A Revision of Quality Estimation of BKZ reduced Bases and Its Applications

Abstract

Lattice basis reduction is an algorithm to find a good basis (a reduced basis) of a lattice from a bad basis. The most widely used reduction algorithms are LLL algorithm and BKZ algorithm. LLL algorithm uses reduction parameter δ and the output of LLL algorithm defines LLL(δ)-reduced basis. BKZ algorithm uses LLL algorithm as a subroutine and it has two parameters, the blocksize β and the LLL reduction paremeter δ. BKZ algorithm defines BKZ(β, δ)-reduced basis. Ignoring δ in the BKZ algorithm, it defines BKZ(β)-reduced basis. In 1994, Schnorr presented a quality of BKZ(β)-reduced basis. In this paper, we observed that there are some examples which is inconsistent with Schnorr's claims. We corrected Schnor's claims by using BKZ(β, δ)-reduced basis. Then we clarified the exact quality of output of BKZ algorithm as a BKZ(β, δ)-reduced basis in terms of LLL reduction parameter. Based on our estimations, we can improve the efficiency of the BKZ algorithm by selecting appropriate β' and δ' so that BKZ(β', δ')-reduced basis has a similar quality to BKZ(β, δ)-reduced basis with β' < β, and δ < δ' < 1. We also present some experiments using MapleSoft program which explain our result.;lattice 기반 암호분석 중 lattice basis reduction은 lattice의 basis의 질을 높이는 관점에서 효율적인 알고리즘이다. 가장 널리 쓰이는 reduction 알고리즘에는 LLL algorithm과 BKZ algorithm을 꼽을 수 있다. LLL algorithm의 출력물인 LLL(δ)-reduced basis와 BKZ algorithm의 출력물인 BKZ(β,δ)-reduced basis에 대한 질 비교는 더 나은 reduction algorithm의 발전을 위한 필연적인 부분이다. 본 학위논문에서는 기존에 제시되어 있던 basis 질 비교 관계식을 분석하였으며, 그것을 통해 유도되는 계산값이 BKZ algorithm의 출력물의 특성과 반대된다는 한계점을 발견한다. 이러한 현상에 근거하여, 우리는 기존의 관계식을 개정한 새로운 관계식을 제시한다. 기존의 관계식에 적용된 BKZ(β)-reduced basis의 정의 대신 BKZ(β,δ)-reduced basis의 정의를 적용함으로써 LLL algorithm과 BKZ algorithm의 입력값을 개정된 관계식에 반영하였으며, 이에 따라 입력값을 고정하거나 혹은 조정하는 작업을 가능하게 하여 basis 비교에 있어서의 수월성과 정확도를 높일 수 있다.