비례 추론 능력 신장을 위한 단위화 수업 개발 및 적용

Abstract

Since we live in numerous situations regarding proportions, the ability of understating proportional situations and reasoning proportion is a prerequisite essential for all. Also, proportional reasoning is the fruit of elementary education arithmetic while serving as basic course for the following curriculum. Thus, it needs to be dealt with in a serious way. However, educators and students both find ratio and proportion difficult to teach and learn. The first reasons is because the concept of proportion is abstract and complex to understand. Second, education of proportion is done without the consideration of gradualness of how concept of proportion is developed in brain. Third, limited task types and perfunctory guidance emphasis simple memorizing and applying of algorithm without comprehension of concept and principles of proportional reasoning. For the above-mentioned causes, students have instrumental understanding of the concept of ratio and proportion. They weren’t able to relate ratio and proportion in a relevant way. In addition, though calculation ability was improved, comprehending proportional situation and making own proportional equation out of mathematical problems weren’t improved. Numerous studies have pointed out the need for gradual progress in proportional reasoning by giving students opportunities to learn abstract proportional strategies as well as how to use their own strategies which will allow them to analyze relations of quantity. Thus, this study took unitizing the low-ranked proportional reasoning skill suggested by Lamon(1999) to provide abundant reasoning experiences prior to learning perfunctory algorithm. The research questions set for the purpose of this study are as follows. First, what proportional reasoning strategies students use in unitizing classes? Second, does unitizing classes show improvement in levels of students’ proportional reasoning strategies and flexibility of proportion reasoning? In order to carry out this study, 20 students from 6th grade students in D elementary located at Junggu were selected for the study. Worksheet completed in unitizing classes, Lamon’ task, specific responses on post-tests were analyzed to research students’ proportional reasoning strategies and flexibility of thinking. The results of this study are summarized as follows. Regarding the first question for the study by analyzing Worksheet and Lamon’s task, Unitizing is lower level of strategy than a proportion expression strategy but unitizing didn’t make students’ proportional reasoning strategies gone away. In second class and 6th class, students were given same third type of Lamon task. In second class, rates of using quantitative strategies and formal strategies were almost