고등학교 확률과 통계 과목의 용어와 기호의 정의에 대한 연구

Abstract

수학에서 확률은 어떤 사건이 일어날 가능성을 간단하게 수치로 나타낼 수 있게 해주며, 통계는 현상에 대해 추론하여 결론을 이끌어내게 함으로써 합리적인 의사결정에 도움을 준다(교육부, 2015). 현대 사회에서 의사소통 능력이 강조되고 있는 점을 반영할 때, 확률과 통계는 의사소통 역량을 기르는 데 도움을 준다는 점에서 상당히 중요한 과목이다. 그런데 대부분의 학생들은 확률과 통계 단원에 특히 어려움을 가지며(김원경, 이혜진, 1992), 교사들도 확률과 통계 과목을 지도하는 데 어려움을 겪는다(이영하, 1992; 김원경, 문소영, 변지영, 2006; 임지은, 2011). 선행연구에 따르면, 확률과 통계 단원의 용어에 대한 어려움이 학습에 가장 부정적인 영향을 미치고 있고(이혜진, 1992), 학생들은 교과서에 정의가 어떻게 진술되어 있는지에 따라 수학적 용어를 다르게 이해하였다(신은주, 2002). 한편, 중등 수학교사가 알고 있는 확률과 통계 지식은 교과서에 대한 의존도가 높았다(변지영, 2005). 따라서 교사와 학생은 교과서에 제시된 내용에 의해 지식을 인지하는 경향이 있으며, 이에 따라 교과서별로 용어와 기호의 정의가 명확하고 일관성 있게 제시되어있는지 분석해야 할 필요가 있다. 조영미(2002)에 따르면 학교수학에서의 용어 정의는 교수학적 변환에 해당되며, 변환 과정에서 정의가 여러 가지 형태로 나타난다. 또한, 교사가 어떤 용어 정의를 학생들에게 제시하느냐에 따라 학생들이 알게 되는 용어 정의가 다를 수 있다. 따라서 교과서에서의 용어의 정의 방식과 교사가 학생에게 제시하는 용어의 정의방식에 대해 비교하여 분석할 필요가 있다. 한편, 예비교사들이 지니고 있는 수학적 지식은 향후 교사가 되었을 때 학생의 이해에 영향을 줄 수 있다(이제안, 2015). 따라서 예비교사의 지식을 살펴보는 것은 의미가 있다. 용어 정의에 대한 선행연구를 살펴보면, 대부분 교과서 분석 연구가 많았고 분석 내용이 기하 영역, 함수 영역, 대수 영역에 한정되어 있었다(우정호, 조영미, 2001; 강홍규, 조영미, 2002; 조영미, 2002). 또한, 최근 2015 개정 교육과정에 따른 고등학교 확률과 통계 교과서의 용어 정의와 정의방법을 분석한 연구는 부재한 상황이며, 용어 정의에 대한 인식 연구는 대상이 초, 중학교 학생에 치중되어 있었다. 따라서 예비교사에 대한 인식 연구는 매우 부족하였다. 특히, 확률과 통계에서 예비교사 인식 연구는 특정 용어에 대해 부분적으로 다루어졌으며 통합적으로 예비교사의 인식을 살펴본 연구는 없었다. 따라서 본 연구의 목적은 고등학교 확률과 통계 교과서에서 쓰이는 용어와 기호에 대한 정의와 정의방법을 분석하고, 이에 대한 예비교사들의 인식을 살펴보고자 하는 것이다. 이를 위하여 먼저 2015 개정 교육과정에서의 학습 요소와 확률과 통계 교과서의 용어와 기호를 종합하여 본 연구에서 분석할 용어 및 기호 55개를 선정하였다. 다음으로, 교과서 분석을 통해 총 9종의 교과서별로 용어 및 기호의 정의를 확인하고 정의 방법을 내포적 정의, 외연적 정의, 동의적 정의로 나누어 분석하였다. 이 때, 정의방법을 분석하기 위해서 선행연구(조영미, 2001)의 용어에 대한 정의방법별 하위유형 분류를 분석틀로 사용하였다. 또한, 분석결과를 바탕으로 확률과 통계 용어 및 기호 10개를 선정하여 3가지 정의방법에 대해 나타내고 예비교사의 인식 조사를 위한 설문지 문항의 선택지로 구성하였다. 개발한 설문지를 통해 예비교사가 용어 및 기호의 정의를 올바르게 서술할 수 있는지, 각 용어 및 기호에 대해 가장 잘 인지하고 있는 정의방법은 어떤 유형인지, 그리고 학생에게 용어 및 기호를 지도할 때 어떤 유형의 정의방법을 선택하는지를 확인하고자 5명의 예비교사에게 설문 및 면담을 진행하였다. 이와 같은 연구 방법을 통해 고등학교 확률과 통계의 용어와 기호의 정의에 대한 예비교사의 수학적 지식에 대한 이해와 학생에 대한 이해를 확인할 수 있을 것으로 보았다. 교과서 분석 결과, 교과서별로 정의가 상이하게 나타난 용어와 기호의 개수가 55개 중 12개(약 22%)로 적지 않다는 것을 확인할 수 있었다. 이에 해당되는 용어와 기호는 ‘근원사건’, ‘수학적 확률’, ‘P(A)’, ‘독립’, ‘확률변수’, ‘P(X=x)’, ‘확률분포’, ‘이산확률변수’, ‘연속확률변수’, ‘σ(X)’, ‘큰수의 법칙’, ‘정규분포’이다. 또한, 분석틀에 의해 정의방법을 분석한 결과 내포적 방법이 가장 높은 비율(47%)을 차지했고, 외연적 방법이 가장 낮은 비율(20%)을 차지하였다. 외연적 방법과 동의적 방법보다는 내포적 방법이 많이 쓰이는 이유에 대해서는 고등학교 수학에서는 초, 중학교 수학보다는 비교적 엄밀성이 강조되기 때문인 것으로 보인다. 특히, 정의 방법이 다양하게 나타난 용어와 기호는 총 12개였으며 그 중 ‘시행’, ‘여사건’, ‘배반사건’, ‘독립시행’, ‘표본조사’, ‘표본’은 교과서마다 제시된 정의는 동일하지만 다양한 정의 방법이 적용되고 있었고, ‘사건’, ‘독립’, ‘이산확률변수’, ‘연속확률변수’, ‘정규분포’, ‘추정’은 교과서마다 다른 정의 방법을 사용하고 있었다. 설문과 면담을 통해 예비교사의 정의 서술 정도를 확인한 결과, 연구에 참여한 5인의 예비교사 모두 정의에 대한 이해가 부족하며 정의를 올바르게 서술하지 못하였다. 예비교사들은 ‘근원사건’의 정의를 전혀 서술하지 못하거나 뜻을 유추해서 적는 경우가 많았고, ‘큰수의 법칙’에 대해서는 전혀 관련 없는 서술을 하거나 중심극한정리와 혼동하여 서술하거나 서술상의 오류가 있는 등 정의를 정확하게 답하지 못했다. 그리고 예비교사들은 대부분 ‘정규분포’를 표준정규분포와 혼동하여 정의하였다. 또한, ‘표본공간’은 고등학교 교과서에서는 집합으로서 정의하고 있는데 예비교사들은 이와 달리 모집단으로부터 추출한 공간으로서 서술한 경우가 많았다. ‘사건’의 정의는 대부분의 예비교사가 고등학교 교과서의 정의가 아닌 일상적인 의미나 다소 모호한 표현으로 정의하였다. ‘독립’, ‘종속’, ‘기댓값’과 ‘V(X)’의 경우에는 예비교사가 일상적인 정의로 답하거나 고등학교가 아닌 중학교 과정에서의 정의를 사용하여 서술한 사례가 있었다. 예비교사의 각 설문지 응답을 분석한 결과, 예비교사가 익숙하게 알고 있는 정의 유형과 학생에게 제시하기에 적절하다고 생각하는 정의 유형이 일치하지 않음을 확인할 수 있었다. 대부분의 예비교사들은 학생에게 제시할 정의를 선택할 때 자신이 이전에 이해하기 쉬웠던 경험을 회상하여 학생들이 쉽게 받아들일 수 있을 것이라고 생각한 외연적 정의를 선택하는 비율이 증가하였는데, 이는 예비교사가 이전 학습 경험으로부터의 영향을 많이 받았기 때문으로 보인다. 예비교사들의 응답을 종합하여 분포를 살펴본 결과 각 예비교사마다 익숙하다고 느끼는 정의 유형이 달랐고, 제시된 문제 상황을 통해 학생에게 제시할 정의 유형도 다르게 나타났다. 