통계적 변이성 사고가 모평균 추정 이해에 미치는 영향

Abstract

IT의 발달로 우리는 주변 생활 모든 영역에서 수많은 통계자료를 접하며 살아간다. 지식사회를 현명하게 대처해 나가기 위해서는 자료에 근거한 주장을 적절히 평가하는 능력이 필요하며 모든 학생은 교육과정을 통해 이를 학습해야만 한다. 현재 고등학교 통계는 표본평균의 분포에 주목하여 표본으로부터 모집단의 특성을 추론하는 수준 높은 내용을 다루고 있다(이경화, 지은정, 2005). 그러나 짧은 시간 내에 기본개념에 대한 결론을 축약하여 서둘러 지도하며, 귀납적 성격이 강한 내용을 연역적으로 지도함으로써 학생들은 통계의 유용성을 인식하지 못하고 어려워한다(김응환, 이석훈, 2008). 특히 표본의 변이성은 통계학의 핵심개념이나 학교 수학에서는 경시되고 있으며(Shaughnessy, Ciancetta & Canada, 2004), 교과서에는 통계량을 계산하는 활동을 통해 통계량의 변이성을 인식하도록 할 뿐 추론에 있어 변이성이 어떤 의미를 갖는지 서술하고 있지 않았다(이영하, 신수영, 2011). 이와 같은 상황은 통계교육에 대한 재조명이 필요함을 시사한다. 따라서 본 연구에서는 고등학교 통계적 추정 단원을 중심으로 변이성 사고와의 관련성을 분석하여 추론 능력 함양을 위한 교육과정, 교수·학습 방법에 시사점을 제공하고자 하였다. 본 연구의 연구문제는 다음과 같다. 연구문제 1. 통계적 변이성 요소들에 대해 연구에 참여한 학생들의 사고 수준은 어떠한가? 연구문제 2. 고등학교 확률과 통계에서 배우는 모평균 추정에 대해 연구에 참여한 학생들의 이해 수준은 어떠한가? 연구문제 3. 통계적 변이성 사고는 고등학교 확률과 통계 모평균 추정 이해에 영 향을 미치는가? 3-1. 변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어는 표본의 이해와 표집분포 이해에 영향을 미치는가? 3-2. 변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어, 표본의 이해, 표집분포의 이해는 모평균 추정 학습에 영향을 미치는가? 본 연구에서는 연구문제 1을 해결하기 위해 변이성 사고 요소를 변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어, 표본의 이해, 표집분포의 이해로 구분하여 각 문제를 해결하는 과정에서 보이는 학생들의 사고 수준을 조사하였다. 이때 변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어는 측정상황과 우연상황을 제시하였다. 학생들의 답안분석을 위해 고은성(2012c)의 분석틀을 사용하였으며, 0~4수준의 위계를 갖는 수준으로 분류하였다. 연구문제 2를 해결하기 위해 모평균 추정에서 다루는 개념을 표집변이성, 표본의 분포와 표집분포의 구분(와 의 구분, 와 의 구분), 중심극한정리, 모평균 추정의 연결, 신뢰구간과 신뢰도의 의미 이해로 구분하였다. 일차적으로 학생들 답안의 유형을 분류하고, 이해 수준의 위계를 구분하기 위해 [그림 Ⅲ-2]의 모평균 추정 개념도를 분석틀로 사용하여 0부터 최대 3수준의 위계를 갖는 수준으로 범주화하였다. 연구문제 3-1과 연구문제 3-2를 해결하기 위해 SPSS 다중회귀분석을 시행하여 각 변인 간의 관계를 분석하였다. 연구문제 1에 대한 결과는 다음과 같다. 변이성의 인식에 대한 사고 수준 분석결과, 학생들 대부분은 2수준과 3수준에 속하는 것으로 나타났는데, 이때 우연상황보다 측정상황에서 더 높은 사고를 보였다. 3수준과 4수준에 속하는 20명(39.2%)의 학생들은 측정상황에서의 경험을 우연상황으로 전이시켰지만, 이들 중 대푯값을 중심으로 분포되어 있을 것이라 예측한(4수준) 학생은 5명(9.8%)으로 매우 적었다. 변이성의 설명에 대한 사고 수준 분석결과, 학생들 대부분이 2수준과 3수준에 속하는 것으로 나타났는데, 변이성의 인식 사고와는 다르게 측정상황보다 우연상황에서 더 높은 사고를 보였다. 이는 측정상황보다 우연상황에서 변이성의 원인을 설명한다는 것에 대한 인식이 수월하다는 것을 시사한다(고은성 이경화, 2011b). 변이성의 제어에 대한 사고 수준 분석결과, 측정상황과 우연상황에서 사고 수준의 차이가 크게 나타났다. 측정상황에서 많은 학생이 물리적 제어 방법과 통계적 방법을 모두 적절히 적용한 4수준에 속한 것으로 나타난 반면, 우연상황에서 많은 학생은 물리적 제어 방법을 고려하지 못하고 통계적 방법 또한 부적절하게 적용하여 1수준에 속하는 것으로 나타났다. 즉, 학생들은 우연상황에서 변이성을 제어한다는 것에 대한 이해가 낮은 것으로 나타났다. 표본의 이해에 대한 사고 수준 분석결과, 가장 많은 학생은 편의 없는 표본의 중요성을 인식하는 3수준에 속하는 것으로 나타났다. 비슷하게 15명(29.4%)의 학생들은 표본을 모집단의 부분집합으로 인식하는 1수준에 속하는 것으로 나타났다. 표집분포의 이해에 대한 사고 수준 분석결과, 가장 많은 학생이 표집변이성은 인정하지만, 표집변이성의 이해를 분포의 개념으로 연결하지 못하여 1수준에 속하는 것으로 나타났다. 모평균 추정의 학습이 끝난 시점에서도 학생들은 여전히 표집분포 개념을 어려워하고 있었다. 연구문제 2에 대한 결과는 다음과 같다. 표본평균의 변이성을 인식하는지 묻는 문제13(1)에서 22명(43.1%)의 학생들은 표본평균을 상수로 생각하거나 모르겠다고 답하였다. 표본의 분포와 표본평균의 분포를 구분하는지 묻는 문제13(2), 13(3)에서는 모평균, 표본평균, 표본평균의 평균과 모표준편차, 표본표준편차, 표본평균의 표준편차를 구분하지 못하고 다양한 오개념을 보였다. 중심극한정리를 묻는 문제13(4)에서는 많은 학생들이 도구적 이해를 하고 있음을 확인하였고, 이는 표본평균의 분포와 모평균추정을 연결하는 과정에 어려움의 원인이 되고 있었다. 신뢰도와 신뢰구간의 이해 역시 표본평균의 분포로부터 신뢰구간을 추출한다는 것을 이해하지 못하여 신뢰구간의 의미자체를 이해하지 못하거나 신뢰도의 빈도적 의미를 이해하는데 어려움을 겪고 있었다. 연구문제 3-1에 대한 결과는 다음과 같다. 세 개의 독립변수(변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어)는 표본의 이해를 유의하게 설명하고 있었다. 그러나 네 개의 독립변수(변이성의 인식, 변이성의 설명, 변이성의 제어, 표본의 이해)로 표집분포의 이해를 측정하는 모형의 통계적 유의성 검정결과 모든 변수가 제거되어 유의한 결과가 나오지 않았다. 상관관계 분석 결과, 표집분포의 이해는 독립변수들과 낮은 상관관계를 보이고 있었는데, 표집분포를 이해하기 위해선 표집변이성에 대한 이해를 분포개념으로 확장시켜야 하기 때문이다. 연구문제 3-2에 대한 결과는 다음과 같다. 모평균 추정의 이해에서 가장 핵심적인 것은 중심극한정리이다(이영하, 이은호, 2010). 그러나, 다중회귀분석 결과 표집변이성은 모평균 추정 연결, 신뢰구간 의미 이해, 신뢰도 의미 이해의 이해에 영향을 미치는 독립변수 중 공통적으로 채택되었으나, 중심극한정리는 모평균 추정 연결, 신뢰구간의 의미 이해, 신뢰도 의미 이해에 영향을 미치는 독립변수로 채택되지 못하였다. 즉 표집변이성의 이해만이 모평균 추정 연결, 신뢰구간의 의미 이해, 신뢰도의 의미 이해를 설명하는 변수로 채택되었다. 