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예비수학교사의 개념정의와 MKT에 관한 연구

Title
예비수학교사의 개념정의와 MKT에 관한 연구
Other Titles
A study on the Concept Definition and MKT for the Pre-service Math Teachers : Focusing on the convergence of the sequence
Authors
김승연
Issue Date
2018
Department/Major
교육대학원 수학교육전공
Publisher
이화여자대학교 교육대학원
Degree
Master
Advisors
이인협
Abstract
The purpose of the study is to improve the curriculum and education contents of pre-service mathematics teacher by analyzing the concept definition and concept image characteristics of convergence of sequence of pre-service mathematics teachers and to analyze the characteristics of the MKT sub-area. The research questions are as follows: 1. What are the characteristics of the concept definition and the SMK of the pre-service mathematics teachers about convergence of sequence? 2. What are the characteristics of the PCK of the pre-service mathematics teachers about convergence of sequence? In order to solve the research questions, the questionnaire was produced based on the previous studies, and 30 pre-service math teachers participated in the survey. Also, interviews were conducted for five pre-service teachers. As a result of the study, only 43.3% of the pre-service math teachers accurately described the intuitive definition of convergence of sequence, while 90% of the formal definition was described accurately. In addition, in order to teach the convergence of the sequence, most of the pre-service math teachers explained it by using graphs and examples. Moreover, pre-service math teachers mentioned the concept and definition of convergence, which must be remembered after learning the sequence, and pointed out the ambiguity of the intuitive definition as the cause of student’s misconception. They were aware of the importance of the concept of convergence of sequence and the limitations of intuitive definition. However, 76.7% said they would still teach the intuitive definition because of the difficulty of its formal definition for students. These results show that pre-service math teachers recognized the limits of intuitive definition with attempts to guide it through intuitive definitions. However, some of the pre-service math teachers responded that by guiding the convergence of the sequence with formal definitions, it would reduce student’s misconception and expand of student’s thinking. Based on these findings, this study suggested a plan to guide the convergence of sequence with the formal definitions. It is expected that this study can contribute to improvement of pre-service math teacher’s mathematical knowledge for teaching on the convergence of sequence.;수열의 극한은 현대 수학의 핵심 개념으로 자연과학이나 공학뿐 아니라 경제학, 사회학 등 변화를 다루는 학문인 미적분학의 핵심적인 아이디어이자 기초 이론이라 할 수 있다(교육부, 2015). 