그런데, 학생에게 제시할 정의를 선택할 때 설문지에 주어진 문제 상황이 있음에도 불구하고 고등학교 확률과 통계 교과서의 정의와는 달리 학생들이 이해하기 쉬울 것이라 생각한 정의를 선택한 예비교사들이 많았다. 이를 통해 예비교사들이 고등학교 확률과 통계 교과서 상의 정의와 도입방법에 대한 이해가 부족함을 확인할 수 있었다. 본 연구 결과를 통한 결론은 다음과 같다. 첫째, 확률과 통계 각 교과서에서 용어 및 기호의 정의를 일치하는 것에 대한 논의가 필요하다. 본 연구에서 살펴본 결과 교과서마다 정의가 상이하게 나타난 용어 및 기호가 55개 중 12개였다. 한대희(1998)는 수학 교과는 위계를 바탕으로 구성되어 후속 학습에 계속해서 영향을 주기 때문에 수학 용어는 일관성을 가지고 정의되어야 한다고 하였다. 따라서 교과서를 통해 교사가 수업을 구상하고 학생이 교과서를 통해 용어를 이해한다는 점에서 교과서의 수학 용어는 일관성을 가지고 정의되어야 한다. 특히, 교과서 분석 결과 9종 중 2종의 교과서에서는 ‘근원사건’에 대한 정의 서술이 되어있지 않아 후에 수학적 확률을 정의할 때 다른 교과서들과는 달리‘근원사건’을 사용하지 않고 정의하였다. 신은주(2002)는 학생들이 수학적 용어를 주로 교과서에 제시되어 있는 정의로서 이해하여 교과서에 제시된 정의에 따라 학생들의 용어에 대한 이해가 다르게 나타났다고 하였다. 따라서 교과서마다 정의된 용어가 다른 것은 학생들에게 혼란을 제공할 수 있으므로 이에 대한 제고가 필요하다. 둘째, 교과서에 제시된 정의 방법이 다양한 것이 초래할 문제점에 대한 심도 있는 논의가 필요하다. 본 연구 결과, 교과서별 정의는 일치하지만 그 정의가 여러 정의 방법으로 정의되거나 교과서마다 다른 정의 방법을 사용하여 정의된 용어가 12개였다. Vinner(1991)는 교과서의 제시 방법이나 교사의 설명방식에 의해 개념정의가 적절한 개념이미지로 형성되지 않는 경우 오개념을 가질 수 있다고 하였다. 따라서 교과서에 제시된 정의방법이 다르다는 것은 교과서를 기준으로 수업을 구상하고 진행하는 교사들에게 각기 다른 정의 방법의 이미지를 심어줄 수 있으며 학생들이 용어의 정의를 익히는 데에도 혼란을 줄 수 있을 것이다. 따라서 이에 대한 논의가 필요하다. 셋째, 예비교사들이 확률과 통계의 용어와 기호에 대해 올바르게 정의하고 학생들에게 적절한 정의를 제시할 수 있도록 하기 위해 교사양성과정의 보완이 필요하다. 본 연구에서는 설문을 통해 예비교사들이 용어와 기호의 정의에 대한 서술 능력이 부족하고 오류를 가지고 있음을 확인 할 수 있었다. 예비교사의 수학적 지식은 향후 교사가 되었을 때 학생의 이해에 많은 영향을 줄 수 있기 때문에(이제안, 2015), 수학적 정의에 대해 정확하게 알고 있지 않은 예비교사가 충분한 교육을 받지 못하고 현장에 나가 학생들을 지도한다면 학생들 또한 교과서의 정의를 정확하게 배우기 힘들 것이다. 따라서 학생들에게 수학적 용어에 대한 올바른 이해를 제공하기 위한 기본 바탕을 형성하기 위해서는 다양한 정의 방법에 대해 탐구해 볼 수 있는 기회를 교사양성과정에서 제공해야 한다. 넷째, 예비교사들은 교재 연구 및 학생에 대한 이해 증진을 위한 노력을 충실하게 해야 할 필요성이 있다. 본 연구에서 실시한 설문 결과에서 예비교사들은 기존 학습 경험에 의해 학생들을 이해하는 것으로 나타났으며, 설문지 문항에 제시되어 있는 문제의 의도를 파악하지 못한 채 학생들이 쉽게 이해할 것으로 생각되는 정의를 선택하였다. 이는 예비교사들이 현 교육과정 상 교과서에서 제시하는 용어 정의의 도입방법에 대한 이해와 학습자의 다양한 능력에 대한 이해가 부족하다는 것을 의미한다. 학생의 어려움과 관계없이 교사가 평소에 가지고 있던 지식이나 방법을 이용하여 교수하는 것은 바람직하지 못하며, 이는 최선의 방법일 수 없다(Ma, 1999). 따라서 예비교사들은 전문성 신장을 위해 교사양성과정에서 적극적으로 교재 연구를 하고, 학생에 대한 이해를 증진시키기 위해 노력해야할 것이다. 본 연구결과를 바탕으로 후속연구를 제안하면 다음과 같다. 첫째, 고등학교 확률과 통계 과목에 등장하는 모든 용어와 기호에 대한 예비교사의 인식을 파악할 필요가 있다. 본 연구에서는 10개의 용어와 기호에 대해서만 인식을 살펴보았기 때문에 나머지 용어와 기호에 대해서도 조사하여 확률과 통계 용어와 기호에 대한 예비교사의 종합적인 인식을 확인할 필요가 있다. 둘째, 용어와 기호의 정의에 대한 학생들의 인식 연구를 제안한다. 확률과 통계 용어와 기호에 대해 학생들은 어떤 정의 방법을 선호하고 친숙하게 느끼는지를 확인한다면 교과서 저자가 학생의 수준과 흥미에 맞게 교과서를 제작하는 데에 도움을 줄 수 있고, 교사가 교수학습 과정에서 정의를 제시할 때 어떤 점을 주의해야하는지에 대한 시사점을 도출할 수 있을 것이다. 따라서 학생들의 인식에 대해 조사하는 것이 필요하다. 셋째, 다수의 예비교사를 대상으로 한 양적 연구를 제안한다. 본 연구에서는 소수의 예비교사를 대상으로 설문과 면담을 진행하였기 때문에 일반화를 하기에는 무리가 있다. 따라서 후속 연구에서는 양적 연구를 통해 예비교사의 인식을 폭넓게 확인하는 것이 필요하다. ;Probability makes it easy to simply quantify the likelihood of an event, and statistics help rational decision making by reasoning about phenomena and drawing conclusions (Ministry of Education, 2015). Reflecting the emphasis on communication skills in modern society, probability and statistics are very important subjects in that they help develop communication skills. However, most students have difficulty in the probability and statistics unit (Kim Won-kyung, Kim Hyejin, 1992), and teachers also have difficulty in teaching the probability and statistics subjects (Lee Young-ha, 1992; Kim Won-kyung, Moon So-young, Byun Ji-young, 2006; Lim Ji-eun, 2011). According to the preceding study, the difficulties with the terms in probability and statistical units had the most negative effects