Matrix Completion Problems Solved Exactly by the Lasserre Relaxation Level 2

Abstract

Matrix completion is a well-known problem that arises from plenty of applications including the recommendation system in collaborative filtering and manipulation for large databases in data science. In general, the corresponding problem is nonconvex which cannot be solved through convex conic relaxations such as semidefinite programming relaxation. To handle an NP-hard problem, appropriate assumptions are required to achieve reconstructions that coincide with well-functioning algorithms. Cosse and Demanet in [8] showed that by using the level 2 Lasserre relaxation with minimization of the trace norm under the chain-like structural assumption, we can recover the original matrix, given the problem has a unique solution. The process to prove the assertion is based on constructing a certificate of optimality that leads to a dual sum-of-squares polynomial. In this thesis, we investigate the relation between the feasibility system introduced by Azuma et. al in [2] and the sufficient conditions presented by Cosse and Demanet in [8]. In particular, we show the structure of constructing the certificate by computing the dual variable and the part of constraints. Various versions of the certificate are enumerated in comparison with the existing formula. Moreover, we present a wider class of matrix completion problems by relaxing the chain-like assumption.;행렬 완성 문제(Matrix completion problems)는 데이터사이언스의 대규모 데이터베이스 처리 및 협업 필터링 (Collaborative filtering)에서의 추천 시스템 을 포함한 많은 응용 프로그램에서 발생하는 잘 알려진 문제이다. 일반적으로 해당 문제는 준정부호 계획법 이완(Semidefinite programming relaxation)과 같은 볼록 원뿔 완화법(convex conic relaxation)을 통하여 풀 수 없는 비볼록(nonconvex) 문제이다. 이러한 NP-hard 문제를 처리하려면, 잘 작동하는 알고리즘과 일치하는 재구성을 달성하기 위해 적절한 가정이 필요하다. Cosse and Demanet [8] 은 체인과 같은 구조적 가정하에서 Trace norm의 최소화(Minimization)와 함께 레벨 2 Lasserre relaxation을 사용하여 문제가 고유한 해결책을 가지고 있는 경우 원래 행렬을 복구할 수 있음을 보여준다. 주장을 증명하는 과정은 이중 제곱합 다항식으로 이루어지는 최적성의 인증서(Certificate of optimality) 구성을 기반으로 한다. 본 논문에서는 Azuma et. al [2] 에 의해 도입된 타당성 시스템(Feasibility system)과 Cosse and Demanet [8] 에서 제시된 충분한 조건 사이의 관계를 조사한다. 특히 이중 변수(Dual variable)와 제약 조건 부분을 계산하여 인증서(Certificate)를 구성하는 구조를 보여주며, 기존 수식과 비교하여 다양한 형태의 인증서가 나열된다. 또한, 체인과 같은 가정을 완화함으로써 더 광범위한 종류의 행렬 완성 문제를 제시한다.