로봇운동계획법을 위한 효율적 연속 거리 계산 알고리즘

Abstract

두 물체 사이의 거리를 측정하는 것은 로보틱스, 컴퓨터 애니메이션, 계산 기하학 등 여러 분야에서 중요한 문제로 인식되고 있다. 특히, 거리 측정은 로봇의 장애물과의 충돌 없는 경로를 생성하거나 사용자와 가상 환경 간의 실감나는 상호작용에 반드시 필요하다. 예를 들면, 로봇운동계획법에서 로봇과 장애물 간의 충돌을 예측하고 안전한 위치를 찾거나, 물리기반 시뮬레이션에서 충돌 후 물체에 가해질 충격량을 계산하거나, 햅틱 렌더링(haptic rendering)에서 사용자에게 전달할 햅틱 반발력을 측정하는데 거리 측정이 이용된다. 기존의 거리 측정 알고리즘의 대부분은 물체가 움직이는 전체 연속 시간을 고려하지 않고 특점 시점에서의 거리만을 계산한다. 그러나 거리 계산을 실제 다양한 분야에 적용할 때, 거리를 특정 시점에서만 계산하는 것보다 시간에 대한 함수로 확장하여 연속 거리를 계산하는 것이 더욱 효과적이다. 예를 들면, 샘플링 기반의 운동계획법에서 로봇의 경로 중 가장 깊숙이 침투된 지점을 거리 벡터의 반대 방향으로 밀어 충돌을 피할 수 있고 최적화 기반의 운동계획법에서 비침투 제약조건(non-penetration constraint)을 안정적으로 추가하는데 이용된다. 또한 거리의 크기뿐만 아니라 거리의 그래디언트(gradient)인 방향까지 연속적인 거리는 패널티 기반 동역학에서 물체의 현실적이고 안정적인 움직임을 생성하는데 이용될 수 있다. 하지만 움직이는 물체들 간의 연속 거리를 구하는 것은 결코 쉬운 일이 아니다. 물체들 간의 연속 거리를 구하기 위해서는 전체 시간 동안 변하는 물체들의 움직임을 추적해야 하고 물체들 간의 상태 (분리, 접촉, 침투)를 고려 해야 한다. 또한 통상적인 거리 계산법은 유클리디안 투사(Euclidean projection)를 기반으로 하고 있으므로 계산한 거리의 방향성이 불연속적일 수 있다. 따라서 본 논문에서는 다각형 모델들 간의 거리 계산을 시간에 대한 연속 거리 함수로 확장하고 이를 최적화 기반 로봇 운동계획법에 이용하고자 한다. 이를 위해 다음과 같은 세 가지 접근법을 제안한다. 첫째, 움직이는 캡슐 간의 거리 함수를 계산하는 세 가지 방법 - 황금 분할 탐색법(golden section search), 보수적 전진법(conservative advancement), 하이브리드 방법(hybrid method) - 을 제안한다. 이 세 가지 방법들은 모두 캡슐 모양 물체의 궤도를 연속적으로 추적하여 MCD (minimum of the continuous distance)를 찾는다. 황금 분할 탐색법은 함수의 미분 정보 없이 최솟값이나 최댓값을 빠르게 구하는데 이용되는 방법이다. 그러나 극값이 둘 이상일 경우 황금 분할 탐색법은 최솟값이나 최댓값을 놓칠 수도 있다. 보수적 전진법은 이분할 탐색(bisection search)과 유사하지만 정의역인 시간을 반으로 나누는 것이 아니라 치역(range)인 거리축을 반으로 나눈다는 차이점이 있다. 보수적 접근법은 황금 분할 탐색법에 비해 다소 느리지만 더 정확한 MCD를 계산한다. 하이브리드 방법은 이 두 가지 방법의 장점을 취한 것으로 앞서의 두 방법에 비해 더 빠르고 정확하게 MCD를 계산한다. 둘째, 움직이는 일반적인 다각형 물체(polygonal model)들 간의 MCD를 계산하는 적응형 세분화 방법을 제안한다. 적응형 세분화 방법은 주어진 시간 구간 동안 물체가 움직일 수 있는 최대 거리를 계산하여 MCD의 상한과 하한을 구한다. 만약 주어진 시간 구간 안에 MCD가 존재하지 않는다면 적응형 세분화 방법은 이 시간 구간에 대한 탐색을 중지하고 MCD가 있는 다른 시간 구간 탐색을 반복하면서 MCD를 찾는다. 적응형 세분화 방법은 특정 오차 범위 안에 있는 MCD를 계산할 수 있고 non-manifold 모델에도 적용이 가능하다. 마지막으로, 본 논문에서는 방향이 연속적인 거리를 계산할 수 있는 Phong 거리를 정의하고 이를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 제안한다. Phong 거리는 물체의 중첩 여부와 상관없이 항상 거리를 계산할 수 있을 뿐 아니라 그 결과의 그래디언트 또한 연속이다. 기존의 거리 계산법이 민코우스키 합(Minkowski sum)에 유클리디안 투사를 수행하여 거리의 방향이 불연속적이었다면, Phong 거리 계산 알고리즘은 민코우스키 합에 접평면(tangent plane)를 연속적으로 정의하고 Phong 투사(projection)를 실시하여 거리 방향이 연속적인 결과를 보여준다. 앞서 본 논문에서 제안한 연속 거리 함수의 활용성을 보이기 위하여 MCD 계산 알고리즘을 최적화 기반 운동계획법에 적용하였다. 여기서 MCD는 충돌을 방지하기 위한 비침투 제약조건을 최적화 기반 운동계획법에 추가하는데 이용됐다. HRP-2 휴머노이드 로봇과 다양한 모양의 장애물을 가지고 제시한 알고리즘의 활용성을 실험한 결과, 로봇의 자체충돌(self-collision) 및 장애물과의 충돌이 없는 최적의 로봇 움직임을 얻을 수 있었다. 그리고 제안한 Phong 거리 계산 알고리즘을 이용하여 수천 개의 삼각형으로 이루어진 복잡한 모양의 물체들 간의 거리를 계산한 결과, 거리의 크기뿐만 아니라 방향까지 연속적인 거리를 수 밀리 초(milliseond) 안에 계산하였다.;Measuring the distance between geometric models is a central problem in robotics, computer animation, and computational geometry. Such a distance function can be used to identify collision-free configurations in sample-based motion planning, locate the point of application for impulses in physically-based simulation, and determine appropriate force feedback in haptic renderings. Most distance measures between geometric models