on learning (Lee Hye-jin, 1992), and students understood mathematical terms differently depending on how definitions were stated in textbooks (Shin Eun-joo, 2002). Meanwhile, the probability and statistical knowledge of secondary math teachers were highly dependent on textbooks (Byun Ji-young, 2005). Therefore, teachers and students tend to recognize knowledge based on what is presented in textbooks, and it is necessary to analyze whether the definitions of terms and symbols are clearly and consistently presented in each textbook. According to Cho Young-mi (2002), the definition of terms in school mathematics corresponds to a pedagogical transformation, and the definition appears in various forms in the transformation process. In addition, the term definitions learned by students may differ depending on what term definitions the teacher presents to students. Therefore, it is necessary to compare and analyze the definitions of terms in textbooks and the definitions of terms that teachers present to students. Meanwhile, the mathematical knowledge possessed by prospective teachers may affect students' understanding when they become teachers in the future (Lee Jean, 2015). Therefore, it is meaningful to look at the knowledge of the prospective teacher. Looking at the previous studies on term definition, most of the textbook analysis studies were conducted, and the analysis contents were limited to the geometric domain, the functional domain, and the algebra domain (Woo Jung-ho, Cho Young-mi, 2001; Kang Hong-kyu, Cho Young-mi, 2002; Cho Young-mi, 2002). In addition, there was no study analyzing the definition and definition method of high school probability and statistical textbooks according to the 2015 revised curriculum, and the study of recognition of term definitions was focused on elementary and middle school students. Therefore, study on the perception of prospective teachers was very insufficient. Particularly, in the probability and statistics, the prospective teacher recognition study was partially addressed for a particular term and there was no study that examined the prospective teacher recognition in an integrated manner. Therefore, the purpose of this study is to analyze the definition and definition method of terms and symbols used in high school probability and statistics textbooks, and to examine the perceptions of prospective teachers in this regard. To this end, we first selected 55 terms and symbols to be analyzed in this study by combining the learning factors in the 2015 revised curriculum and terms and symbols of probability and statistics textbooks. Then, through textbook analysis, the definitions of terms and symbols were identified used in each of the nine textbooks, and the definition methods were divided into connotative definitions, denotative definitions, and synonymous definitions. At this time, in order to analyze the definition method, the sub-type classification for each definition method for terms in the previous study (Cho Young-mi, 2001) was used as an analysis framework. In addition, based on the results of the analysis, 10 probability and statistical terms and symbols were selected, and each term and symbol was described for 3 definition methods and composed of questionnaire questions for prospective teacher's perception survey. The questionnaire developed conducted surveys and interviews with