same. On the other hand, in 6th class formal strategies were more used than quantitative strategies. Also, structure of question was so simple or complex, the variety of students’proportional reasoning strategies was reduced. Regarding the Second question for the study by analyzing specific responses on post-tests , it had meaningful results regarding the levels of students’ proportional reasoning strategies and flexibility of thinking. First, the levels of students’ proportional reasoning strategies were higher than the results of advance research. In comparison task, many students use quantitative strategies same with advance research. However in unknown value task the rates of using formal strategies was higher than using quantitative strategies. It differs from the advance research in which quantitative strategies were more used than formal strategies. Second, flexibility of proportion reasoning has meaningful results in aspect of solving problems not understanding problems. Because the problems in post-tests were simple and there were no disrupting concepts, students were not difficult to understand problems so students did not need flexibility of proportion reasoning in aspects of understanding problems. However, in aspects of solving problems there were meaningful results. Anyone did not use only one strategy to solve proportional tasks. More than 88.9% of students use more than 3 strategies to solve the problems. Even there was quite a few students use 5 strategies. Especially, Students who got good scores on post-tests did not use only formal strategies but many strategies in other levels of strategies. The importance of the study is that it shows possibility of applying unitizing in teaching ratio and proportion and it reveals the relation between unitizing and flexibility of thinking. However, there is a limit to generalizing the results because the research subjects are few, the study period is short, and the area covered in the class is limited to a part of the ratio and proportion area. Therefore, in order to verify the effect of this study, it is necessary to study the inferential level of other mathematics areas and to conduct studies on several grades.;우리는 많은 비례적 상황 속에서 살아가기 때문에 비례적 상황을 이해하고 이를 추론해내는 능력은 필수불가결의 능력이다. 또한 비례 추론은 초등학교 산술의 결정이고 뒤따르는 모든 과정의 기본이기 때문에 상위 수학 학습 성공에 있어서 필수적인 요인이기 때문에 중요하게 다루어질 필요가 있다. 하지만 교사와 학생 모두 비례 추론과 관련하여 비와 비례를 지도하고 학습하는 것을 매우 어려워한다. 그 이유로 첫째, 비례 개념 자체가 추상적이고 복잡하여 이해하는 데 어려우며 둘째, 비례 개념 발달의 점진성을 고려하지 않고 지도하기 때문이며 셋째, 제한된 과제 유형과 형식적인 지도 방식으로 비례 추론에 대한 개념과 원리에 대한 이해 없이 알고리즘을 외우고 적용하는 것만을 강조하기 때문이다. 위와 같은 원인으로 학생들은 비와 비례의 개념에 대해 절차적으로 또는 도구적으로 이해하고 있었을 뿐 이들 사이의 관계를 의미 있게 연결 지어 이해하고 있지 않은 모습을 보였다. 또한 비례식 계산력은 향상되었으나 비례 상황 인식 능력이나 문제로부터 스스로 비례식을 만드는 능력 등 수학적 사고는 향상되지 못하는 문제점을 나타내었다. 