Efficient Penetration Depth Computation for Deforming Tetrahedra using Object Norm

Abstract

Soft object simulation has been an important research area in both computer graphics and robotics fields. In computer graphics, it is used to make a realistic and visually plausible animation of soft objects, such as tissues or cloths, and it is applied in computer animation, in interactive video games, or in virtual reality. In the robotics field, soft object manipulation, robot-assisted surgery, and bio-inspired soft robots are example of areas that require accurate deformable simulation. Finite element method (FEM) is the most popular method employed to simulate the deformation of soft objects. It discretizes these objects into a network of finite elements (FEs), such as tetrahedra, and it calculates the deformation of each element based on the relationships between strain and internal stress imposed by external loads on the object. To apply accurate responsive forces, one must calculate the proper penetration metric for the deforming elements. A penetration metric between intersecting objects is used in various fields to generate a robust movement of these objects in penalty-based simulation or to calculate contact forces as a haptic feedback in haptic rendering. However, a penetration metric for deformable objects are relatively less studied, whereas that for rigid objects are extensively investigated. In this dissertation, we propose a novel penetration metric, called deformable penetration depth ({\mathrm{PD}}_d), to define the measure of inter-penetration between two linearly deforming tetrahedra by using an object norm. First, we show that a distance metric for a tetrahedron deforming between two configurations can be found in closed form based on object norm. Then, we show that the {\mathrm{PD}}_d between an intersecting pair of static and deforming tetrahedra can be determined by solving a quadratic programming (QP) problem of the distance metric with nonpenetration constraints over all possible separating directions. We also show that the {\mathrm{PD}}_d between an intersecting pair of two deforming tetrahedra can be more efficiently determined by solving a similar QP problem under some assumption on separating directions. We have implemented our algorithm on a standard PC platform using an off-the-shelf QP optimizer, and we experimentally show that both the static/deformable and deformable/deformable tetrahedra cases can be solvable in tens of milliseconds. To show the tightness of our distance metric, we have compared the metric results of {\mathrm{PD}}_d against those of rigid penetration depth, and our results are tighter than those for the rigid case by a factor of three.;변형체 시뮬레이션은 근육이나 천과 같은 다양한 변형체들의 사실적인 묘사를 위해 컴퓨터 그래픽스 분야에서 꾸준히 연구되어 왔으며, 최근 로보틱스 분야에서도 소프트 로봇, 로봇보조수술 등의 발전으로 그 필요성이 증가하고 있다. 변형체 시뮬레이션에는 유한요소해석법이 널리 이용되고 있는데 이는 물체를 사면체 같은 작은 요소의 집합으로 정의하고 각 요소에 가해지는 외력에 의한 변형을 계산하는 방법이다. 이때 적절한 접촉 반력을 적용하기 위해서는 변형체의 침투깊이 계산이 필수적이다. 중첩된 물체 간의 침투깊이는 페널티 기반 물리 시뮬레이션에서 물체의 안정적인 움직임을 생성하거나, 햅틱 렌더링에서 접촉 반력을 계산하여 햅틱 피드백을 주는 등 다양한 분야에 이용된다. 하지만, 강체 간의 침투깊이는 다양하게 연구된 바 있으나 변형체에 대한 침투깊이를 엄밀하게 다룬 연구는 상대적으로 매우 적은 편이다. 따라서 본 논문에서는 중첩된 두 변형가능한 사면체 간의 상호 침투량을 측정할 수 있는 변형체 침투깊이(deformable penetration depth, \mathrm{P}\mathrm{D}_\mathrm{d})를 두 선형적 변형사면체를 분리하는 최소한의 변형으로 정의하고, 이 문제를 기하학적으로 계산하는 방법을 제안한다. 먼저 사면체의 변형 전후 형상(configuration)이 주어졌을 때 그 변형량을 측정할 수 있는 거리 메트릭을 제안한다. 거리 메트릭은 오브젝트 놈(object norm)을 이용하여 정의하며 이는 물체 내부의 모든 점의 평균 변형량으로 해석할 수 있다. 본 논문에서는 거리메트릭을 닫힌 형태의 수식으로 나타낼 수 있음을 보였다. 두 사면체를 분리하되 변형을 최소화하기 위해서는 분리 후 두 사면체가 접촉상태가 되어야 한다. 특정 접촉상태를 만족하는 최소한의 변형은 비침투제약조건을 만족하면서 거리메트릭을 최소화하는 이차계획법(quadratic programming) 문제를 풀어서 구할 수 있다. 즉 변형체 침투깊이 계산은 두 사면체를 가장 적게 변형해서 만들 수 있는 접촉상태를 찾는 문제로 재정의할 수 있으므로 모든 가능한 접촉상태를 구하고, 각각의 최적화문제를 풀면 변형체 침투깊이를 얻을 수 있다. 본 논문에서는 분리축 정리(separating axis theorem)를 이용해 중첩된 두 사면체의 모든 가능한 접촉상태를 구하고 각각의 접촉상태에 따른 비침투제약조건을 설정해 이차계획법문제를 풀어냄으로써 변형체 침투깊이를 계산하는 방법을 제안하였다. 먼저 비교적 간단한 경우인 고정사면체/변형사면체를 분리하는 방법을 보인 후, 변형중에 분리방향이 변하지 않는다는 가정을 통해 두 변형사면체를 분리하는 문제로 확장할 수 있음을 보였다. 또한, 최적의 접촉상태를 미리 알고 있다면 계산량을 줄일 수 있으므로 강체의 침투깊이를 이용하여 두 사면체의 최종 접촉상태를 미리 구함으로써 성능을 향상하는 방법을 제안하였다. 제안하는 방법을 실험한 결과 고정사면체/변형사면체, 변형사면체/변형사면체 두 경우 변형체 침투깊이를 수십 밀리 초안에 계산할 수 있다는 것을 보였으며, 변형사면체/변형사면체를 강체침투깊이로 전처리한 경우에 5% 이하의 오차로 약 1 밀리초에 계산이 가능함을 보였다. 또한 변형체 침투깊이가 기존 강체 침투깊이에 비해 평균적으로 약 세 배 작은 값을 제공한다는 것을 확인하였다.