five prospective teachers to identify if they could correctly describe the definitions of terms and symbols, what types of definitions they were most aware of each term and symbol, and what types of definitions they would choose when guiding students to terms and symbols. This method of study is expected to confirm the understanding of the prospective teacher's mathematical knowledge of the definitions of terms and symbols of high school probabilities and statistics and the prospective teacher's understanding of students. According to the analysis of textbooks, 12 out of 55 terms and symbols (approximately 22%) showed different definitions. These terms and symbols are 'fundamental event', 'mathematical probability', 'P(A)', 'independence', 'random variable', 'P(X=x)', 'probability distribution', 'discrete random variable', 'continuous probability variable', 'σ(X)', 'a large number of laws' and 'normal distribution'. In addition, as a result of analyzing the definition method by analysis frame, the connotative method accounted for the highest proportion (47%), and the denotative method accounted for the lowest proportion (20%). It seems that the reason why the connotative method is used more than the denotative method and the synonymous method is that the strictness is emphasized in the high school mathematics rather than the elementary and middle school mathematics. In particular, there were a total of 12 terms and symbols showing various definition method, including 'trial', 'complementary event', 'mutually exclusive event', 'independent trial', 'sample survey' and 'sample' with the same definitions presented in each textbook, but various definitions were applied, and 'event', 'independence', 'discrete random variables', 'continuous probability variables', 'normal distribution' and 'estimation' were using different definitions for each textbook. As a result of confirming the degree of definition of the prospective teacher through questionnaire and interview, all five prospective teachers who participated in the study was lack of understanding the definition and could not correctly define the definition. Prospective teachers often failed to describe the definition of a "fundamental event" at all or wrote down the meaning by analogy. Regarding the "law of a large number", prospective teachers did not answer the definition correctly, such as writing completely irrelevant descriptions of the definition of 'a large number of laws', describing it in confusion with the central extreme theorem, or having a narrative error. And most of the prospective teachers defined 'normal distribution' in confusion with standard regular distribution. In addition, 'sample space' is defined as a set in high school textbooks, but prospective teachers often described it as a space extracted from the population. The definition of 'event' was defined by most prospective teachers as a usual meaning or rather vague expression, not the definition of the high school textbooks. In the case of 'independence', 'subordinate', 'expectation' and 'V(X)', there were cases in which the prospective teacher answered with routine definitions or described using definitions in middle school courses rather than high school courses. As a result of analyzing the responses of each questionnaire, it was confirmed that the types of definitions that the prospective teachers are