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수학 문제 해결 과정에서 수학적 추론을 활성화하는 발문 연구

Title
수학 문제 해결 과정에서 수학적 추론을 활성화하는 발문 연구
Other Titles
A Study on the Questioning Activating Mathematical Reasoning in Mathematics Problem Solving Process : Focusing on ‘Similarity’ for Second graders in middle school
Authors
백지연
Issue Date
2018
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Advisors
이종희
Abstract
본 연구의 목적은 수학 수업의 문제 해결 과정에서 수학적 추론을 활성화하는 발문을 제시하여 실제 학생들의 추론 능력에 미치는 효과를 분석하는 것이다. 수학적 추론 능력은 2009 개정 수학과 교육과정, 2015 개정 수학과 교육과정, NCTM(2000/2007) 등 국내·외의 수학 교육에서 강조하고 있는 핵심역량이다. 수학 교사는 학생들이 수업에서 추론을 충실히 드러낼 수 있도록 적절한 발문을 제시함으로써 학생들의 추론을 이끌어낼 수 있다. 그러나 발문에 관한 선행 연구들을 살펴보면, 수학 수업에서 학생들에게 다양한 사고를 자극하고 반성하도록 하기 위한 열린 형태의 발문 보다는 폐쇄형 발문이 주로 이루어져 학습자에게 추론의 기회를 적절히 제공하지 못함을 알 수 있었고 일반적인 발문이 아닌 추론을 활성화하는 발문에 관한 선행 연구는 아직까지 미비한 실정이다. 따라서 본 연구는 문제 해결이라는 수업의 목표를 달성하기 위해 추론을 도구로 활용하는 방향을 택하여 수학 학습에서 중요한 추론의 유형을 연역, 귀납, 유추, 가추, 은유, 환유로 구분하고 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. [연구문제 1] 수학 문제 해결 과정에서 수학적 추론을 활성화하는 발문은 무엇인가? [연구문제 2] 수학 문제 해결 과정에서 발문에 의해 나타나는 학생들의 추론은 어떠한가? 연구자는 선행 연구들의 발문 분류를 참고하여 본 연구를 위한 3차시의 수업 지도안을 작성하였으며 서울시 H중학교 3학년 학생 4명을 연구대상으로 질적 사례 연구를 실시하였다. 모든 수업은 녹취·전사하였고 Leone Burton의 문제 해결 모델을 기준으로 프로토콜을 분석하여 다음과 같은 연구 결과를 얻었다. 각각의 추론 유형은 정도의 차이는 있으나 문제 해결 과정에서 모두 활성화되었고, 특히 검토 단계에서 다양한 추론의 유형이 관찰되었다. 문제를 이해하는 진입 단계에서는 예상하게 하는 발문, 조건을 단순화하여 특정 요소에 초점을 맞추게 하는 발문, 규칙을 말로 설명하게 하는 발문, 맥락을 형성하게 하는 발문 등이 연역, 귀납, 가추, 환유, 은유의 추론 유형을 활성화하였으며 공략 단계의 핵심 아이디어로의 연결을 형성하였다. 가설을 설정하고 입증하는 공략 단계에서는 가설을 설정하게 하는 발문, 설명이나 정당화를 요구하는 발문, 정교화를 요구하는 발문, 외적 맥락을 형성하는 발문, 공통 단위를 통한 비교를 유도하는 발문이 활용되어 추측과 정당화의 과정을 촉진하였고 연역, 귀납, 가추, 은유의 활발한 추론을 유도하였다. 풀이를 반성하고 일반화하는 검토 단계에서는 비판적인 평가를 유도하는 발문, 일반화를 요구하는 발문, 조건을 변경하게 하는 발문, 유사성을 탐색하도록 하는 발문, 설명이나 정당화를 요구하는 발문, 수학적 관계를 탐색하게 하는 발문, 정교화를 요구하는 발문 등이 다양한 유형의 추론이 나타나도록 사고를 자극하였다. 발문의 빈도분석을 통해 추론을 위한 사고를 촉진하는 발문의 제시가 실제 학생들에게 활성화된 추론의 유형과 일치하는지를 분석하였으며 분석에 대한 고찰은 다음과 같다. 연역 추론을 의도한 발문의 68.7%(11회)는 주로 추측을 검증하기 위한 정당화의 상황에서 연역 추론을 활성화하였다. 학생들이 연역 추론에 어려움을 겪을 때, 이전 지식을 회상하게 하는 보조 질문을 활용하여 학생의 사고 과정을 되짚어 줌으로써 문제 해결에 확신을 가질 수 있도록 격려해야 한다. 귀납 추론을 의도한 발문(4회)은 귀납 추론을 모두 활성화하였다. 여러 가지 도형에서 관찰되는 공통된 속성을 파악하여 닮음의 핵심 아이디어를 일반화하거나 특정 사례들을 예로 들어 일반화를 시도하는 경우, 특수한 사례를 검사하거나 도형의 성질을 귀납적으로 발견하는 경우에 귀납 추론이 활성화되었다. 가추를 의도한 발문의 83.3%(12회)는 가추를 즉각적으로 활성화하였으며 지나치게 규범화된 가추, 덜 규범화된 가추, 창의적 가추의 모든 유형이 문제 해결 과정에서 나타났다. 유추는 검토 단계에서 공략 단계의 유용했던 성질이나 방법 등을 유추하여 도형의 변형과 통합에 대한 아이디어를 반성하는 과정에서 나타났다. 그러나 유추를 의도한 발문의 45.4%(5회)에서만 유추가 바로 활성화될 수 있었다. 발문에 의해 유추적 사고를 자극하기 위해서는 이전 지식의 영향으로 형성된 은유와 환유를 발전시키고 불변하는 속성을 파악하게 하는 보조 질문의 제시가 효과적이었다. 또한, 학생들이 다양한 조작활동을 경험하고 도형의 성질을 탐구할 수 있는 기회를 제공해야 하며, 시각적인 정보를 활용하여 불변하는 성질을 파악할 수 있도록 하는 후속 발문을 활용하여 문제 해결과 관련 있는 이전 지식을 논리적으로 통합할 수 있도록 안내해야 한다. 발문을 구성할 때 학생들이 발문의 의도가 지닌 의미를 분명하게 인식할 수 있도록 하는 구체적이고 명확한 단어를 포함하는 것이 중요하다. 은유를 의도한 발문의 85.7%(6회)에서 학생들의 은유가 활성화되었으며, 환유의 경우에는 기호화와 도형화를 지시하는 지시문으로만 활용되었다. 특히 은유와 환유는 수학 학습에서 학생들의 이전 지식에 대한 유용한 정보를 제공하므로 이를 더 명확하게 드러나게 하는 발문의 필요성을 촉구한다. 수학 교사는 학생들의 은유와 환유가 추론 과정에서 오개념과 오류로 작용하더라도 문제 해결에 방해가 되는 잘못된 개념이 아닌 발전될 수 있는 긍정적인 아이디어임을 학생들에게 인식시키고 자신감을 가질 수 있도록 격려해야 할 것이다. 이상의 결과로부터 다음과 같은 시사점을 도출하였다. 수학 교사가 적절한 발문을 제기하여 학생들의 추론을 이끌어내는 과정은 허용적인 교실 문화가 뒷받침되어야 가능하다. 다양한 유형의 발문 중에서 추측과 정당화를 강조하는 발문, 조건을 변경하도록 하는 발문, 정교화를 요구하는 발문, 비판적인 평가를 유도하는 발문은 학생들의 풍부한 추론을 자극하고 능동적인 태도를 이끌어내는 역할을 하였다. 그러므로 수학 교사는 학생들이 추론을 활용하여 문제를 해결할 수 있도록 위의 발문들을 염두에 두어야 하며, 학생들이 추론에 어려움을 보일 경우에는 학습자의 수준을 고려한 수렴적 발문 또는 보조 질문으로 자신감을 가지고 수업에 참여할 수 있도록 지도해야 한다. 본 연구는 학생들의 추론을 주의 깊게 관찰하고 적절한 발문을 제기함으로써, 학생들 간의 활발한 의사소통을 촉진하였고 하나의 문제를 해결하는 과정 안에서도 다양한 추론의 양상이 발현될 수 있는 가능성을 확인하였다. 