Two-weight Z_2Z_4 additive codes

Abstract

본 연구에서는 두 개의 무게를 가지는 Z_2Z_4 additive 코드를 이용하여 Ashikhmin-Barg 조건을 위배하는 Z_2 상에서의 Minimal 코드를 생성하는 방법을 제시한다. Minimal 코드는 암호 이론의 비밀 공유 체계에서 중요하게 다뤄지는 코드로서, 지금껏 Ashikhmin-Barg 조건을 만족하는 Minimal 코드는 활발히 연구되어 왔다. 하지만 Ashikhmin-Barg 조건을 위배하는 Minimal 코드는 알려진 바가 적고 최근 들어 이에 대한 연구가 주목을 받고 있다. 우리는 먼저 두 개의 무게를 가지는 Z_2Z_4 additive 코드를 생성한 후, Z_2 상에서 Ashikhmin-Barg 조건에 위배되는 [2^t + 2^{t−1}, t, 2^{t−1}] (t ≥ 2) 매개 변수를 가지는 Minimal 코드를 얻었다. 뿐만 아니라, 선행 연구로 두 개의 무게를 가지는 Z_2Z_4 additive 코드에 대한 심도있는 논의가 없었던 점에 주목하여, 이에 대한 여러 가지 특성을 공부하고 7개의 Z_2Z_4 additive formally self-dual 코드를 제시한다.;We obtain an infinite family of new binary minimal two-weight codes which violate the Ashikhmin-Barg condition (i.e., w_{min}/w_{max}<1/2, where w_{min} and w_{max} are the minimum and the maximum Hamming weights, respectively). Minimal codes are one of the significant linear codes since they play an important role in secret sharing scheme. Binary minimal codes which satisfy the Ashikhmin-Barg condition have been studied much. However, only few families of binary minimal codes which violate the Ashikhmin-Barg condition were found. Using binary simplex codes and one-weight Z_2Z_4 additive codes, we present several construction methods of two-weight Z_2Z_4 additive codes. We also find infinitely many binary minimal two-weight codes and binary Griesmer codes with a few weights. Furthermore, we study properties of two-weight Z_2Z_4 additive codes and find seven two-weight Z_2Z_4 additive formally self-dual codes.