따라서 많은 연구들에서 비형식적 추론 전략을 포함한 다양한 비례 추론 전략을 사용하는 경험을 통해 양 사이의 관계를 분석하고 고민하는 기회를 제공하여 학생들의 비례 추론 능력이 점진적이고 연속적으로 발달될 수 있도록 학습이 이루어져야 함을 지적하였다. 따라서 본 연구는 비례식과 비례 배분에 관한 형식적 알고리즘을 학습하기에 앞서 풍부한 비형식적 추론의 경험을 제공하기 위해 Lamon(1999)에서 제시한 비례 추론 능력의 하위 영역 중 ‘단위화’전략으로 비례식과 비례 배분의 개념을 접근하고 문제를 해결하는 수업을 하고자 하였다. 본 연구의 목적을 위해 설정한 연구문제는 다음과 같다. 첫째, 단위화 수업에서 나타난 학생들의 비례 추론 전략의 양상과 비례 추론 발달 수준은 어떠한가? 둘째, 단위화 수업은 수학적 사고의 유연성을 향상시키는가? 본 연구를 실시하기 위해 서울시 중구에 위치한 D초등학교 6학년 1개 반 학생 20명을 연구 대상으로 선정하여 연구를 진행하였다. 단위화 수업에서 작성한 단위화 활동지와 Lamon 과제, 단위화 수업이 이루어진 후 작성한 비례 추론 발달 수준 검사지에 나타난 구체적인 반응 사례를 통해 단위화 수업에서 나타난 학생들의 비례 추론 전략의 양상과 그 수준, 수학적 사고의 유연성을 분석하였다. 본 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다. 첫 번째 연구문제와 관련하여 우선 단위화 수업 과정 중에 나타난 비례 추론 전략의 양상과 비례 추론 발달 수준을 살펴보기 위해 Lamon 과제와 단위화 활동지를 분석하였으며 결과는 다음과 같다. 2차시와 6차시에서 동일한 Lamon 유형 3 과제가 주어졌지만 2차시에서 양적 추론 수준의 전략인 단위화 전략과 형식적 추론 수준의 비례식 전략의 사용의 비율이 비슷하게 나타났다. 반면, 6차시에서는 물론 단위비율 전략, 인수 전략과 같이 양적 추론 수준의 전략이 나타났지만 학생들의 비례식 전략의 활용 비율이 높아짐을 볼 수 있다. 교과서에 제시된 비례식 전략은 형식적 추론 수준의 전략이지만 단위화 전략은 양적 추론 수준의 전략이기 때문에 오히려 단위화 접근의 수업이 비례 추론 전략의 수준에 퇴화를 가져오는 것은 아닌지 우려했던 바와 다르게 학생들의 비례 추론 전략의 수준은 높아지는 모습을 볼 수 있었다. 또 하나의 주목할 점은 문제 구조가 학생들에게 매우 친숙한 구조이거나 매우 친숙하지 않은 구조이면 문제 해결 전략의 양상이 다양하게 나타나기 힘들다는 것이다. 6차시에 제시되었던 Lamon 유형 2 과제는 매우 친숙하지 않은 구조를 가지고 있었으며, Lamon 유형 4 과제는 매우 친숙한 구조를 가지고 있어 두 과제 모두 모든 학생들이 동일한 전략으로 문제를 해결하고 있는 것을 볼 수 있다. 이를 통해 학생들의 다양한 문제 해결 전략을 유도하기 위해서는 문제 구조가 학생들이 쉽게 접할 수 있는 친숙한 구조가 되어서도 안 되며, 처음 접하는 낯선 형태가 되어서도 안 된다는 것을 알 수 있다. 한편, 단위화 수업 후에 나타난 비례 추론 전략의 양상과 비례 추론 발달 수준은 수업 후에 실시된 비례 추론 발달 수준 검사지를 분석하였으며 결과는 다음과 같다. 단위화 수업 후 본 연구 대상인 학생들의 비례 추론 전략의 양상과 그 수준은 선행연구 정유경, 정영옥(2015)보다 높게 나타났다. 선행연구 정유경, 정영옥(2015)에서 비교 과제와 미지값 과제에서 모두 양적 추론 전략의 사용 비율이 높았던 것과 다르게 본 연구 대상의 학생들은 비교 과제의 경우에는 동일하게 양적 추론 수준 전략을 주로 사용하였지만 미지값 과제에서는 형식적 추론 수준 전략을 많이 사용한 것을 볼 수 있었다. 두 번째 연구문제와 관련하여 비례 추론 발달 수준 검사지를 분석한 결과, 문제 이해 단계에서의 유연성은 유의미한 변화를 찾아볼 수 없었다. 비례 추론 오류가 단위화 수업 과정 속에서도, 단위화 수업 후 이루어진 비례 추론 발달 수준 검사지에도 등장한 것으로 보아 단위화 수업이 비례 추론 오류를 극복하는 데 충분한 도움이 되지 못한 것으로 보인다. 반면, 문제 풀이 과정 단계에서의 유연성은 유의미한 결과가 나타났다. 비례 추론 과제를 해결할 때 하나의 전략만을 사용한 학생은 없었으며, 88.9%이상의 학생들이 3개 이상의 전략을 사용하였고 가장 많은 전략을 사용한 학생은 총 5개 전략을 사용하였다. 또 하나의 특징적인 점은 평가에서 높은 정답률을 가지는 학생들이 한 수준의 전략에만 치우쳐 문제를 해결하지 않고 즉, 형식적 추론 수준의 비례식 전략만을 사용하지 않고 다른 수준을 넘나들며 다양한 전략을 사용한다는 것이다. 이는 형식적 추론 수준의 전략 즉, 비례식 전략으로 문제를 충분히 해결할 수 있으나 단위화 수업 과정에서 다양한 전략으로 문제를 접근했던 경험의 영향으로 하나의 전략으로만 문제를 접근하기보다 자신이 알고 있는 전략 중 각 문제 상황에서 가장 편하고 효율적인 전략을 선택한 것으로 볼 수 있다. 아울러 본 연구의 의의로는 규칙성 영역에서 단위화 수업의 적용 가능성을 확인한 것과 단위화 수업과 수학적 사고의 유연성의 관계를 밝혀냈다는 것에 의의가 있다. 또한 국외에 비해 단위화에 대한 국내 연구가 많이 이루어지지 않았다는 점을 감안하였을 때, 본 연구는 국내의 단위화 연구 토대를 마련했다는 점에서 가장 큰 의의를 가진다. 그러나 본 연구는 연구 대상이 적으며 연구 기간이 짧았다는 점과 수업에서 다룬 영역이 비와 비례에 대한 전반적인 영역을 다루지 않았다는 점에서 그 결과를 일반화하기에 어렵다. 따라서 본 연구의 효과성을 검증하기 위해 다른 수학 영역에서의 단위화 수업 효과에 대한 연구와 여러 학년을 대상으로 한 연구가 진행될 필요가 있다.