familiar with and the types of definitions that they think are appropriate to present to students do not match. When most prep teachers chose the definition to present to students, they recalled their previous easy-to-understand experience and chose the external definition that they thought would be acceptable to students, apparently because the prep teacher was heavily influenced by previous learning experiences. After summing up the responses of the prospective teachers, the distribution showed that each prospective teacher felt familiar with different types of definitions, and that the choice of types of definitions to be presented to students through the presented problem situation was also different for each prospective teacher. However, there were many prospective teachers who chose the definition that they thought would be easy for students to understand, unlike the definition in high school probability and statistics textbooks, despite the problem situations given when choosing the definition to present to students. Through this, it was confirmed that the prospective teachers lacked understanding of the definition and introduction method in high school probability and statistical textbooks. The conclusions from this study are same as follows: First, It is required to discuss about matching the definitions of each term and symbol in probability and statistical textbooks. According to this study, 12 out of 55 terms and symbols showed different definitions in different textbooks. Han Dae-hee (1998) referred that the mathematical term should be defined with consistency because the math curriculum is composed of a hierarchy and continues to affect subsequent learning. Thus, the mathematical terms of textbooks should be defined with consistency, given that teachers plan classes through textbooks and students understand terms through textbooks. In particular, as a result of analyzing high school probability and statistics textbooks based on the 2015 revised math and curriculum, two out of nine textbooks did not have a definition of 'fundamental event', so unlike other textbooks, the definition of 'mathematical probabilities' was defined without using 'fundamental event'. Shin Eun-joo (2002) said that students understand mathematical terms as definitions presented primarily in textbooks, and that the understanding of the terms is different according to the definition stipulated in the textbook. Therefore, terms defined differently in different textbooks can cause confusion to students, and this needs consideration. Second, in-depth discussions are needed on the problems that various methods of definition presented in textbooks will cause. As a result of this study, there were 12 terms that matched the definition of each textbook, but were defined in several ways of definition or using different definitions of each textbook. Vinner (1991) said that if conceptual definitions are not formed by appropriate conceptual images by the presentation method of textbooks or by the teacher's explanation method, they may have misconceptions. Therefore, different definitions presented in textbooks can give different images of the definition method to teachers who plan and proceed with classes based on textbooks, which may also lead to different aspects of students learning the definition of terms. Therefore, discussions on this need to be made. Third, it