중심극한정리는 모평균 추정의 핵심개념이지만, 학생들은 중심극한정리와 신뢰구간, 신뢰도의 의미 사이의 관계를 이해하지 못한 결과로 해석할 수 있다. 위의 결과들을 바탕으로 결과를 정리하면 다음과 같다. 첫째, 연구에 참여한 대부분의 학생들은 표본의 분포와 표본평균의 분포의 차이를 명확히 인식하지 못하고 있었다. 둘째, 연구에 참여한 많은 학생들은 표집분포에 대한 이해가 도구적 이해 수준에 머물러 있었는데 이는 모평균 추정 학습에서 어려움을 겪는 가장 큰 원인으로 작용하고 있었다. 셋째, 연구에 참여한 많은 학생들은 통계적 추론 과정에서 자료에 근거한 추론이 무엇인지 이해하지 못하여 모평균을 추정할 때 연역적 방법을 사용하였다. 본 연구의 시사점과 제언은 다음과 같다. 첫째, 통계적 추정 학습에 있어 표집변이성이 어떤 의미를 갖는지 탐색할 수 있는 과제를 개발할 필요가 있다. 둘째, 모집단의 분포를 다양하게 제시하여 표본평균의 분포는 모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 항상 일정한 분포를 따른다는 사실을 인식하게 할 필요가 있다. 셋째, 표집분포를 학습할 때 공학적 도구를 활용하여 표집분포를 경험하도록 하고 이론적 표현과 연결 지어 지도할 필요가 있다. 넷째, 통계교육은 학생들이 이해하기 쉬운 측정변이성부터 이해하기 어려워하는 우연변이성까지 차례로 경험할 수 있도록 교육과정상의 연구가 필요하다. ;With the development of Information Technology (IT), we live on numerous statistics in all aspects of our daily live. In order to cope with the knowledge of society wisely, one needs the ability to properly evaluate data-based arguments and is important to learn from the School curriculum. High school statistics now only covers high level of content that deduces the characteristics of the population from the sample by paying attention to the sampling distribution (Lee Kyung-wha, Ji Eun-jeong, 2005). However, by condensing the knowledge required based on basic concepts in a short time, and guiding students in a deductive manner, students often finds this to be difficult to understand and therefore fails to recognize the usefulness of statics(Kim Eung-hwan, Lee Seok-hoon, 2008). In particular, the variability of the sample is neglected in the core concepts of statistics or in school mathematics (Shaughnessy, Ciancetta & Canada, 2004), and the textbook does not describe the meaning of variability in great detail, as well as requiring the noticing of variability in statistics through the activities of calculating statistics (Lee Young-ha, Shin Soo-young, 2011). This situation suggests that re-examination of statistical education is necessary. Therefore, the purpose of this study is to analyze the relevance of variability thinking to the statistical estimate and provide implications for the curriculum, teaching, and learning methods for the development of statistical inferences. The research questions of this study are as follows. Research Question 1. What is the level of thinking related to statistical among students who participated in the study? Research Question 2. What is the level of understanding of population mean estimation among students who participated in the study? Research Question 3. Do statistical variability thinking have an effect on the understanding of population mean estimation? 3-1. Does the noticing of variability, explanation of variability, and control of variability affect the understanding of samples and the understanding of sampling distribution? 3-2. Does the noticing of variability, explanation of variability, control of variability, understanding of samples and sampling distribution affect the understanding of population mean estimate learning? In this study, the level of students' thinking seen in the course of solving each problem was investigated by dividing the thinking related variability elements into 5 aspects to solve research question 1: Noticing of variability, explanation of variability, control of variability, understanding of samples and sampling distribution. At this time, noticing of variability, explanation of variability, control of variability were presented with measurement setting and chance setting. Ko Eun-sung (2012c)' analysis framework was used for the students' answer analysis and was classified to a level with a hierarchy of 0 to 4. To solve research question 2, the concepts