A Study on the Shapes of the Failure Rates of the Mixture of Discrete Distributions

Abstract

Modeling failure rates plays an important role in studying the lifetime distribution of systems and their components in various fields such as engineering and biology. In particular, understanding the shape of the failure rate is crucial in the study of related fields, because we can understand the ageing property intuitively. The concept of a mixture distribution has been developed to represent the heterogeneous lifetime distribution where different subgroups are mixed together. Previous studies mostly covered the continuous mixture lifetime distribution, but the discrete mixture lifetime distribution was not studied as much. However, the study of discrete mixture lifetime distribution is also very important because a system or component is often checked at discrete intervals. In this paper, we first defined a continuous failure rate function and used it to derive the discrete failure rate function. Then we applied the definition of the discrete failure function to various distributions such as binomial distribution, Poisson distribution, geometric distribution, and others. In order to identify the ageing properties of the heterogeneous lifetime distribution, we checked the different shapes of the discrete failure rate functions which were categorized as IFR(Increasing failure rate), CFR(Constant failure rate), and DFR(Decreasing failure rate). Also we used the multiplicative and additive frailty models to define the continuous mixture. This paper aims to define relatively unknown discrete failure rates and study their shapes to gain the knowledge of aging properties.;공학과 생물학 등의 여러 분야에서 failure rate를 모델링하는 것은 시스템과 그에 속한 부품들의 수명분포를 연구하는데 있어서 중요한 역할을 하고 있다. 특히 failure rate의 형태를 파악함으로써 ageing property에 대한 직관적으로 이해를 할 수 있으므로, failure rate의 형태를 파악하는 일은 관련분야 연구에서 매우 중요하다. 실생활에서 서로 다른 부차모집단이 혼합되어 있는 이질의 수명분포를 가지는 경우가 많기 때문에 이를 나타내기 위해서 혼합모형(mixture distribution)이라는 개념이 등장하였는데 지금까지의 연구에서는 연속적인 혼합 수명분포에 대한 경우가 많았으나, 상대적으로 이산적인 혼합 수명분포를 다루는 경우는 적었다. 하지만 시스템이나 부품들의 고장의 유무를 알기 위해서 이산적인 주기에 따라 확인하는 경우가 많으므로 이산 혼합 수명분포에 대한 연구 또한 매우 중요하다. 본 논문에서는 먼저 연속 failure rate를 정의하고 이를 이용해 이산 failure rate을 정의한 다음 이를 여러 이산분포에 대한 식으로 정리하였다. 그리고 이질의 수명분포를 모델링하여 ageing property를 파악하기 위해 먼저 discrete mixture를 정의하여 다양한 형태를 확인하였다. 또한 multiplicative과 additive frailty 모형을 사용하여 continuous mixture를 정의하였으며 IFR, CFR, DFR인 경우의 ageing property를 살펴보았다. 본 논문은 상대적으로 잘 알려지지 않은 이산 mixture failure rate을 정의하고 그 형태를 연구하여 ageing property에 대한 지식을 습득하는데 의의가 있다.