이러한 연구 결과는 수학 수업에서 나타날 수 있는 학습자의 추론과 추론 능력을 발달시키기 위한 발문을 연구하고자 하는 교사들에게 유의미한 시사점을 제공할 것이다.;Mathematical reasoning ability is a core competence emphasized in domestic and international mathematics education. Although teachers’questioning is important to improve students' reasoning ability when teaching reasoning in school mathematics, there have not been sufficient relevant studies. The purpose of this study was to analyze the effects of questioning expected for activating students’mathematical reasoning. For the purpose, the study classified the types of important reasoning in mathematics learning as deduction, induction, abduction, analogy, metaphor and metonymy, and analyzed the protocols according to Leone Burton’s problem solving model. A qualitative case study of the total 3 sessions was conducted targeting 4 third grade students in H boys’ middle school located in Seoul, and all data was video-recorded. Research questions are as follows : 1. What are the question types activating mathematical reasoning in the mathematics problem solving process? 2. How are students’actual reasoning expressed by questioning in the mathematics problem solving process? This study analyzed questionings that activated mathematical reasoning and the types of reasoning that actually appeared in students, and presented a list of questionings. The findings are as follows. All types of reasoning were activated in problem solving process, especially in the review phase for reflection and extension. The results of the frequency analysis of whether the questionings activated students’reasoning according to its original intention are as follows. The induction-intended questionings all led to induction reasoning. 68.7% of the deduction-intended questionings, 83.3% of the abduction-intended questionings, 45.4% of the Analogy-intended questionings, 85.7% of the metaphor-intended questionings did so. Metonymy-intended questionings were used only for an instruction for signification and symbolization. Based on the results above is the following suggested. When students feel difficulty in reasoning or when the mathematical-concept can not be extended, a math teacher should use the secondary question which recalls previous knowledge or allows them to, activate the meta-abduction and understand the non-changeable characters in order to encourage them to have confidence in the problem-solving. Posing proper questionings which challenge students' thinking and help them express reasoning verbally is only possible when supported with the help of the interactive classroom atmosphere. In particular, questionings that focus on guessing and justification give the chance for students to compare their ideas of each other, thus activating deduction and abduction. Questionings that change the conditions lead to active reasoning skill of analogy by stimulating reflective abstraction. When students show misconceptions and errors by individual metaphorical or metonymic images in the reasoning process, teachers should help students correct errors and move toward broader concepts through reflections based on elaboration-requiring questionings and critical assessment-requiring questionings. This study has implications in that it cultivated mathematical communications among students by carefully observing students’reasoning and posing thoughtful questionings, which can be reflected in school mathematics instruction so that the students showed the enthusiastic mathematical attitude for their reasoning.
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