고등학교 학생들의 공변 추론 수준에 대한 연구

Abstract

본 연구의 목적은 공학적 도구로 구현된 역동적 현상에서 고등학교 학생들의 공변 추론 수준을 알아보고, 각 공변 추론 수준에 따른 사고 과정의 특징을 알아보고자 하였다. 이를 위해 다음과 같은 연구 문제를 설정하였다. 1. 공학적 도구로 구현된 역동적 현상을 보고, 하나의 값은 일정하게 변하고 다른 하나의 값은 임의로 변하는 상황에서 두 변수에 대한 고등학교 학생들의 공변 추론 수준은 어떠한가? 1-1. 학년에 따라 연구문제 1에 대한 공변 추론의 수준은 차이가 있는가? 2. 공학적 도구로 구현된 역동적 현상을 보고, 서로 관련이 있는 두 가지의 양이 임의로 변하는 상황에서 두 변수에 대한 고등학교 학생들의 공변 추론 수준은 어떠한가? 2-1. 학년에 따라 연구문제 2에 대한 공변 추론의 수준은 차이가 있는가? 본 연구에서는 고등학교 1학년과 3학년 학생들의 공변 추론 수준을 알아보고, 추론 과정의 특징을 분석하기 위해 문헌 연구를 통하여 공변 추론 수준 측정을 위한 검사를 개발하였다. 먼저, 연구문제 1을 위해서 Thompson et al.(2017)의 문제 상황을 우리나라 고등학교 학생들의 수준에 맞게 변형하였다. 값이 일정한 속도로 변하고, 값은 임의로 변하는 상황을 연출하기 위해 값은 축에서 일정하게 변하지만, 값은 축 위에서 일정하지 않게 변하도록 만들었다. 그리고 연구문제 2를 위해서 Thompson & Ashbrook(2016)의 ‘호머의 거리’예시를 우리나라 고등학교 학생들의 정서에 맞게 직접 변형하였다. 값과 값은 서로 관련이 있고 동시에 변한다. 연구문제 1과는 다르게 좌표평면이 아닌 대상이 일정한 속도로 움직이는 상황을 가정하였으며, 그 상황 속에서 발견할 수 있는 변하는 두 양 사이의 관계를 파악하는 공변 추론 문제를 개발하였다. 애니메이션을 제작한 후에는 경기도 소재의 G 고등학교 1학년 50명과 3학년 학생 30명을 대상으로 실험을 실시하였다. 애니메이션을 보며 학생들은 역동적 현상을 그래프로 표현하였다. 수합된 80명의 검사지를 분석하여 고등학교 1학년과 3학년 학생들의 그래프의 유형을 살펴보고, 그래프를 채점하기 위한 채점 기준을 그래프의 시작점의 위치(A수준)와 그래프의 모양(B수준)에 따른 수준으로 나누어 채점하였다. 채점 후에 각 수준에 해당하는 학생 8명을 선정하여 인터뷰를 실시하였다. 본 연구결과로부터 다음과 같은 결론을 얻을 수 있었다. 첫째, 80명의 학생들이 그린 그래프를 두 기준을 이용하여 채점한 결과 과제 1에서 그래프의 시작점을 정확히 표시한 학생은 53.8%이고, 그래프의 모양을 정확히 그린 학생은 61.3%였다. 과제2에서 그래프의 시작점을 정확히 표시한 학생은 50.0%였고, 그래프의 모양을 정확히 그린 학생은 17.5%였다. 한편, 과제 1과 과제 2의 A수준에 대해서는 학년 간 유의한 차이가 없었지만, B수준에 대해서는 학년 간 유의한 차이를 보였다. 또한, A수준과 B수준에 대해서는 다소 높은 양의 상관관계가 있었다. 둘째, 각 수준에 해당하는 학생들이 그래프를 그리는 과정에서 어떤 사고과정을 거쳤는지 알아보기 위해 인터뷰 분석을 실시한 결과, 같은 모양의 그래프를 그렸어도 다른 공변 추론 수준을 보였다. ‘값의 전체적인 대응’ 수준에 해당하는 학생들은 변하는 두 양에 대하여 개별적인 대상이 아닌 전체적인 이미지로 인식했다. ‘값의 대응’ 수준에 해당하는 학생들은 특정한 값에만 주목하여 좌표평면에 점으로 표시하였다. ‘덩어리 연속 공변’ 수준에 해당하는 학생들은 구간을 나누고 끝 점을 표시하여 그 사이에 있는 값들은 자연스럽게 따라오는 값으로 여겨 단순히 연결했다. ‘부드러운 연속 공변’수준에 해당하는 학생들은 각 변화에 대해 곱셈적 대상으로 생각했으며 두 변화를 연속적으로 인식했다. 위와 같은 결론을 종합하여 현재 학교의 수학 교수・학습 과정에 시사점을 줄 수 있다. 첫째. 학생들이 그래프를 학습할 때, 공학적 도구를 활용하여 역동적 현상을 구현하고 공변 추론의 경험을 다양하게 제공해야 한다. 둘째, 실생활에서 볼 수 있는 불규칙적인 다양한 상황을 학생들에게 제공하여 공변 추론 능력을 길러줄 수 있다. 셋째, 공변 추론 수준이 낮은 학생들에 대하여 관련 있는 두 값이 동시에 변할 때 전체적인 이미지보다는 변수 사이의 관계를 파악할 수 있도록 하는 활동을 제공할 필요가 있다. 넷째, 같은 모양의 그래프를 그렸어도 다른 공변 추론 수준을 보일 수 있기 때문에 학생들의 사고 과정을 면밀히 파악할 필요가 있다.;The purpose of this study is to find out the level of covariational reasoning among high school students in a dynamic phenomenon implemented with technological tools and to analyze the characteristics of the thinking process according to each covariational reasoning level. To this end, the following research problems were established: 1. Looking at the dynamic phenomenon implemented by technological tools, what is the level of covariational reasoning among high school students on two variables when one value is constant and the other value is randomly changed? 1-1. Is there a difference in the level of covariational reasoning on research issue 1 by grade? 2. Based on the dynamic phenomenon implemented by technological tools, what is the level of covariational reasoning among high school students on both variables when the two quantities involved are randomly changed? 