그런데, 극한 개념에 관한 선행연구에서 많은 학생들은 인식론적 장애와 오개념 등의 어려움을 겪고 있음을 알 수 있다(박선화, 1998; 최승현, 1999). 그 이유로는 ‘수열의 수렴’의 직관적 정의가 ‘의 값이 한없이 커질 때’나 ‘한없이 가까워진다.’와 같은 일상적이고 모호한 표현을 사용하여 학생들이 잘못된 개념 이미지를 형성하였기 때문이다(박선화, 1998). 또한 수열의 수렴에 관한 개념정의나 개념이미지를 다루는 대부분의 선행연구들은 주로 고등학생을 대상으로 무한급수와 함께 문제 풀이를 통한 오개념을 밝히는 연구가 많았으며(박선화, 1998; 황우형‧지형조, 2008), 예비교사와 현직교사를 대상으로 개념 정의와 개념이미지를 다루는 연구는 적은 편이였다. 비록 예비교사와 현직교사를 대상으로 하는 연구가 있다하더라도, 그 초점은 주로 현직교사에 집중되어 있거나 수열의 극한과 무한급수 단원을 묶어서 통합적으로 살펴보는 연구들이 있었다. 이에 따라 연구자는 선행연구들의 제한점을 토대로 교사가 올바른 수학적 개념 정의와 개념 이미지를 형성하고 있어야 학생들에게 올바른 학교수학을 가르칠 수 있을 것이라 생각하여 수렴에 관한 개념 정의와 개념 이미지를 형성하는 과정인 예비교사를 대상으로 연구를 계획하였다. 따라서 이 연구에서는 예비교사를 대상으로 수열의 수렴에 관한 개념 정의와 MKT 지식 영역의 요소들의 특징을 분석하여 예비교사교육의 교육과정 및 내용을 개선하는 것에 목적을 두었다. 이에 따라 이 연구에서는 예비교사를 대상으로 수열의 수렴에 관한 개념정의와 교과 내용 지식(SMK)의 특징을 조사하고, 수열의 수렴을 가르치는 방법과 오개념에 대한 대처 방안 등에 관한 교과 내용 지식(PCK)의 특징을 분석하고자 한다. 이러한 연구를 진행하기 위하여 다음과 같은 연구문제를 설정하였다. 연구문제 1. 예비교사의 수열의 수렴에 관한 개념 정의와 교과 내용 지식(SMK)은 어떤 특징을 갖고 있는가? 연구문제 2. 예비교사의 수열의 수렴에 관한 교수학적 내용 지식(PCK)은 어떤 특징을 갖고 있는가? 위의 연구문제를 해결하기 위하여 다음과 같은 연구 방법을 사용하였다. 먼저 선행 연구를 검토하여, MKT 지식 요소를 분석할 수 있는 문항을 직접 구성하고 제작하였다. 이에 따라 제작한 문항을 교육대학원에 재학 중인 수학교육 전공생 8명과 수학교육학자 1명의 검토를 통해 수정 및 보완을 하였다. 수정을 거친 설문지로 2017년 11월 중순경에 해석개론II를 과거에 수강했던 사범대 학생 3명을 대상으로 예비검사를 실시하였다. 예비검사 결과, 질문이 모호하여 예시가 필요하거나 구체화가 필요한 문항이 발견되어 다시 수정 거쳐 최종 설문지를 완성하였다. 완성된 최종 설문지는 예비 수학교사들의 수열의 수렴성에 관한 구체적인 개념 이미지와 그 지도 방법을 알기 위해 대부분의 문항이 서술형으로 구성되었다. 검사 문항 수는 크게 6개의 문항이며, 세부 문항까지 포함하여 총 18개의 문항으로 이루어져 있다. 또한 연구 대상은 서울시에 소재하는 E대학교 수학교육을 전공하는 예비교사 중에서 수열의 수렴에 관하여 응답이 가능한 해석개론II를 수강하는 39명의 예비교사를 선정하였다. 그러나 회수된 설문지는 34부이며, 불성실하게 답변했거나 문항을 이해하지 못한 것으로 보이는 설문지 4부를 제외하고 총 30부를 분석하였다. 또한 설문에 참여한 30명 중에서 예비수학교사 5명을 대상으로 심층적이고 구체적인 응답 내용을 듣기 위해 면담을 실시하여 연구 자료를 보완하였다. 이 연구에 사용된 교과 내용 지식(SMK)의 분석틀은 한혜숙(2016)의 연구에서 문항 분석 기준을 이 연구에 맞게 재구성하였고, PCK에 관한 응답 내용은 각 유형별로 범주화하여 분석하였다. 또한 재구성한 분석틀을 활용하여 수학교육과 석사과정 대학원생 3명과 연구자를 포함하여 총 4명이 전체 설문지의 20%인 6부의 답안을 무작위로 선정하여 분류 및 분석을 실시하였다. 이에 따라 연구자와 분석자간의 일치도는 SPSS통계프로그램에서 교차분석을 통해 Cohen’s Kappa계수가 각각 0.712, 0.679, 0.678로 나왔으며, 이는 적당한 일치도를 뜻한다. 이 때, 연구자와 분석자간의 일치도가 가장 낮은 문항은 연구자와 분석자들, 수학교육학자와 함께 합의를 통해 최종적인 결론을 도출해냈다. 따라서 이 연구의 결과는 다음과 같다. 첫째, 예비교사들은 수열의 수렴에 관한 직관적 정의를 43.3%만이 정확하게 서술하였지만, 대부분 형식적 정의는 90%가 정확하게 서술한 특징을 보였다. 이는 자칫 학교수학과 대학수학과의 단절이 일어난 것처럼 보일 수 있다. 그러나 예비교사들은 면담을 통해 대학수학의 내용을 축소하여 가르치는 것이 학교수학이라고 생각하며, 표현하는 방식이 다를 뿐이지 수열의 수렴에 관한 정의의 의미는 일치한다고 의견을 제시하였다. 그리고 대부분의 예비교사는 수열의 수렴에 관한 형식적 정의를 해석적 정의로 서술하였지만, 위상적 정의로 작성한 예비교사도 있었다. 