Exact DNN relaxations of some class of quadratic optimization problems

Abstract

We study the rank of the optimal solutions obtained by doubly nonneg-ative (DNN) relaxation of nonconvex quadratic optimization problems(QOPs) with nonnegative variables. Nonconvex QOPs with nonnega-tive variables are regarded as important optimization problems as theycan model various applications problems. However, they are known tobe NP-hard, and the exact solutions cannot be attained in most cases.We investigate the sparsity structure induced from QOPs and deriveconditions on the DNN relaxation problems that can lead to the exactoptimal solution of the original QOP. In particular, we study QOPswith star-structured aggregate sparsity matrix, and then the forest-structured ones with constructing star-structured subproblems.;본 논문은 음수가 아닌 변수들로 이루어져있고 특정 구조를 가진 비볼록(nonconvex) 이차 최적화 문제에 대한 DNN(doubly nonnegative) 완화 문제의 최적해들의 계수에 관한 연구이다. 비볼록 이차 최적화 문제는 다양한 애플리케이션 문제를 모델링할 수 있다는 점에서 주목을 받고 있으나, NP-난해 문제로 정확한 해를 얻기 어렵다는 난점을 갖는다. 한편, 비볼록 이차 최적화 문제는 완화된 문제가 계수가 1인 최적해를 가질 경우 완화된 문제를 통해 원래의 문제를 정확하게 풀 수 있다는 특징을 갖는다. 따라서 본 논문은 이 점에 주목하여 계수가 1인 최적해를 가질 수 있는 DNN 완화 문제의 조건을 도출한다. 유도된 데이터 행렬들의 성김성 구조를 파악하고, 별 구조의 문제와 별 구조 하위문제를 구축한 숲 구조 문제를 살펴본다.