covered by the population mean estimation were divided into sampling variability, the distinction between distribution of samples and sampling distribution, the central limit theorem, the association of the population mean estimation, and the understanding of the meaning of confidence intervals and confidence. In order to categorize the types of student answers, and to distinguish hierarchy of understanding levels, the population mean estimation conceptual diagram in [Figure III-2] was used as an analytical framework to categorize them into a level with a hierarchy of up to three levels. To solve research question 3-1 and research question 3-2 the relation between each variables were analyzed by conducting a multiple regression analysis using SPSS. The results for research question 1 are as follows. The analysis of the level of thinking on noticing of variability shows that most students belong to the second and third levels, when they are more likely to have an measurement than in the chance setting. Twenty students (39.2 percent) who belong to the third and fourth levels transferred their experience from the measurement setting to a chance setting, but only five students predicted distribution of data. Analyzing the level of thinking about explanation of variability, most of the students were found to be in the second and third levels, but unlike the noticing of variability, they were more likely to have chance settings than in the measurement setting. This means that it is easier to recognize the cause of variability is explained in chance settings than in measurement settings (Ko Eun-sung Lee Kyung-wha, 2011b). Analysis of thinking level on control of variability showed a large difference in thinking level in measurement setting and chance setting. While the measurement setting indicated that many students belonged to four levels that were appropriately applied both physical and statistical methods. In chance settings many students were unable to take into account physical control methods and statistical methods were also found to be inappropriately applied to the first level. In other words, students have a low understanding of controlling variability in chance settings. An analysis of the level of thinking on the understanding of the samples showed that the largest number of students belonged to the three levels that recognized the importance of the unbiased sampling. Similarly, 15 (29.4%) students were found to be among the first level to recognize the samples as a subset of the population. An analysis of the level of thinking on the understanding of the sampling distribution showed that the largest number of students admitted the variability of the samples, but failed to link the relevance of the sampling variability to the concept of distribution, and therefore belonged to the level one. Even at the end of the study of the population mean estimates, students were still facing it difficulties to understand the concept of sampling distribution. of sampling variability, 22 (43.1%) students said they thought of the mean of samples as a constant or were unable to give an answer. In problem 13(2) and 13(3), students were asked to distinguish distribution of samples and sampling distribution, they showed a variety of misconceptions. Problem 13(4) focused on the central limit theorem, this-confirmed that many students had an instrumental understanding, which was causing difficulties in connecting the sampling distribution with the population mean estimate. Understanding confidence and confidence intervals also did not understand that they would extract confidence intervals from the