compute distance at a particular time instance and such distances can yield a discontinuity in the direction, in other words, its gradient. This research is motivated by generalizing the distance computation problem over a continuous time domain and computing a gradient-continuous distance between two complicated polygonal models. As possible applications of the former, in sampling-based motion planning, we can perform not only collision checking, but also avoid a possible collision by pushing the colliding trajectory toward the opposite direction of the distance vector. Moreover, we can enforce the non-penetration constraint to be fed into an optimization solver in optimization-based motion planning. Moreover, the gradient-continuous distance can lead to stable force response in penalty-based dynamics. However, tracking the distance for moving objects is a very difficult problem because it is necessary to track the entire time interval continuously, not just at some time instances, and to consider both the positive (i.e. Euclidean) and negative (i.e. penetration depth, PD) distance. Finding a gradient-continuous distance is also a difficult problem to solve since the conventional distance definition relies on Euclidean projection and it naturally incurs a discontinuity. This dissertation makes three contributions to address these challenges. First of all, we propose three methods to evaluate the distance function for moving capsule shapes; these methods include golden section search (GSS), conservative advancement (CA) and a hybrid of GSS and CA. In our approach, each object is approximated and bounded by a capsule shape, and the distance between object pairs is continuously evaluated along its trajectory and the minimum of continuous distance (MCD) is found. Secondly, we propose a novel algorithm to find the MCD between general polygonal models using adaptive subdivision (AS). The AS method computes upper and lower bounds of the distance based on the amount of motion that an object can make during the time interval, then abandons the time interval that cannot realize the MCD. This method provides error-bounded results in terms of distance calculation. Finally, we present an algorithm, called PhongDist, to compute a gradient-continuous distance for two interpenetrated polygonal models. In order to achieve gradient-continuity in our algorithm, Phong projection is adopted instead of Euclidean projection. We interpolated tangent planes continuously over the contact space and then perform projection along the normal direction defined by the interpolated tangent planes. We have implemented our distance computation methods, and have experimentally validated the proposed methods to effectively and accurately find the MCDs and generate a collision-free motion for the HRP-2 humanoid robot. We also have implemented our PhongDist algorithm and certified its continuity using three benchmarks of diverse combinatorial complexities, and show that our algorithm yields smoother distance results than a conventional Euclidean-projection-based distance method.