중·고등학교 과정의 연계성을 강조한 함수의 그래프 과제 관련 오류 및 오개념 분석

Abstract

함수는 현실 세계와도 밀접한 관련을 가지고 있으며 학교수학에서도 핵심적인 내용으로 다루어지고 있다. 이러한 함수를 표현하는 여러 표현 방법 중 그래프는 직관적인 이미지를 수반하고, 함수의 여러 영역을 연결시켜 주는 등 다양한 장점을 가지고 있다. 하지만 함수의 그래프에 관해서는 주로 그래프를 그리는 기술적인 측면에만 초점을 맞추어 지도가 이루어지고 있기 때문에, 그래프의 장점이 잘 드러나지 못하고 있다. 이러한 어려움을 극복하고 보다 효과적인 교수·학습이 이루어지도록 함수의 그래프와 관련하여 오개념과 오류를 분석하는 연구들이 많이 이루어지고 있다(안가영, 권오남, 2002; 안선영, 2003; 이종희, 김해성, 2004; 최은형, 2004). 하지만 대부분의 연구가 중학교 또는 고등학교 과정의 일부만을 중심으로 하여 진행되었다. 따라서 중·고등학교 과정의 연계성을 강조한 연구가 부족한 상황이다. 이에 이 연구에서는 중학교 1학년 내용부터 고등학교 1학년까지의 내용을 다룬 함수의 그래프 과제에서 나타나는 오류 유형을 분석하고 오개념을 파악하여 올바른 교수·학습의 방향성을 제안하고자 하였다. 이러한 목적을 달성하기 위하여 연구 문제를 다음과 같이 설정하였다. 1. 함수의 그래프 과제에서 어떠한 오류들이 나타나는가? 2. 함수의 그래프 과제에서 나타나는 오개념은 무엇인가? 이와 같은 연구문제의 해결을 위해 경기도에 위치한 Y고등학교 1학년 학생 121명을 대상으로 검사를 진행하였다. 검사지는 교과서와 선행 연구를 토대로 하여 연구자가 재구성한 것으로 중학교 1학년부터 고등학교 1학년까지의 내용을 다루는 함수의 그래프 과제들로 구성되었다. 연구에 사용된 오류분석틀은 Movshovitz Hadar & Orit Zaslavsky(1987)와 김옥경(1991)의 오류 유형을 토대로 구성하였고, 그 오류분석틀을 바탕으로 학생들이 보인 오류를 분류하였다. 학생들이 가지는 오개념을 보다 정확히 파악하기 위해 본 검사에 참여한 학생 중 14명을 선정하여 개별 면담을 진행하였다. 위와 같은 과정을 거쳐 분석한 이 연구의 결과는 다음과 같다. 연구문제1은 함수의 그래프 과제에서 나타나는 오류를 살펴보는 것으로 중학교 1, 2학년 문항에서는 ‘잘못 이용된 문제의 조건’이 가장 많이 나타났고, 중학교 3학년 문항에서는 ‘필수적인 개념의 부족’이 가장 많이 나타났다. 고등학교 1학년 문항에서는 ‘풀이과정의 생략’이 가장 많이 나타났다. 하지만 이와 같은 오류 유형의 빈도수는 해당 학년 내용에 어떠한 유형의 과제가 포함되어 있는지에 따라서도 영향을 받기 때문에 과제 유형별 오류 유형의 빈도수 또한 살펴보았다. 해석 과제에서는 ‘잘못 이용된 문제의 조건’이 가장 많이 나타났고, 분류 과제에서는 ‘풀이과정의 생략’이 가장 많이 나타났다. 번역 과제에서는 ‘논리적으로 부적절한 추론’을 제외한 나머지 네 가지 오류 유형이 비슷하게 나타난 것을 살펴볼 수 있었고, 각각 한 문항씩만 있었던 예측 과제와 척도 과제에서는‘논리적으로 부적절한 추론’이 가장 많이 나타났다. 연구문제2는 함수의 그래프 과제에서 나타나는 오개념을 살펴보는 것으로, 중학교 1학년 문항에서 학생들은 함수의 그래프는 연속이어야 한다는 오개념으로 인해 오류를 보였다. 또한 반비례 함수는 감소함수라는 오개념을 가지고 있었으며, 그래프 모양만을 반비례 함수의 개념이미지로 가지는 경우가 많이 나타났다. 중학교 2학년 문항에서 학생들은 기울기와 절편에 대한 오개념으로 인하여 오류를 보였다. 또한 일차방정식과 일차함수의 연관성에 관련된 오개념을 보이기도 하였다. 중학교 3학년 문항에서 학생들은 이차함수 그래프의 성질과 관련하여 오개념을 보였고, 이차함수를 일차함수와 혼동하여 오류를 보이는 경우도 많이 나타났다. 척도와 관련해서는 좌표축의 숫자를 약분할 수 있다고 생각하는 오개념과 척도에 상관없이 그래프의 모양이 같으면 같은 함수라고 생각하는 오개념이 나타났다. 고등학교 1학년 문항에서 학생들은 이차함수에서 가 최소일 때의 함숫값이 최솟값이고, 가 최대일 때의 함숫값이 최댓값이라고 생각하는 오개념을 보였고, 일대일 함수나 함수를 판별할 때 어떤 규칙에 의하여 판별하거나 자신에게 친숙한 함수의 그래프와 연관 지어 판별하려고 하였다. 또한 정의역에 해당되는 부분에 그래프가 있다면 함수라고 생각하거나 함수의 그래프는 일정한 규칙성을 가져야 한다고 생각하는 오개념을 보였다. 위의 연구 결과를 토대로 이 연구에서는 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다. 첫째, 학생들의 함수의 기본 개념에 대한 이해가 부족함을 알 수 있었다. 따라서 함수에 대해 처음 배우게 되는 중학교 1학년 시기부터 학생들이 함수에 대한 올바른 개념을 정립할 수 있도록 주의를 기울여야 할 것이다. 둘째, 특정 함수의 성질을 다른 함수의 성질과 혼동하는 경우가 많이 나타났다. 그러므로 학생들이 혼동하는 개념들을 잘 구분지어 그 차이가 무엇인지에 대해서 자세히 설명해줄 필요가 있다. 