Sparse Semidefinite Programming Relaxations for the Pooling Problem with Exploiting Sparsity

Abstract

Pooling problem은 정유산업이나 공급망 문제 등에 적용될 수 있는 중요한 문제이다. Pooling problem은 원천 탱크(source tank), 중간 탱크(intermediate tank), 그리고 최종 탱크(final tank)들 사이 network structure을 결정하는 문제로 network flow 문제로 분류된다. 이 문제의 목적은 특정 요구조건을 만족시키는 최종 생산물을 만들면서 총 생산비용을 최소화 시키는 흐름(flow)을 찾는 것이다. Pooling problem은 NP-hard 문제로 알려진 비볼록, 비선형 문제로 모델링 된다. 우리는 주어진 문제의 준정부호 프로그래밍 (semidefinite programming) 대해 공부했다. 원래의 pooling problem에 유효한 제한 조건들을 추가하고 그것을 준정부호 프로그래밍으로 구성함으로써, 우리는 근사해를 얻을 수 있다. 그러나, 문제의 크기가 너무 커져서 computational cost가 많이 든다는 단점이 있다. 우리는 이 문제를 해결하기 위해서 주어진 준정부호 행렬의 구조화된 희소성 (sparsity)을 적용하였다. Software package인 SparseCoLO를 이용한 수치 실험을 통해 준정부호 문제의 희소성을 이용하는 것의 효율성을 확인했다.;The pooling problem is an important issue that can be applied to the oil refinery industry and supply-chain problems. It is categorized as a network flow problem that determines the network structure among source tanks, intermediate tanks, and final tanks. The goal of solving the pooling problem is to find a flow that minimizes total production costs while satisfying the demands of the final products. The problem is modeled mathematically as a nonconvex, nonlinear problem, which is known as NP-hard problems. We study formulations of the given problem as semidefinite relaxations (SDPs). By adding valid constraints to the original pooling problem and constructing it as a semidefinite problem, we can obtain an approximate solution. However, the size of the problem is so large that computational cost is expensive. To deal with this difficulty, we study conversion methods using the structured sparsity of the given semidefinite matrices and apply into our problems. We confirm the effectiveness of utilizing the sparsity of semidefinite problems with numerical experiments by using the software package SparseCoLO.