is necessary to supplement the teacher training process to ensure that prospective teachers correctly define the terms and symbols of probability and statistics and present appropriate definitions to students. In this study, the survey confirmed that the prospective teachers lacked the ability to describe the definitions of terms and symbols and that there were some errors. Since the mathematical knowledge of a prospective teacher can have a lot of influence on the student's understanding when they become a teacher in the future (Lee jean, 2015), it will be difficult for students to learn the definition of a textbook correctly if a prospective teacher who is not accurately aware of the mathematical definition does not educated enough in the training course and goes out to the field to guide students. Therefore, it is necessary for the teacher training course to provide opportunities for prospective teachers to explore various methods of definition in order to form a foundation for providing students with a correct understanding of mathematical terms. Fourth, prospective teachers need to faithfully make efforts to study teaching materials and enhance their understanding of students. The results of the survey conducted in this study showed that the prospective teachers understood the students based on their existing learning experience and they chose the definitions that students could understand easily without understanding the intent of the questions presented in the questionnaire. This means that prospective teachers lack an understanding of how to introduce the definition of terms presented in textbooks in the current curriculum and an understanding of the various abilities of their abilities. Regardless of the student's difficulties, it is not desirable to teach using the knowledge or methods the teacher normally had, which may not be the best method (Ma, 1999). Therefore, prospective teachers should actively study textbooks in the teacher training process to improve their professionalism and strive to improve their understanding of students. Based on the results of this study, a follow-up study is proposed as follows. First, it is necessary to grasp the prospective teacher's perception of all terms and symbols in high school probability and statistics subjects. In this study, since only 10 terms and symbols were examined for recognition, it is necessary to check the remaining terms and symbols to confirm the overall perception of probability and statistical terms and symbols. Second, we propose students' perception research on the definition of terms and symbols. By identifying which definition method students prefer and how familiar they are to probabilistic and statistical terms and symbols, it would help textbook authors produce textbooks to suit their level and interests, and it would provide implications for what teachers should be careful about when presenting definitions in the course of teaching and learning. Therefore, it is necessary to investigate students' perceptions. Third, we suggest quantitative research on a number of prospective teachers. In this study, we conducted surveys and interviews with the few number of prospective teachers, so it is difficult to generalize. Therefore, it is necessary for subsequent studies to broadly identify the perception of prospective teachers through quantitative research.