그는 면담을 통해 위상적 정의로 서술한 것이 더 간단하고 쉽게 표현할 수 있다는 장점을 언급하였다. 한편, 예비교사의 CCK(일반 내용 지식)의 특징을 알아보기 위하여 수열의 극한을 가르치고 나서 학생이 꼭 기억해야 할 내용에 관하여 묻는 문항을 구성하였다. 응답내용을 분석한 결과, 수열의 수렴을 공부하고 나서 학생이 꼭 기억해야 할 요소로 가장 많이 응답한 내용이 교과서 수준의‘수렴의 개념과 정의’인 것을 알 수 있었다. 둘째, 예비교사들의 KCT(수업을 계획하는데 필요한 지식)의 특징을 정리하면 다음과 같다. 예비교사들은 수열의 극한을 설명할 때, 그 방법으로 그래프, 예시, 개념, 수직선 등의 순서로 응답 빈도수가 많았으며, 대부분의 응답에서 그래프와 예시, 개념과 예시 등의 두 가지 이상의 모델을 동시에 사용하여 설명하는 경우가 많았다. 그래프로 응답한 경우에 가장 많은 예시로 든 수열은 이었으며, 형식적 정의의 아이디어처럼 수렴의 개념으로 표현하기 위해 그래프를 수열의 항들이 어떤 반경 내에 무수히 존재하는 것으로 그린 경우도 있었다. 또한 개념을 설명하는 경우에는 대부분 교과서에 나온 직관적 정의와 그 예시를 이용하여 설명하는 특징을 보였다. 또한 예비교사들의 KCS(학습자에 대한 이해 지식)의 특징을 정리하면 다음과 같다. 대부분의 예비교사들은 ‘수열의 수렴’을 배우고 나서 학생들에게 발생할 수 있는 오개념의 예시를 고르는 문항에서 ‘무언가에 가까워지는 수열은 수렴하는 수열이다.’라는 예시를 선택하였다. 또한 주어진 예시 이외에도 ‘수열의 수렴’에서 발생할 수 있는 오개념과 오류의 예시를 제시해보라고 하였을 때, 대부분의 예비교사들이 제시한 예시들은 교대수열과 상수수열에 관하여 치우쳐 있었다. 이어서‘수열의 수렴’에서 발생하는 학생들의 오개념 원인을 예비교사에게 물어보았을 때, 대부분의 예비교사들은 ‘직관적 정의의 모호함’을 언급하였다. 그런데 대부분의 예비교사가 오개념의 원인을 ‘직관적 정의의 모호함’으로 응답한 결과와는 다르게, 수열의 극한을 직관적 정의로만 지도할 것이라고 응답한 예비교사들은 76.7%를 차지하였다. 그 이유로 직관적 정의와 형식적 정의의 차이는 인식하지만, 학생들이 어려워할 것이라고 대답한 경우가 많았다. 그러나 면담에서 오개념에 대처 방안을 설명하는 도중에 직관적 정의의 한계를 깨닫고, 추가적인 설명으로 보완하여 지도할 것이라고 한 예비교사도 있었다. 이와 반면에 직관적 정의를 형식적 정의 및 다른 설명으로 보완하여 지도할 것이라는 예비교사들은 20%를 차지하였다. 이렇게 응답한 대부분의 예비교사들은 직관적 정의를 먼저 가르치고 나중에 형식적 정의를 포함한 다른 설명 등으로 보완할 것이라고 답변하였다. 따라서 예비교사들은 이러한 지도 방식을 통해 학생들의 오개념을 줄일 수 있으며, 사고의 확장을 이끌어 내는 등 긍정적인 효과를 나타낼 것이라고 생각하였다. 따라서 이러한 결과를 토대로 다음과 같은 시사점 및 제언을 할 수 있다. 먼저 예비교사교육에서 교육과정의 방향성이 학교현장과 연계되도록 지도해야 할 것이다. 이 연구에서 예비수학교사들의 43.3%만이 ‘수열의 수렴’에 관한 직관적 정의를 정확하게 서술했으며, 종종 수열에 관한 잘못된 개념 이미지를 갖고 있는 사례도 발견되었다. 이를 통해 예비수학교사에게 전공수학 수준의 지식도 필요하지만, 학교수학의 지식도 상기시켜 이를 연결하여 지도해야 함을 시사한다. 또한 학생들의 오개념의 예시를 서술하는 문항에서는 응답 내용이 상수수열과 교대수열에 치우친 점을 보아 다양한 오개념의 예시를 다루어 예비교사의 학생에 대한 이해지식이 성장할 수 있도록 학교 수업과 연계된 예비교사교육이 요구된다. 둘째, 전공교과 수업의 진행 방향성에 대해서는 다음과 같은 시사점이 있다. ‘수열의 수렴’의 형식적 정의를 서술하는 문항에서 대부분의 예비교사들은 해석적 정의로 서술하였다. 그러나 형식적 정의를 위상적 표현으로 작성한 예비교사도 있었는데, 그는 위상적 표현으로 정의를 작성하는 것이 더 간단하게 표현된다는 장점을 언급하였다. 이처럼 수학교육과 전공교육과정에서는 해석학을 먼저 배우고, 위상 수학을 배우도록 권고하는 편이다. 그러나 이러한 틀은 크게 바뀌지 않더라도, 해석학을 본격적으로 배우기에 앞서 위상적 성질을 먼저 간단히 배우고 나서 해석학을 다루게 된다면 위상이라는 상위 개념의 성질로 해석학을 바라볼 수 있을 것이다. 따라서 이 연구에서는 이러한 결과를 토대로 해석 개론I에서 위상적 성질을 간단하게 다룰 것을 제안한다. 마지막으로 이 연구는 서울 소재 E대학교 수학교육과 학생 30명을 연구대상으로 하였기에 연구 결과를 모든 예비교사에게 일반화 할 수 없다. 따라서 다양한 지역과 대학에서의 예비수학교사의 MKT 분석도 필요하지만, 특히 예비수학교사의 학년이 올라가면서 MKT 지식 영역의 변화 양상도 살펴볼 필요가 있다. 왜냐하면 학년별로 MKT지식 영역에 대한 답변의 특징이 달랐기 때문이다. 따라서 이와 같은 연구를 통해 예비교사교육에서 교사전문성을 향상할 수 있는 교육적 방향성이 도출될 수 있으므로 예비수학교사의 학년이 진급하거나 초임교사가 되었을 때의 MKT 지식 영역의 변화를 조사하는 연구를 후속 연구로 제언한다.
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