2-1. Is there a difference in the level of covariational reasoning on research issue 2 by grade? In this study, a test was developed for measuring covariational reasoning levels through literature studies to analyze covariational reasoning levels. First, for research problem 1, the problem situation of Thompson et al. (2017) was adapted to the level of Korean high school students. And for research problem 2, the Thompson & Ashbrook (2016) ‘Homer's distances ' example was adapted to the sentiments of high school students in Korea. Unlike research Problem 1, we developed a covariational reasoning problem that identifies the relationship between the two changing quantities found in the context. After the animation was produced, the researcher distributed the questionnaire to 80 students at G High School in Gyeongi Province. Watching the animation, the students graphed the dynamic phenomenon. We analyzed 80 papers of the students in the 10th grades and 12th grades and divided the criteria for grading the graphs into levels according to the placement of initial point(A level) and shape of students’ sketched graphs(B level). After grading, eight students at each level were selected for interviews. From this study, the following conclusions can be obtained: First, 80 students rated the graph by two criteria, with 53.8% showing the exact placement of initial point in task 1 and 61.3% drawing the exact shape of the graph. In task 2, the exact placement of initial point was 50.0% and the exact shape of the graph was 17.5%. On the other hand, there were no significant differences over level A between 10th grade and 12th grade students, but there were significant differences over level B. There was also a rather high amount of correlation between levels A and B. Second, the interview analysis showed different covariational reasoning levels, even though the same shape of the graph was drawn. Students at the level of ‘Gross coordination of values’ were perceived as an overall image, not as an individual subject for the two changing quantities. Students at the level of ‘Coordination of Values’ were marked with points on the coordinate plane, paying attention to only certain values. Students at the level of ‘Chunky Continuous Covariation’ simply connected by dividing the section and marking the end points, taking the values between them as natural values. Students at the level of ‘Smooth Continuous Covariation’ considered each change multiplication for a series of changes and were aware of the two changes continuously. The above conclusions can be combined to give implications to the current school's math teaching and learning processes. First, when students learn graphs, they should use technological tools to implement dynamic phenomena and provide a variety of experience in covariational reasoning. Second, by providing students with a variety of irregular situations that they see in real life, they can develop their ability to make covariational reasoning. Third, for students with low covariational reasoning levels, it is necessary to provide an activity to identify the relationship between variables rather than the overall image when the two relevant values change at the same time. Fourth, we need to get a closer look at students' thinking processes because they can show different levels of covariational reasoning even if they draw the same graph.