sampling distribution, so it was difficult to understand the semantics of confidence intervals or to understand the frequency of confidence. The results for research question 3-1 are as follows: Three independent variables (noticing of variability, explanation of variability, and control of variability) were significantly describing the understanding of the samples. However, the statistical significance test of the model that measures the understanding of the sampling distribution with four independent variables (noticing of variability, explanation of variability, control of variability, understanding of samples) eliminated all variables and produced no significant results. As a result of the correlation analysis, the understanding of the sampling distribution showed a low correlation with the independent variables, since understanding the samples distribution required an understanding of the sampling variability to be extended to the concept of distribution. The results for research question 3-2 are as follows. The most important factor for the understanding of the population mean estimates is the central limit theorem (Lee Young-ha, Lee Eun-ho, 2010). However, according to the multiple regression analysis, sampling variability was commonly adopted among the independent variables that affected the connection of the population mean estimate, understanding the meaning of the confidence interval, and understanding of the confidence meaning, but the central limit theorem was not adopted as an independent variable that affected the understanding of the meaning of the population mean estimate, the understanding of the confidence interval, and the meaning of the confidence. In other words, only an understanding of sampling variability has been adopted as a variable that explains the association of aggregated means, the understanding of meaning of confidence intervals, and the understanding of meaning of reliability. The central limit theorem is a key concept of the population mean estimation, but students can interpret it as a result of their failure to understand the relationship between central limit theorem and the meaning of confidence intervals and confidence. Based on the above results, we were able to conclude that: First, many students who participated in the study did not clearly recognize the difference between the distribution of the sample and the sampling distribution. Second, many of the students who participated in the study had their understanding of sampling distribution at a level of instrumental understanding, which was the biggest reason for the difficulties in the population mean estimation learning. Third, many students who participated in the study did not understand what data-based reasoning was in the statistical inference process, so they used deductive methods in estimating the population mean. The implications and suggestions are as follows. First, it is necessary to develop a task to explore what sampling variability means in statistical estimation learning. Second, it is necessary to present a variety of population distributions so that the sampling distribution is always consistent with a given distribution, even if the distribution of the population is not normal. Third, when learning the sampling distribution, it is necessary to use engineering tools to experience the sampling distribution and to map it in conjunction with theoretical expressions. Fourth, statistical education needs to be integrated in the curriculum so that students can learn in greater detail, from easy-to-understand measurement variability to chance variability that is difficult to understand.