고등학생들의 평균변화율 하위개념의 이해 방법에 따른 평균변화율 의미에 대한 연구

Abstract

우리의 주변은 변화하는 현상들로 가득하다. 변화율 관점에서 변화하는 현상을 바라보는 것은 그 변화에 대한 특징을 살펴볼 수 있는 하나의 방법이 된다. 변화율의 의미를 통해 미적분을 도입하고 지도하는 것은 자연스러운 일이나 많은 연구에서 미적분 단원에서의 학습이 변화율 관점에서의 학습이기보다 주로 계산적이며 대수적인 절차에 치중되어 있다고 지적하고 있다. 또한 미분이 그래프의 개형을 파악하기 위한 도구로서 주로 다루어지고 있을 뿐 변화율의 의미와는 다소 거리가 있게 지도되며 학습되고 있는 것으로 보인다. 변화율의 의미를 드러내어 미적분의 원리를 지도하는 방안의 고려가 필요한 시점에서 우선 학생들이 변화율 관련 개념으로 가장 먼저 접하게 되는 평균변화율에 대하여 어떠한 의미를 지니고 있는지 살펴보는 것은 중요하다. 그 의미들은 공식 계산 의미, 산술 평균 의미, 직선의 기울기로서의 기하학적 의미, 몫으로서의 양적 의미를 들 수 있다. 또한 평균변화율의 어떤 의미가 다양한 맥락에서 도움이 되고 변화율 측면을 드러내는 미적분 학습에 보다 더 유용한 도식이 될 수 있는지를 살펴보는 것은 추후 변화율 관점을 통한 미적분 지도 방안을 고안하는 데에 있어 중요한 시사점을 제공해줄 수 있다. 더불어 그러한 의미의 구성이 학생들이 이전에 학습한 나누기, 분수, 비율, 기울기와 같은 평균변화율의 하위개념들에 대한 이해의 방법과는 어떠한 연관성이 있는지를 보는 것은 수학적 연결성을 강조하는 평균변화율 지도방안을 제시하는 데 도움이 될 것이다. 이러한 연구의 필요성과 목적에 따라 본 연구에서는 다음과 같은 네 가지의 연구 문제를 설정하였다. 1. 고등학생들의 평균변화율 하위개념의 이해 방법은 어떠한가? 2. 고등학생들의 평균변화율에 대한 의미는 어떠한가? 3. 고등학생들의 평균변화율에 대한 의미와 하위개념의 이해 방법 사이의 연관성은 어떠한가? 4. 고등학생들을 대상으로 한 가설적 학습 경로에 따른 평균변화율의 몫으로서의 양적 의미 지도 결과는 어떠한가? 본 연구에서는 먼저 문헌연구를 통하여 수학에서의‘의미’가 무엇인지 살펴본다. 이후 평균변화율의 의미에 영향을 주는 하위개념을 나누기, 분수, 비율, 기울기로 설정한 후 각 개념의 선행연구들을 통해 이해의 방법을 구분하여 제시한다. 이후 위에 제시한 네 가지의 연구 문제를 해결하기 위하여 질적 사례 연구 방법을 이용하여 고등학교 2학년 3명의 학생들을 대상으로 평균변화율 하위개념에 대한 이해의 방법과 평균변화율의 의미를 검사지의 문항에 대한 응답과 개별 인터뷰를 바탕으로 분석한다. 이후 학생들의 평균변화율의 의미와 하위개념의 이해 방법 사이의 연관성이 있는지 살펴보고 이를 바탕으로 학생마다 가지는 평균변화율 개념의 과정-대상 짝들(process-object pairs)을 표현한다. 마지막으로 가설적 학습 경로(hypothetical learning trajectory)에 따른 평균변화율의 몫으로서의 양적 의미 지도 결과와 이를 통해 얻을 수 있는 시사점을 제시한다. 연구 결과 학생들은 나누기에 대하여 분할 모델(partitive model) 혹은 할당모델(quotative model)을 지니는 경우는 있었지만 상대적 크기 측정 모델(relative size meaning)은 지니지 않았다. 또한 일부 상황을 제외하고는 분수를 나눗셈의 몫으로 바라보지 못하였으며 상대적 크기 의미는 지니고 있지 않았다. 비율에 대해서는 각기 다르게 동일 그룹(identical groups) 모델, 한 단위당(per-one) 모델, 척도(measure) 모델을 지니고 있었으며 척도모델을 지닌 학생만이 비율의 가변적인 특징을 인식하고 있었음이 확인되었다. 기울기에 대해서는 비교 덩어리적(chunky) 의미를 갖거나 ‘가파름’과 같은 단어로 표현하였는데, 비율에 대하여 척도모델을 지닌 학생이 기울기의 의미에 대해서는 ‘가파름’과 같은 한 단어 묘사를 하였다는 점은 기울기를 이해하는데 비율에 근거한 추론을 하지 않는다는 선행연구의 결과와 일치하는 모습을 보였다. 또한 학생들 모두는 기울기를 구하는 과정에 나누기 연산이 쓰이는 이유에 대해 설명하지 못하였다. 학생들의 평균변화율의 의미를 살펴보자면 학생들은 직선의 기울기라는 기하학적 의미를 공통적으로 가지고 있었으며 공식 계산의미 혹은 산술 평균의 의미를 갖는 학생도 있었다. 하지만 공통적으로 몫으로서의 양적의미는 지니지 않은 점이 확인되었는데 이는 학생들이 나누기를 상대적 크기 측정을 위한 연산으로, 분수를 나눗셈의 몫으로 익숙하게 바라보지 않았던 점이 요인이 되는 것으로 보였다. 더불어 기울기를 비율에 근거하여 인식하기보다 단순히 비교 덩어리적(chunky) 의미를 갖거나 가파름의 지표로 인식하는 모습들은 기울기의 일반화된 개념인 평균변화율에 대해서도 x의 증분 Δx에 대한 y의 증분 Δy의 비율로 바라보지 않았던 점과 연결된다고 볼 수 있었다. 세 명의 학생 모두 기울기와 평균변화율이라는 대상에 대해 과정 없이 대상만을 인식하는 의사 구조적(pseudo-structural) 개념을 가지고 있었으며 가설적 학습 경로에 따른 몫으로서의 양적의미 지도 후 문항 해결을 통해 학생들은 미적분학의 기본정리 아이디어를 간접적으로 경험할 수 있었다. 본 연구는 평균변화율에 대하여 두 점을 잇는 직선의 기울기라는 기하학적 의미에만 한정하여 다루기보다 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈 몫이라는 양적인 의미를 함께 다루는 것이 추후 변화율의 의미를 드러내어 미적분의 원리를 지도할 때에 학생들에게 보다 유용한 도식이 될 것이라고 주장하는 바이다. 따라서 변화율 관점에서의 미적분 지도 방안을 고안하는 후속 연구에 기초 자료가 될 수 있을 것으로 기대된다. 더불어 평균변화율의 하위개념인 나누기, 몫으로서의 분수, 비율, 기울기의 개념들이 어떻게 평균변화율과 연결될 수 있는지를 보여주는 것은 하위개념들에 대한 넓은 이해범주의 중요성을 일깨우면서 추후 평균변화율 관련 내용 지도 시 수학적 연결성을 통한 지도를 가능하게 해 줄 것으로 보인다.;One of the ways that we can examine the characteristics of a change is to observe the changing phenomenon from the perspective of rate of change. Even though it is natural to introduce and teach calculus through the meaning of rate of change, many studies pointed out that learning in calculus has focused on the computation rather than dealing with the perspective of rate of change. In