고등학교 학생들의 미분 단원에서 나타난 개념이해유형과 개념이해단계 분석

Abstract

Differential is the important mathematical concept which can predict and read the various change in real world(Stewart, 1990). If you look at the history of differentiation , the history of differentiation has started from the geometric discovery , prior to formal and precise algebraic definition of differential(jung-ho, Woo, 2000). But, in the field of school, the way of learning differential follows the rule which is formal and procedural and when students learn the concept of differentiation, they focus on algebraic access to learn it rather than geometric access. Due to this reason, I needed to study this problem so I examined understanding the concept of notion of differentiation by conceptual area and type of problem solving in learning notion of differentiation and examined the students' phase in understanding the concept on the basis of research problem no.1 and 2. Research problem 1. What is the high school students' understanding the notion of differentiation like in learning the notion of differentiation? 1-1. What is the high school students' understanding the notion of differentiation like by conceptual area? 1-2. What is the high school student's type of concept understanding like in learning the notion of differentiation? Research problem 2. What is the high school student's correlation of the notion of differentiation by conceptual area like in learning the notion of differentiation? Research problem 3. What is the high school student's step in understanding concept by conceptual area like in learning the notion of differentiation? To study this research problem, I studied 28 highschool students as subject for the research who are suitable for request of this research after getting permission from their home room teacher and math teacher of 00 highschool in Seoul. Among 28 students, I studied 3 of students as subject for an interview who were actively interested in research as well. I analyzed the 28 students' some test of examination which took for 40 minutes in the first math class with analysis frameworkⅠ; the student's understanding of the notion of differentiation and analysis frameworkⅡ; the student's type of problem-solving of the notion of differentiation. I analyzed the 3 of 28students' examination test and intensified examination test of the notion of differentiation which took for 40 minutes after school with analysis frameworkⅢ; the student's phase in understanding the notion of differentiation through interviews. This is the following limitation of this research This research does not cover the whole range of textbook <Calculus >. It can not make no claim that this research is gone through with the whole notion of differentiation. For this reason, It is early to conclude that the students understood the notion of differentiation perfectly just because the each student's phase of understanding the notion of differentiation by conceptual area is at the stage of phase in forming diagram. As I analyzed the consequence of study as subject for problem no. 1 and 2 with 28 of students and for problem no.3 with 3 of students thus different outcomes of research and different group's analyzed