The 3-ranks of the ideal class groups of quadratic number fields

Abstract

We study the relation between the 3-ranks of an imaginary quadratic field K_- and its associated real quadratic field K_+. The Scholz theorem states that the difference between the 3-rank of the ideal class group of K_- and the 3-rank of the ideal class group of K_+ is at most one. If the 3-ranks of the ideal class groups of K_- and K_+ are the same, then we call it the non-escalatory case; otherwise, we refer to the escalatory case. Many researchers such as Llorente, Shanks, Kishi, Quer, etc. studied the 3-rank relation between K_- and K_+; however, it is difficult to determine whether the given quadratic fields K_- and K_+ have the escalatory case or not. We study two families of quadratic number fields in terms of the 3-rank difference of their ideal class groups. For each family, we explicitly obtain some criteria for having the non-escalatory case and the escalatory case, respectively. As a corollary, we find a family of the imaginary quadratic fields whose ideal class groups have 3-ranks greater than or equal to two.;본 연구에서는 허수 이차 수체와 이와 연관된 실수 이차 수체의 아이디얼 유군의 3-rank 관계를 연구하였다. 일반적으로, 아이디얼 유군은 수체의 대수적 정수환이 얼마나 유일 인수 분해 정역과 거리가 떨어져 있는지를 알려주는 중요한 개념이다. 하지만 일반적으로 아이디얼 유군을 직접 계산하는 것은 쉽지 않다. 따라서 소수 p에 대하여 아이디얼 유군의 실로우 p-부분군에 대한 연구가 시작되었다. 그 중에서도 Scholz 이후로 대수적 정수환의 아이디얼 유군의 실로우 3-부분군과 생성원의 원소의 갯수인 3-rank를 통해 아이디얼 유군의 형태를 파악하는 연구가 활발하게 연구되어 왔다. 우리는 주어진 허수 이차 수체와 연관된 실수 이차 수체의 아이디얼 유군의 3-rank가 언제 같고 다른지 명확한 조건을 제시하였다. 이에 대한 응용으로, 아이디얼 유군의 3-rank가 항상 2보다 크거나 같은 허수 이차 수체를 제시하였다. 본 학위논문은 학석사 연계과정 장학금을 지원받아 작성하였습니다.