addition, it seems that derivative is just being taught as a tool for grasping the shape of the graph, not dealing with the meaning of the rate of change from which the idea of calculus has emerged. At a time when it is necessary to consider teaching the principles of calculus by exposing the meanings of rate of change, it would be meaningful to examine what average rate of change(AROC) means to high school students which is the first concept the students encounter in calculus learning. The meanings could be computational meaning, arithmetic mean, geometric meaning as a slope, and quantitative meaning as a quotient. Also, observing which meanings could be more useful in various contexts and more conducive for learning the idea of calculus could provide important implications for designing teaching methods that reveals the aspect of rate of change. In addition, observing how the construction of such meanings is related to the students’ way of understanding of subordinate concept of average rate of change, such as division, fraction, rate, and slope would be helpful to design a teaching dealing with productive meanings of average rate of change through mathematical connection. According to the necessity and purpose of this study, the following four research problems were set up in this study and research was done by qualitative case study for three students in the second year of high school. 1. How is the way of understanding of high school students regarding the subordinate concept of average rate of change? 2. What are the high school students’ mathematical meanings for average rate of change? 3. What is the connection between the meanings of average rate of change the high school students have and the students’ way of understanding regarding the subordinate concept of average rate of change? 4. What is the result of teaching for high school students the quantitative meanings as a quotient about the average rate of change by hypothetical learning trajectory? Looking at the meanings of average rate of change the three students have, all three students have geometric meaning as the slope of a secant line and two students have meaning of the computation just dealing with the formula f(b)-f(a)/b-a and one of them has meaning of the arithmetic mean that does not work. Also, it was confirmed that all participants did not have quantitative meaning as a quotient, which seems to be for following two reasons. One is that all students were not familiar with the division as an operation that could measure the relative size of the amount of change in y and the amount of change in x. That is why all students did not know why division is used for finding a slope or an average rate of change. Second, all students did not view the fraction as a quotient by division. Average rate of change could be regarded as the quotient resulting from dividing the amount of change in y by the amount of change in x and the quotient by division could be shown as a fraction. So we could see how many times the amount of change in y is the amount of change in x by the average rate of change. In addition, students have chunky or index of steepness meanings for slope rather than ratio-based meaning. Therefore, students also did not see the average rate of change which is the generalization of the slope as a rate which is a numerical relationship between changes in two quantities which may vary.