Dependence Modeling in Collective Risk Models and its Application to Ratemaking in Non-life Insurance

Abstract

With the development of statistical techniques and the data-driven insurance environment in recent years, insurance practitioners are interested in the various modeling and quantitative methods of risk. Starting from Lundberg (1903), two types of independence assumptions are considered in a classical collective risk model: independence between the claim frequency and each individual severity, and independence among individual severities. However, recent actuarial literature started to question such independence assumptions and has moved toward modeling dependence structures in the classical collective risk model. This thesis is concerned with developing the collective risk model with dependence structure by relaxing a widely-used but controversial assumption of independence between claim frequency and severity. There are two major statistical tools—the random effect model and the copula model—available for dependence modeling. In main streams in statistics, several collective risk models based on these techniques have been proposed in insurance literature. Often in these models, the dependence of frequency and average severity, which is the average individual severity of the policyholder, is directly modeled using either a copula model or random effect model. In this thesis, we carefully review these dependence modeling methods, and we address possible issues and limitation of modeling the dependence structure of collective risk model using frequency and average severity. Alternatively, starting from modeling the dependence between frequency and individual severity, we propose new statistical models for the collective risk model with the dependence structure. We explore various properties of the proposed models and explain that these models are convenient in the prediction of premium. We first review the bivariate random effect model for the collective risk model. There are various forms of bivariate random effect models, mainly focusing on the dependence between frequency and average severity, available in recent actuarial literature. For statistical rigor of the model, we provide a bivariate random effect model based on modeling the dependence between frequency and individual severities. Traditional methods for the determination of the premium mainly focus on the prediction of frequency only, under the independence assumptions between frequency and severity and among severities. Another contribution of this thesis in the existing literature is that we show how to incorporate the dependence structure in the collective risk model in the determination of premium, especially focused on the premium adjustment mechanism used in auto insurance. As an example, we use the bivariate random effect model for the determination of premium under the bonus-malus system. Next, we revisit a bivariate copula method for frequency and average severity. After examining inherent difficulties in the bivariate copula model, we propose modeling the dependence of frequency and individual severities using multivariate Gaussian copula and t-copula functions. We explain that the proposed models have computational advantages and provide intuitive interpretation of the dependence structure. ;최근 통계 기술과 보험 데이터 수집 기술이 발달함에 따라, 위험을 다양한 수치적으로 분석방법과 모델링하는 방법이 보험 분야에서 관심을 받고 있다. Lundberg (1903)으로부터 시작된 전형적인 집단모형 (Collective risk model)은 청구 빈도와 심도간의 독립성을 가정하는 반면에, 최근 보험 연구에 서 다양한 종속관계를 반영하는 모형설정에 관한 움직임이 크게 나타나고 있다. 본 논문에서는 청구빈도와 심도 간 독립성 가정을 완화하여 종속성 구조를 반영하는 집단모형을 제안한다. 전통적으로 종속성 모델링에 가장 주된 두 가지 통계적 방법은 랜덤효과 모형과 코퓰라 (Copula) 모형이 있다. 보험 분야에서 이 두 가지 방법에 근거한 몇몇 집단모형이 제안되었다. 특히, 본 논문에서는 기존 종속성 모델링 방법들에 대한 연구들을 신중하게 검토하고, 이를 토대로 종속성 구조를 반영한 새로운 집단모형을 제안한다. 또한, 제안된 모형들을 이용하면 종속성을 반영하면서도 간단한 보험료 예측이 가능함을 설명한다. 먼저, 청구빈도와 심도를 이변량 코퓰라 모형으로 분석할 경우의 어려움에 대해 살펴본 후, 다변량 Gaussian 코퓰라와 t-코퓰라를 이용하여 청구빈도와 개별 심도 간 종속성을 반영한 집단모형을 제안한다. 제안된 코퓰라 모형은 통계적 추정이 쉽고 종속구조에 대한 직관적 해석이 용이한 장점을 가지고 있다. 그 다음으로, 최근 보험계리 연구에서 다양한 형태로 연구가 수행되고 있는 랜덤효과를 이용한 집단모형을 살펴보고, 이를 종합하여 일반화된 집단모형을 제안한다. 기존의 연구결과와 실제 보험업계에서는 청구빈도와 심도 간, 그리고 심도들간 독립성을 가정한 집단모형을 주로 사용하였고, 이에 따라 보험료의 산정에 있어서 주로 청구 빈도의 예측에만 관심을 두었다. 본 논문에서는 이러한 종속성을 가진 집단모형 하에서 적절한 보험료 산정방법에 대해 다루도록 한다. 특히, 할인할증제도 (Bonus-malus system) 하에서 보험료 산정을 위해 이변량 랜덤효과 모형이 어떻게 사용되는지를 중점적으로 살펴본다.