Solving Nonconvex Quadratic Constrained Quadratic Problems with Hollow Matrices

Abstract

Finding the unconstrained global minimum of given quadratically constrained quadratic programs (QCQPs) is a crucial issue in many class of applications such as binary quadratic optimization problem, the max-cut problems and network problems. There have been a variety of tools and structures to find an optimal solution from various angles. Nevertheless, no one has presented general algorithms to solve the NP-hard problem in polynomial time because of its complexity. Accordingly, rather than finding the exact optimal values, general relaxation approaches have been proposed and their computational and theoretical effectiveness was demonstrated with numerical results by many researchers. Most notable relaxation methods are semi-definite programming (SDP), second order cone programming (SOCP), and linear programming (LP) relaxations. We propose a computational method to solve QCQPs for improved computational efficiency using matrix sparsity. In particular, we employ the particular relationship between SDP, SOCP and LP relaxations to apply the equivalence of the optimal values under a certain assumption used in solving the pooling problem by Kimizuka, Kim and Yamashita, 2018.;2차 제약 조건을 가진 2차 계획법(Quadratically Constrained Quadratic Program, QCQP)의 전역 최소치를 찾는 것은 이진 최적화 문제(Binary Quadratic Optimization Problems), 최대 절단 문제(Max-cut Problems) 및 네트워크 문제(Network Problems)의 응용에서 매우 중요한 부분을 차지한다. 지금까지 다양한 각도에서 2차 계획법에 대한 최적의 해를 찾을 수 있는 방법이 고안되어 왔지만, 위와 같은 NP-hard 문제는 복잡성이라는 성질 때문에 이를 다항 시간 안에 해결하기 위한 일반적인 알고리즘이 아직까지 제시되지 않았다. 따라서, 주어진 문제에 대한 정확한 해를 찾는 대신 이완법(Relaxation Method)이 제안되어왔고, 이는 많은 연구자들에 의해 이론적 효과가 증명되었다. 가장 주목할만한 이완 방법은 준정부호(Semidefinite Programming, SDP) 이완법, SOCP(Second Order Cone Programming, SOCP) 이완법 및 선형계획(Linear Programming, LP) 이완법이다. 이 논문에서는 QCQP를 풀기 위해 위의 세 가지 이완법에 대한 새로운 접근 방법을 제시하였고, 행렬의 희소성을 사용하여 계산 효율성을 향상시켰다. 특히, 우리는 Kimizuka, Kim, Yamashita이 2018년 연구한 SDP, SOCP 및 LP 이완법의 관계를 사용해 특정 가정 하에서 새롭게 제시된 SDP, SOCP 및 LP 이완법의 최적 값의 등가성을 확인했다.