and proportional distribution were found. Third, there were many errors in writing the rate as ratio or omitting the unit in relation to the communication performance, and there were cases in which the answer varies depending on the interpretation by describing the conditions in a neutral manner. Fourth, in relation to everydayness, there were many cases of presenting an unrealistic amount of size or assuming situations that do not occur on a daily basis, and errors in presenting proportional situations with factual materials that cannot be established were identified. Next, the results of analyzing the change in the level of proportional reasoning of students before and after the problem posing activity using visual expression are as follows. First, as a result of the proportional reasoning ability test, students' scores were improved in the post-test than in the pre-test. Second, the level of proportional reasoning in pre-test and pro-test was analyzed, focusing on the qualitative task of the proportional reasoning test, but no clear difference was found. As a result of comparing the proportional reasoning strategies for each qualitative reasoning item, the number of responses using the one-dimensional strategy in all questions decreased, but the tendency of the two-dimensional strategy could not be confirmed, such as decreasing or maintaining. Third, as a result of analyzing the level of in pre-test and pro-test, focusing on the quantitative task of the proportional reasoning test, it was confirmed that the level of post-proportional reasoning was higher than that of the dictionary. As a result of comparing the proportional reasoning strategies of quantitative tasks, the acquisition strategy was the most common in pre-test, and the proportional strategy and modeling strategy were the most common in post-test. As a result of comparing the level of proportional reasoning for each quantitative reasoning item, the number of responses at levels 2 to 3 in the post-test increased and the number of responses at levels 0 to 1 decreased compared to the pre-test. On the other hand, a formal strategy was used in the preliminary examination of the quantitative reasoning task, and a lower level of informal strategy was confirmed in the post-test. Based on the above research results, the conclusions of this study can be summarized as follows. First, problem posing activities using visual expressions can have a significant impact on students' proportional reasoning. This is because the problem can be restructured through visual expression and the two quantities of covariance can be intuitively expressed. Second, when guiding the unit on proportion, the concept of ratio and ratio and the meaning of proportion should be guided in connection with the real life context. In problems created by students, errors were often found in confusing ratio and ratio or presenting materials that do not have a proportional relationship as proportional situations on a daily basis. In addition to a conceptual understanding of ratio, rate, and proportion, it is necessary to help practical understanding by looking at various examples that can be found in daily life. Third, it is necessary to guide in consideration of the following matters for meaningful problem posing activities. Before starting the activity, it is necessary to discuss the conditions of good problems and helpful feedback in the communication stage. In addition, adding activities to fix problems according to friends' feedback during the reflection stage can help develop into better problems. Fourth, when evaluating students' proportional reasoning skills, it is necessary to avoid evaluating only the results seen. This is because strategies that are higher or lower than the actual level of proportional reasoning can be used. This study is meaningful in that it developed a new type of problem posing activity by combining the use of visual expression with problem posing activities, and rethinking the educational use of problem posing activities and presenting new educational methods for proportional reasoning guidance. However, there is a limit to generalizing the research results due to the small number of research samples and the short research period, and there is a limitation in that the variables were not sufficiently considered because it was conducted without preliminary research. Based on this, I would like to make the following suggestions for follow-up research. First, research is needed on how to systematically utilize visual expressions in units related to proportional reasoning. Second, attempts to develop problem-making activities that can be common in the school field should continue. Third, various qualitative proportional reasoning tasks that can practice qualitative proportional reasoning and strategies should be presented in the textbook.