result can appear. this is the following proposal of this research. In the field of school, the way of learning differentiation leans to differential method and algebraic access, therefore , according to historical genetic principle, we should teach the notion of differentiation to make a student understand it as precise definition through algebraic access and to help a student understanding differentiation intuitively through geometric access when a student learns about the notion of differentiation, Keyword notion of differentiation, type of concepts understanding, step in understanding the notion of differentiation;미분은 현실 세계에서 다양한 변화를 예측하고 읽어낼 수 있는 중요한 수학적 개념이다(Stewart, 1990). 미분의 역사적 배경을 살펴보면, 미분의 형식적이고 엄밀한 대수적 정의 이전에 기하적 발견에서부터 미분의 역사가 시작되었다. 그러나 학교 현장에서 미분은 절차적이고 형식적인 방법을 따르고, 미분개념을 학습할 때 기하적 접근 보다는 대수적인 접근에 집중되어있다(우정호, 2000). 이러한 이유로 연구의 필요성을 느껴 연구자는 고등학교 학생들의 미분단원에서 나타나는 미분개념별 이해와 개념이해유형을 살펴보고, 연구문제 1, 2를 바탕으로 학생들의 개념이해단계를 살펴보았다. 연구문제1. 고등학교 학생들의 미분단원에서 나타난 미분개념이해는 어떠한가? 1-1. 고등학교 학생들의 미분단원에서 나타난 미분개념별 이해는 어떠한가? 1-2. 고등학교 학생들의 미분단원에서 나타난 미분개념별 이해유형은 어떠한가? 연구문제2. 고등학교 학생들의 미분단원에서 나타난 미분개념별 상관관계는 어떠한가?연구문제3. 고등학교 학생들의 미분단원에서 미분개념별 이해단계는 어떠한가? 연구문제를 해결하기 위하여 서울 00고등학교의 수학 교과 교사와 상의 후, 실험에 적합하다고 판단한 28명의 고등학생을 연구 대상으로 선정 하였다. 연구 참여자 28명 중에서 연구에 적극적으로 관심을 보인 학생들 중, 연구자가 실험에 적합하다고 판단한 면담 참여자 3명을 선정하였다. 연구대상인 28명은 미분개념 검사지를 40분 동안 검사를 실시하였고, 3명은 미분개념 검사지와 미분개념 심화 검사지를 통해 40 분동안 면담을 실시하였다. 연구문제1-1, 연구문제 2는 분석틀Ⅰ를 통해 분석하였고, 연구문제 1-2는 분석틀Ⅱ, 연구문제3은 분석틀Ⅲ으로 분석하였다. 연구결과는 다음과 같다. 연구문제 1-1의 분석 결과 학생들의 오답률은 미분개념 검사지에서 미분가능성에 대한 오답률이 제일 높은 것으로 나타났다. 학생들은 미분가능성에 대해 묻는 문항에서 미분계수의 극한의 정의를 통해 서술하는 경우의 정답률은 29%로 학생들은 미분계수의 극한의 정의를 통해 미분가능성을 서술하는데 어려움을 보이는 것으로 나타났다. 함수의 요철에 해당하는 문항 4번이 가장 높은 오답률로 나타났다. 문항4번은 함수식이 주어지지 않은 불연속 도함수의 그래프를 도함수의 기하적 성질을 이용하여 함수의 그래프 개형을 그려내는 것으로 학생들은 연속인 도함수의 그래프보다, 불연속인 도함수를 접했을 때 도함수의 기하적 성질을 통하여 함수의 요철을 그려내는데 어려움을 겪는 것으로 나타났다. 연구문제1-2에서는 미분개념의 준거인 미분가능성에 대한 개념이해유형 빈도는 미분법을 통해 미분 가능성을 판단한 경우(A1)이 가장 높은 빈도로 나타났다. 가장 낮은 빈도의 문제해결 유형은 첨점에서 접선의 기울기의 존재의 유무에 따라 미분 가능성을 판단 경우(G2)로 나타났다. 학생들은 미분가능성을 판단할 때, 미분의 기하적 접근인 접선의 기울기의 존재의 유무를 통해서 미분 가능성을 판단하기 보다는 대수적 접근인 미분계수의 극한의 정의를 통해 미분 가능성을 판단하는 빈도가 더 많은 것을 나타났다. 연구문제1-1에서 함수의 요철에 대한 결과와 연구문제 1-2의 결과를 연관지어 살펴보면, 학생들은 도함수의 기하적 성질을 이용하여 함수의 그래프 개형을 그려내는 경우(G4)는 높은 빈도로 나타났지만 정답률은 오답률보다 낮게 나타났다. 도함수의 기하적 성질을 이용하여 함수의 그래프 개형을 그려내는 경우(G4)의 사례들을 살펴보면, 학생들은 도함수의 기하적 성질을 이용하여 함수의 그래프 개형을 그려낼 때 다른 문제 해결 유형들과 중복해서 사용하며 이 때에는 진정한 도함수의 기하적 성질을 이용하지 못하는 사례가 나타났다. 연구문제2에서는 미분개념의 준거인 미분 가능성, 함수의 요철, 접선의 기울기의 상관관계를 살펴본 결과, 미분가능성과 함수의 요철의 상관관계는 0.605로 나타났다. 그러나 미분개념의 준거인 미분가능성, 함수의 요철, 접선의 기울기에 대한 개념들의 사이의 뚜렷한 상관관계가 나타나지 않았다. 연구 문제 3의 결과로는 S1은 미분개념이해단계에서 미분 가능성, 함수의 요철, 접선의 기울기에서 각각 도식 단계로 나타났다. S2는 미분 가능성과 함수의 요철은 과정 단계, 접선의 기울기는 대상 단계로 나타났다. S3는 미분 가능성, 함수의 요철은 과정 단계, 접선의 기울기는 행동 단계에서 과정 단계로 가는 내면화의 과정에 있는 것으로 나타났다. 본 연구의 제한점은 다음과 같다. 이 연구는 교과서 <미적분Ⅰ>를 전 영역에 걸쳐 본 것이 아니기 때문에 미분개념 이해를 전체를 살펴봤다고 할 수 없다. 이러한 이유로 학생들의 각각의 미분개념의 영역별 이해단계가 도식단계에 이르렀다고 해서 미분개념을 완벽하게 이해했다고 단정 지을 수 없다. 연구문제 1, 2는 28명, 연구문제 3은 3명을 대상으로 연구 결과를 분석하였기 때문에 다른 집단의 분석결과 다른 연구 결과가 나타날 수 있다. 제언점은 다음과 같다. 학교 현장에서는 미분법과 대수적 접근에 치중되어있으므로 학생들은 미분개념을 학습 할 때 미분 개념의 이해를 돕기 위하여 미분의 역사적 발생 원리에 따라서, 먼저 기하적 접근을 통해 미분의 직관적인 이해를 돕고, 대수적 접근을 통해 미분개념을 엄밀한 정의로 이해 할 수 있도록 가르쳐야 할 것이다.