셋째, 학생들이 평소에 잘 접해보지 못했던 질적 함수에 대한 해석 과제나 척도 과제에서 오류가 많이 나타났다. 이처럼 학생들이 접하기 어려웠던 유형의 과제도 충분히 다뤄져야 한다. 넷째, 문제를 해결할 때 이해를 기반으로 하기 보다는 암기한 규칙을 적용하는 경우가 많이 나타났다. 학생들이 암기한 규칙을 혼동하지 않도록 하기 위해서는, 그러한 규칙이 생기게 되는 이유를 정확히 인지시켜줘야 한다. 따라서 규칙이 도출되는 과정에 대한 설명이 반드시 선행되어야 할 것이다. 다섯째, 학생들은 평소에 다루어봤던 함수의 그래프에 대해서만 함수라고 인식하곤 했다. 함수에 대한 학생들의 개념이미지를 풍부하게 만들어주려면 수업시간에 보다 다양한 그래프에 대한 예시를 제공해야 할 것이다. 이 연구에서 각 학년 내용에 따라 오류 유형과 오개념을 분석한 정보는 학년별 함수 수업 구성에 도움을 줄 것이다. 또한 2015개정 교육과정에서 강조되는 그래프에 대하여 다룸으로써 새 교육과정을 적용한 교수·학습에 활용 가능한 자료가 될 수 있다는 시사점을 제공한다. 하지만 이 연구는 오류와 오개념 분석만을 목적으로 하였기 때문에 실제적인 교정방안은 제시하지 못했다는 제한점을 가진다. 또한 면담 대상이 경기도 소재의 고등학교 학생 14명이었고, 검사지 문항 중 예측 과제와 척도 과제는 각각 한 문항씩 있었기 때문에 이 연구에서 발견한 오개념 이외에도 다른 오개념들이 있을 수 있다. 따라서 오류와 오개념을 예방하거나 교정할 수 있는 교수·학습 방법에 대한 후속 연구가 필요하며, 다양한 지역과 학교를 선정하여 여러 유형의 과제가 골고루 포함된 검사를 진행하여 함수의 그래프 과제에서 나타날 수 있는 오개념을 더 조사해볼 필요가 있다. ;The purpose of this study is to provide information to teachers by analyzing the types of errors that appears in the task of graph of function and identifying misconceptions that students have. For this purpose, a test was conducted targeting 121 first graders at Y high school in Gyeonggi-do. The test consisting of tasks of graph of function was used as a test instrument. The types of errors were analyzed from test that the students had filled out. Afterwards, individual interviews for 14 students were held in order to identify their misconceptions. As a result of the analysis, the types of errors frequently displayed were different depending on the contents of each grade and the types of task. Based on the interviews, many misconceptions that students had were found. To integrate analysis results, the students lacked an understanding of the basic concepts of function, and often confused the nature of a particular function with the nature of another function. Also, they showed a lot of errors in interpretation tasks for qualitative functions or scale tasks that were not explored in class and often applied rules that they had memorized when solving problems. In addition, only the graphs of the function that they normally dealt with were perceived as function. Therefore, teachers should be careful so that students can establish the correct concepts for function from the first grade of middle school, and explain several confusing concepts separately. Moreover, teachers should enrich students’ conceptual images by addressing the interpretation tasks of qualitative functions or scale tasks and providing a variety of graphical examples in class.