Griesmer codes using constacyclic codes over F_{p^m}[u, v]/〈u^2=v^2=0, uv=vu〉

Abstract

We find infinitely many Griesmer codes over F_{p^m} of length p^{3m+1} which are quasicyclic codes of index p^{3m}-1. We use constacyclic codes over a non-chain ring R_{p,m}=F_{p^m}[u,v]/〈u^2=v^2=0, uv=vu〉, where p is a prime number and m is a positive integer. We define a Gray map from R_{p,m}[x]/〈x^n-α〉 to F_{p^m}[x]/〈x^{p^{3m+1}n}-1〉 which preserves self-orthogonality and minimum weights. Taking the Gray image of constacyclic codes over R_{p,m} of length n, we obtain quasicyclic codes of index p^{3m}-1 over F_{p^m} of length p^{3m+1}n. Moreover, we find explicit generators of quasicyclic codes of index p^{3m}-1 over F_{p^m} of length p^{3m+1}n.;그리스머 경계에 닿는 최적의 코드로 알려진 그리스머 코드는 활발히 연구되어 왔고, 이는 특이한 기하구조를 가진 미니하이퍼와 연관되어 있다. 그리스머 경계는 리드-솔로몬 코드나 가비둘린 코드와 같이 부호론에서 중요한 코드들이 만족하는 싱글턴 경계의 일반적인 형태로 이를 만족하는 그리스머 코드는 의미 있는 코드다. 우리는 그 중에서도 유한 체 F_{p^m} 위에서 차원이 4인 그리스머 코드를 고려하였다. 다른 선행 연구자들에 의해 그리스머 코드의 존재성이 이론적으로 증명되어 있었고 constructing 방법이 몇 가지 제시되어 있었지만, 소수 p가 홀수인 경우에 그리스머 코드의 길이가 유한 체 표수의 지수 형태인 constructing 방법은 없었다. 이 논문에서는 [p^{3m+1}, 4, p^{3m+1}-p^{2m+1}]매개 변수를 갖는 그리스머 코드의 constructing 방법을 F_{p^m}[u, v]/〈u^2=v^2=0, uv=vu〉 위에서의 constacyclic 코드를 이용하여 제시하였다. 뿐만 아니라, constacyclic 코드를 준순환 코드로 보내며, 자가직교를 보존하는 그레이 함수를 정의하고 준순환 코드의 생성집합을 구한다.